华东师大初中数学八年级上册全等三角形全章复习与巩固提高知识讲解精选

1、全等三角形全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1. 掌握常见的五种基本尺规作图；理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；2了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；4理解并能应用直角三角形的性质解题；理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边” （即“HL”）判定两个直角三角形全等；5理解并掌握角平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决作图题、几何

2、计算及证明题 .【知识网络】全等三角形【要点梳理】要点一、全等三角形的性质和判定1. 全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等2. 全等三角形的判定定理全等三角形判定“角边角”或“全等三角形判定“边角边”或“全等三角形判定“ SSS” ） .全等三角形判定1 “角边角” ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成ASA” ） .2 “边角边” ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成SAS” ） .3 “边边边”：三边对应相等的两个三角形全等. （可以简写成“边边边”或4“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AA

3、S” ） .要点诠释： （ 1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等.（ 2 ）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等.（ 3 ）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等. （ 4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.3. 判定直角三角形全等的特殊方法斜边直角边定理斜边直角边定理（或简记为HL） ：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.要点诠释： 判定两个直角三角形全等的方法共有5 种：SAS、 ASA、 AAS、 SSS、 HL. 证明两

4、个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.要点二、等腰三角形1. 等腰三角形的性质及其作用性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 性质1 用之证明同一个三角形中的两角相等，是证明角相等的一个重要依据性质 2： 等腰三角形的顶角平分线、 底边上的高、 底边上的中线互相重合 （简称 “三线合一” ） 性质 2 用来证明线段相等，角相等，垂直关系等2. 等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边” ） .要点诠释： 等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理， 是将三角形中的角的相等关系转化为边

5、的相等关系的重要依据. 等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理 .3. 等边三角形的性质和判定：性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60 ° .判定： （ 1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（ 2 ）三个角都相等的三角形是等边三角形；（ 3 ）有一个角是60 °的等腰三角形是等边三角形要点诠释： 由等边三角形的“三线合一”可得：在直角三角形中， 30 °所对的直角边等于斜边的一半作图、逆命题、 逆定理 要点三、尺规命题、定理与1. 尺规作图只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图）要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应

6、用，对于作图要用正确语言 1 （ 要点诠释： 来进行表达.（ 2 ） 掌握五种基本作图： 作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角； 作已知角的平分线；经过一已知点作已知直线的垂线； 作已知线段的垂直平分线 并能利用本章的知识理解这些基本作图的方法2 .命题与逆命题判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题要点诠释：(1)对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，

7、如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题(2)每一个命题都可以写成“如果，那么”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分.(3)所有的命题都有逆命题 .原命题正确，它的逆命题不一定正确3 .定理与逆定理数学中，有些命题可以从基本事实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理要点诠释：(1)定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.(2) 一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的

8、，所以不是每个定理都有逆定 理.要点四、角平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1 .角平分线性质定理及其逆定理角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了2 .线段垂直平分线(也称中垂线)的性质定理及其逆定理线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被

9、垂直平分， 一定要注意着两者的区别， 前者在题设中说明， 后者则在最终的结 论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了【典型例题】类型一、全等三角形的性质和判定1、已知，如图， ABC中，D是BC中点，DEL DF,试判断BE+ CF与EF的大小关系，.并证明你的结论A EFBDC【思路点拨】 因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF,使DG= DF,证明 EDG里AEDF, FDC AGDB这样就把 BE、CF与EF线段转化到了 BEG中，利用两边之和大于第 三边可证.【答案与解析】BE+ CF> EF;证明：延长 FD到G 使DG= DF,连结BG EG.D是BC中点.

10、BD= CD又; DE± DF .EDF 中在 EDG 和 EDED EDF EDG DF DG ) EDF (SAS= ED® EFEG= 中在 FDC与 GDBBD CD 2 1 DGDF .FDU GDB(SAS)BG . . CF= EG BE>, BG+ EF>. BE+CF.有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法(或倍长过中点的线段) 【总结升华】 举一反三：ABC. ADCW的中线， 且/ ACB= / CB【变式】已知：如图所示，CE分别是 ABC . CD = 2CE求证：【答案】.BF,连接CE= EF使F至CE延长 证明:EC为中线，AE =

