理论力学之动量矩定理PPT课件

1、问题：为什么动量定理没有自然坐标形式问题：为什么动量定理没有自然坐标形式?而质心运动定理有自然坐标而质心运动定理有自然坐标形式？形式？VFpjpippyx直角坐标jpippyxjFiFFyxVxxFp yyFp 自然坐标npppnnFFFnVnpnppppnnFp nnFp CvmpCampVFpVCFam不管是直角坐标还是自然坐标CCavyCyxCxFmaFma,nnCCFmaFma,第1页/共101页自然轴坐标系第2页/共101页eipFtdd动量改变力系主矢eCmFa质心运动力系主矢物体在移动时运动与受力之间的关系 动量定理(或质心运动定理)。第3页/共101页动量为零质心无运动FCA例

2、：匀质圆盘，质心 C 在转轴上。动量不能反应转动的问题。物体在转动中运动的量与受力之间的关系动量矩定理第4页/共101页本章的主要内容1、对固定点的动量矩定理)(eiOOFMdtLdOOyCyxCxMJFmaFma刚体定轴转动的动力学方程动量矩改变力系主矩第5页/共101页本章的主要内容2、对质心(动点)的动量矩定理)(eiCCrFMdtLdCCyCyxCxMJFmaFma刚体平面运动的动力学方程动量矩改变力系主矩第6页/共101页几个有意义的实际问题谁最先到 达顶点第7页/共101页 几个有意义的实际问题 直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象第8页/共101页跳水动量矩守恒 跳水运动员为什么

3、在空中可实现空翻和转体的转变 ？第9页/共101页复习力矩概念10.1 对定点的动量矩定对定点的动量矩定理理xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hB FrFMOkMjMiMFMzyxO)(第10页/共101页1 质点的动量矩 质点Q的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩，是固定矢量。10.1 对定点的动量矩定理QAxyzqOmvMO(mv)Mz(mv)rvmrvmMO在国际单位制中，动量矩的单位是 kgm2/s。一、基本概念质点对点O动量矩在z轴上的投影，等于对z轴的动量矩：zOzvmMvmM)()(第11页/共101页质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和。2

4、质点系的动量矩iiOvmrL10.1 对定点的动量矩定理质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的动量矩的代数和。Lz=Mz(mv)第12页/共101页3 定轴转动刚体的动量矩 Jzmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯量.zzJL ziMiriivm2iiiiiiizzrmrvmvmML定轴转动刚体的动量矩(简化为平面问题)转轴垂直刚体质量对称平面OOJL 第13页/共101页rOAmv 例10-1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转动惯量为J，半径为r，角速度为，重物A的质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。解：)(22J

5、mrJmrJmvrLLLO盘块LO的转向沿逆时针方向。10.1 对定点的动量矩定理第14页/共101页 刚体对轴 z 的转动惯量2iizrmJ对于质量连续分布的刚体2dzJrm在国际单位制中，转动惯量的单位是: kgm2。 4、刚体对轴的转动惯量10.1 对定点的动量矩定理第15页/共101页 1. 均质细杆简单形状物体的转动惯量zdxxxOldxlmdm 10.1 对定点的动量矩定理2dzJrmlzdxlmxJ02231mlJJOz2lz1dxxxC21121mlJJCz第16页/共101页 2. 均质薄圆环zRxyR3.均质圆板2mRJJCz221mRJJCz10.1 对定点的动量矩定理第

6、17页/共101页 1、转动惯量是刚体转动时惯性的度量。不仅与质量有关，而且与质量的分布有关2、谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。转动惯量说明10.1 对定点的动量矩定理第18页/共101页 回转半径(惯性半径)定义为mJzz2zzmJ平行轴定理2zzCJJmd 由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量，过质心轴的转动惯量最小。10.1 对定点的动量矩定理均质细杆对质心轴回转半径为lmmlmJCC3211212第19页/共101页思考题：下列计算正确否？222297943132mlmlmllmJJzz22229136112161mlmlmllmJJzCz质心轴2zzCJJmd第2

7、0页/共101页 例10-2 如图所示，已知均质杆的质量为m，对 z1 轴的转动惯量为J1，求杆对z2 的转动惯量J2 。解：由 ，得2zzCJJmd21(1)zCJJma22(2)zCJJmb2221()JJm ba(1)(2)得zz1z2abC10.1 对定点的动量矩定理第21页/共101页 l 2例10-3 均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对轴O的转动惯量。解：ABOAOJJJOABll 222225)2)(2()2)(2(12131mllmlmml10.1 对定点的动量矩定理OABll 2OABll 2第22页/共101页10.1 对定点的动量矩定理定轴转动刚体的动量矩(转轴垂

8、直刚体质量对称平面）OOJL 第23页/共101页例例10-4 计算定轴转动刚体的动量矩计算定轴转动刚体的动量矩241222mlllmlmvLCO231mlJLOO对O点的动量矩等于质心的动量乘以质心到转轴的距离。10.1 对定点的动量矩定理正确解法第24页/共101页22916mllmJJLCOO10.1 对定点的动量矩定理第25页/共101页1 、质点的动量矩定理二、对定点的动量矩定理二、对定点的动量矩定理xyzOMO(mv)QmvrMO(F)FvmrvmrvmrdtdvmMtOddFramrvmv0FrvmMdtdO质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。10.1

9、对定点的动量矩定理第26页/共101页O2、质点系的动量矩定理)()()(iiOeiOiiOOFMFMvmMdtddtLd对质点系每个质点应用动量矩定理并相加)(eiOOFMdtLd质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于外力对O点的主矩。10.1 对定点的动量矩定理OFF第27页/共101页)(eiOOFMdtLd10.1 对定点的动量矩定理运动量(动量矩)作用量(力系的主矩)定点第28页/共101页在应用质点系的动量矩定理时，取投影式(e)(e)(e)d()dd()dd()dxxiyyizziLMtLMtLMt FFF10.1 对定点的动量矩定理对定轴的动量矩力对轴的矩第29页/共10

10、1页10.1 对定点的动量矩定理动量矩定理平面的情况OOMdtdL平面上对点的动量矩平面上力对点的矩第30页/共101页10.2 刚体定轴转动动力学方程刚体定轴转动动力学方程OOMJOOJL 条件：转轴垂直质量对称平面第31页/共101页解法1：对定点的动量矩定理(系统)例10-5 均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物质量为m。求重物下落的加速度。OPmgvmgFOxFOy10.2 刚体定轴转动动力学方程mvRJLOORvmRJO ,212mRvmvRRvmRLO23212应用对定点的动量矩定理(顺时针为正)mgRmRa 23ga32第32页/共101页解法2

11、：刚体定轴转动动力学方程(轮)(2) maFmgT(1) 212RFmRT(3) Ra ga32OmgFOxFOyTF取物块为研究对象PmgaTF补充运动学条件联立(1) (2) (3)式,解得10.2 刚体定轴转动动力学方程第33页/共101页10.2 刚体定轴转动动力学方程思考：以下两个定理的区别？OOMJOOML OOMJ刚体只有作定轴转动时才成立。研究对象是一个刚体。OOML 平面上刚体对定点的动量矩定理。研究对象可以是一个刚体也可以是个刚体系。第34页/共101页错误解法mgR MJOOOPmgvmgFOxFOy10.2 刚体定轴转动动力学方程第35页/共101页OPmga1mgFO

12、xFOy1OmgFOxFOy2mgF a2思考：以下两种情况轮的角加速度一样吗？mgR JO2mvRJLOOmgRmRJO12第36页/共101页注意事项必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。第37页/共101页思考题什么条件下，21FF 021RFRFMJOO？0212mRm=0，忽略滑轮质量。R=0，忽略滑轮大小a=0，滑轮匀速转动注意：以上三种情况下，定滑轮两边的拉力相等。注意和静力学中的区别。10.2 刚体定轴转动动力学方程F1F2OR第38页/共101页例10-6 图示物理摆的质量为m，C为其质心，摆对转轴的转动惯量为JO。求微

13、小摆动的周期。 解：设逆时针方向为正。由刚体定轴转动的动力学方程，有sinmgaJO 当微摆动时，有 sin ，0OJmga )sin(0tJmgaO 0为角振幅， 为初相位。由初始条件确定。摆动周期为mgaJTOn22OCamg224mgaTJO第39页/共101页例10-7 如图所示，啮合齿轮各绕定轴O1、O2转动，其半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，转动惯量分别为J1、J2，今在轮O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：轮1(逆时针)O1r1r2O2MFO1yFO1xFFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2FFnM12(1) 111rFMJ轮2(顺时针)(2) 222rFJ运动

14、学方程(3) 2211rr221221 22 1MrJ rJ r第40页/共101页注意：系统有多处有约束的情况，应用动量矩定理时，要拆开。不以整体为研究对象。详细看书中例题10-410.2 刚体定轴转动动力学方程第41页/共101页刚体定轴转动动力学方程OOyCyxCxMJFmaFma10.2 刚体定轴转动动力学方程raratCnC2第42页/共101页刚体定轴转动动力学方程解题步骤10.2 刚体定轴转动动力学方程1、判断刚体的运动。运动分析：质心加速度和角加速度。2、受力分析。3、应用刚体定轴转动动力学方程。注意转动惯量的计算。4、有时需要补充方程（动摩擦方程和运动学方程）5、解方程。第4

15、3页/共101页例10-8 水平圆盘绕O定轴转动， rad/s rad/s2。细杆AB，质量m = 0.2 kg,，固定在圆盘上，A点为销子，B点由两销夹住。AO = BO = r，AB= ，r=0.3 m，AOBO。求A、B约束反力。28r210.2 刚体定轴转动动力学方程第44页/共101页注意解题步骤解1、受力分析FAxFAyFB2、运动分析AB定轴转动CnCatCa2222rOCanCrOCatC22第45页/共101页FAxFAyFBCnCatCa3、刚体定轴转动动力学方程xCxFma22)2222(BAxtCnCFFaamyCyFma22)2222(BAytCnCFFaamOOMJ

16、rFrFrmrmBAy22)22()2(12122N26. 0AxFN22. 0AyFN1414. 021 . 0BF第46页/共101页OFOxFOW=mgOFOyFOxW=mg解除约束前： FOx=0, FOy=mg/2突然解除约束瞬时： FOx=？,FOy=？关于突然解除约束问题例10-匀质杆OA长l、质量为m，其O端用铰链支承，A 端用细绳悬挂，置于铅垂面内。试求将细绳突然剪断瞬时，OA的角加速度，铰链O的约束力。 第47页/共101页两种错误的思维 作法1 在细绳未被剪断瞬时，杆O 端约束力为FOy = mg/2。而细绳被剪断瞬时，杆OA 还未运动，所以仍有FOy = mg/2”。

17、作法2 “细绳未被剪断瞬时，O 端与细绳各承受约束力。细绳被剪断瞬时，已不能承受原承受的，只能由铰链O全部承受。所以该瞬时FOy = mg”。第48页/共101页突然解除约束问题系统的自由度要突然解除约束问题系统的自由度要增加；运动一阶量（速度，角速度）增加；运动一阶量（速度，角速度）是连续的，即为零。运动二阶量是连续的，即为零。运动二阶量（加速度，角加速度）是突变的（加速度，角加速度）是突变的第49页/共101页OFOxFOymgtCanCa解：1、运动分析突然解除约束瞬时，杆OA将绕O轴转动， 0， 0。022lanC2latC2、受力分析3、刚体定轴转动动力学方程lglmgml23,23

18、12OOMJOxF0 xCxFmayCyFmaOyFmglm24mgFOy第50页/共101页当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于零时，质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持不变。质点系动量矩守恒定律3、质点系的动量矩守恒10.1 对定点的动量矩定理 0FMO0dtLdO常矢量OL21OOLL 0FMz0dtdLz常量zL21zzLL第51页/共101页: :解解1、受力分析OmgmgFOxFOy0mgrmgrMO0O2O1LL2、运动分析设绳子速度为 u动点：B，动系绳子vrvaveuBuvvBrBauvvArAaBAvrvaveuA动点：A，动系绳子3、动量矩守恒0rmvrmvBaAaBa

19、Aavv第52页/共101页2BrArvvu2BrArBaAavvvv动量矩守恒强与弱不分胜负第53页/共101页质点系动力学两个矢量系动量系和外力系FnF1F2FnF1F2Fi)(21niF,.,F,.,F,FF力系：力系两个特征量：力系的主矢,FFiiViiOO)FMM(力系的主矩第54页/共101页质点系动力学两个矢量系动量系和外力系动量系：mnvnm1v1m2v2mivi动量系两个特征量：动量系的主矢, )(21nip,.,p,.,p ,ppCiiiiimvvmpp动量系的主矩（定点）iiiiOiOO)v(mMLL第55页/共101页质点系动力学两个矢量系动量系和外力系动量系和力系的关

20、系动量系特征量的变化等于力系的特征量vFtpdd质点系动量定理OOMtLdd质点系相对定点动量矩定理VCFam第56页/共101页质点系动力学两个矢量系动量系和外力系投影形式zCzyCyxCxFmaFmaFma衡量质点系整体沿三轴的移动OzOzOyOyOxOxMtLMtLMtLdddddd衡量质点系绕过固定点三轴的转动第57页/共101页外力系与动量系之间的关系刚体定轴转动动力学方程为上述特殊情形OOyCyxCxMJFmaFma第58页/共101页10.3 刚体平面运动动力学方程1、动量矩的主矩定理prLLBCCB质点系对质心C的动量矩比较容易计算，利用上式计算质点系对点B的动量矩。CBAAB

21、vmrLL若A点是质心C则第59页/共101页10.3 刚体平面运动动力学方程ririrCmiyyxzCOxzviCv2、对质心相对运动动量矩设质点mi相对质心的速度virirCivvv质点处建立平动坐标系，则i点的绝对速度iriiCrvmrL 对质心绝对运动动量矩iiiCavmrL 对质心相对运动动量矩第60页/共101页10.3 刚体平面运动动力学方程ririrCmiyyxzCOxzviCv2、对质心相对运动动量矩irCivvvirCirCi)(vrvrvvrvrLiiiiiiiiCammmm CriiCaLm CvrL第61页/共101页10.3 刚体平面运动动力学方程ririrCmiy

22、yxzCOxzviCriiCaLm CvrLCv0Ciimmrr由质心坐标公式，有CrCaLL对质心绝对运动中的动量矩等于对质心(平动系)的相对运动中的动量矩。 第62页/共101页10.3 刚体平面运动动力学方程CrCaCL LL利用此关系计算刚体对质心的动量矩更方便。平面运动刚体CCrCJLLyxxyOCDiiiiriiCrrmrvmrL CiiCrJrmL2平动刚体0CL第63页/共101页10.3 刚体平面运动动力学方程平面运动刚体对质心的动量矩CCJL 平移刚体对质心的动量矩0CL定轴转动刚体对转轴的动量矩OOJL 第64页/共101页刚体平面运动其他点动量矩的计算：1、先计算动量（

23、画在质心处）和对质心的动量矩2、计算动量矩(类似力矩计算）CmvCJCCCOJRmvL计算对O的动量矩第65页/共101页思考题：计算10-2（计曲柄质量m)v2v3rv5 . 12rv3332/22rvD轮3上的D点速度rrvD32vD曲柄：定轴转动轮2：平面运动轮3：平动第66页/共101页思考题：计算10-2（计曲柄质量m)m2 v2mv3曲柄：定轴转动（顺时针） 21331rmLO轮3：平动 rmvLO332轮2：平面运动JC22222235 . 1COJrvmL计算略第67页/共101页3、相对质心的动量矩定理CCCBvmrLL由动量矩的主矩定理得（B是定点）对时间t取导，并应用对定

24、点的动量矩定理。BCCCCCBMamrvmrLL上式第二项为零，由力矩的主矩定理VCCBFrMMCVamF得CCML第68页/共101页相对质心的动量矩定理CMLC质点系对质心的动量矩对时间的变化率等于作用在质点系的外力对质心的主矩。如果外力对质心的主矩为零，则质点系对质心的动量矩守恒。第69页/共101页)(eiCCFMdtLd相对质心的动量矩定理运动量(动量矩)作用量(力系的主矩)动点第70页/共101页刚体平面运动动力学方程刚体平面运动动力学方程CMLC刚体平面运动动力学方程CCyCyxCxMJFmaFma平面运动刚体：CCJL CCMJ必须是质心第71页/共101页杆AB在光滑水平面上

25、，静止，质量m = 0.24 kg，长l = 0.4 m，今作用一力F于D，AD = 0.1 m，F = 3 N，求点B加速度aB。ABCDF60解：AB作平面运动，瞬时0CaFmaC2m/s5 .12CaCCMJ1 . 060sin1212 Fml2rad/s2 .81基点法BCCBaaaCaBCa2m/s 25. 6-5.41 2 .812 . 060cos5 .1260sin5 .12jiijiaB2laBC第72页/共101页刚体平面运动动力学方程解题步骤1、判断刚体的运动。运动分析：质心加速度和角加速度。2、受力分析。3、应用刚体平面运动动力学方程。4、列补充方程（动摩擦方程和运动学

26、方程）5、解方程。第73页/共101页已知： 初始静止, m ，R, f ， 。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。C、斜面光滑、斜面足够粗糙、圆盘既滚又滑第74页/共101页CFNmg(1) 斜面光滑aC解：取圆轮为研究对象受力分析运动分析 (圆轮做平面运动)xCxFmasinmgmaCsingaCyCyFmaNFmgcos0cosmgFNCCMJ0CJ0圆轮做平移第75页/共101页CFNmg(2)斜面足够粗糙aCxCxFmaFmgmaCsinyCyFmaNFmgcos0CCMJFRmR221Fcossin31sin32sin32mgFmgFRggaNC纯滚动运动学条件RaCNfFF 由

27、得： tan31gf 满足纯滚的条件：第76页/共101页CFNmgaCxCxFmaFmgmaCsinyCyFmaNFmgcos0CCMJFRmR221Fcoscoscos2cossinmgFmgfFRfgfgaNC摩擦力方程NfFF 圆盘既滚又滑第77页/共101页地面对车轮摩擦力的方向地面对车轮摩擦力的方向F1C匀质轮静止在地面1、地面若光滑CCyCyxCxMJFmaFmamgFN0CM轮平移2、地面若粗糙，摩擦力向左v轮心C作用力F1F2第78页/共101页地面对车轮摩擦力的方向地面对车轮摩擦力的方向C匀质轮静止在地面1、地面若光滑CCyCyxCxMJFmaFmamgFN0F轮定轴2、地

28、面若粗糙，摩擦力向右v轮作用力偶M1F3M1第79页/共101页地面对车轮摩擦力的方向地面对车轮摩擦力的方向匀质轮静止在地面CCyCyxCxMJFmaFma轮作用力F4CmgFNF4DCmgFNF4M2=F4 CD摩擦力向左还是向右，通过计算确定。第80页/共101页车轮摩擦力车轮摩擦力1、车轮纯滚动RaC摩擦力是静摩擦。方向任意假设。2、车轮又滚又滑NfFF 摩擦力是动摩擦。方向不能假设。第81页/共101页0CCyCyxCxMJFmaFma刚体平移的动力学方程（二维）必须是质心第82页/共101页CCyCyxCxMJFmaFmaOOyCyxCxMJFmaFma刚体定轴转动动力学方程的两种形式第83页/共101页图示匀质长方体的质量为50kg，与地面间的动滑动摩擦系数为0.20，在力P作用下向右滑动。求：（1）长方体只滑而不倾倒时，P的最大值；（2）此时长方体的加速度。第84页/共101页解：长方体(平动)1、受力分析mgFNFd2、运动分析axCxFmayCyFmaCM0dFPmaqcosNFmgPqsin0015. 03 . 015. 0sin3 .