11、 BE.AE BE, AEC BEF,与 BEF中，在 AEC CE EF,AAEC BEF (SAS).AC =BF, /A= / FBE.(全等三角形对应边、角相等)又 /ACB= / ABC, / DBC= / ACB+ / A, / FBC= / ABO / A.AC =AB, / DBC= / FBCAB =BF.又 BC为 ADC的中线, AB =BD.即 BF=BD.BF BD, FBC DBC, DCB 中，在 FCB与 BC BC, .FC® DCB (SAS).CF =CD,即 CD= 2CE.2、(20167W淀区校级模拟)如图，已知/ BAC=90 °

12、; , ADLBC于点D, / 1=/2, EF / BC交AC于点F.试说明AE=CF .【思路点拨】作EH，AB于H ,作FG，BC于G ,根据角平分线的性质可得 EH=ED ,再证ED=FG , 则EH=FG ,通过证明 AEH CFG即可.【答案与解析】解：作EHXAB于H,作FGXBC于G, / 1=Z2, AD ± BC ,.EH=ED (角平分线的性质)EF II BC , AD ± BC , FGXBC,四边形EFGD是矩形，,.ED=FG ,.EH=FG , / BAD +/CAD=90 ° , / C+/CAD=90 ° , ./ B

13、AD= / C,又AHE= / FGC=90 ° , .AEH CFG ( AAS)3.AE=CF .【总结升华】本题考查了角平分线的性质；由角平分线构造全等，综合利用了角平分线的性质、 同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点.举一反三：【变式】如图，AABC中，/ACB= 90° , ZABC= 60° , AB的中垂线交 BC的延长线于 D,交AC 于E,已知DE= 2.则AC的长为.【答案】3;提示：连接 AD,证AABD为等边三角形，则 DE= AE= 2, CE= 1,所以AC= 3.类型二、等腰三角形 ，3、如图，在 ABC中，BA=BC D在边 C

14、B上，且 DB=DA=AC(1)如图 1,填空/ B= 。，/ C= ° ；.(2)若M为线段BC上的点，过 M作直线MHLAD于H,分别交直线 AR AC与点N> E,如图2,求证： ANE是等腰三角形；试写出线段 BN CE、CD之间的数量关系，并加以证明.【思路点拨】（1） BA=BC 且 DB=DA=A（CT得/ C=/ ADC之 BAC=2/ B, / DAC力 B,在 ADC中由 三角形内角和可求得/ B, / C; （2）由（1）可知/ BAD之CAD=36 ,且/ AHN力AHE=90 , 可求彳导/ ANH=Z AEH=54° ,可彳# AN=AE由

15、知AN=AE借助已知利用线段的和差可得CD=BN+CE【答案与解析】解：（1） BA=BC / BCA=/ BACDA=DB / BAD=/ B, AD=AC / ADC=/ C=/ BAC=2Z B, / DAC=/ B, / DAC+/ADC吆 C=180° , .2/B+2/B+/ B=180° , ./ B=36° , / C=2/ B=72° ,故答案为：36; 72;（2）在 ADB中，DB=DA / B=36° , / BAD=36° ,在AACD中，AD=AC ./ACD=/ ADC=72 , / CAD=36

16、6; , / BAD=/ CAD=36 ,.MH1 AD, ./AHN=/ AHE=90 , ./AEN=/ ANE=54 , 即AANE是等腰三角形； CD=BN+CE 证明：由知 AN=AE 又 BA=BC DB=ACBN=A& AN=BO AE, CE=AF AC=AE BD, .BN+CE=BG BD=CD 即 CD=BN+CE【总结升华】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边、等边对等角是解题的关键，注意方程思想的应用.举一反三：【变式】已知：如图， ABC中，BO, CO分别是/ ABC和/ ACB的平分线，过 O点的直线分别交 AR AC于点 D、E,且 DE

17、/ BC.若 AB=6cmq AC=8cm1 贝ijAADE的周长为【答案】14cm.解： DE/ BC / DOB与 OBC又BO是/ ABC的角平分线, / DBO与 OBC / DBO与 DOB .BD=OD同理：OE=EC .ADE 的周长=AD+OD+OE+EC=AD+BD+AE+EC=AB+AC=,14cm14cm故答案是:M为直线BC4、如图所示，已知等边三角形ABC中，点D, E, F分别为边 AB, AC, BC的中点,上一动点， DMN等边三角形. 如图 所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点 F是否在直线NE上？（2） 如图（2）所示，当点M在B

18、C上时，其他条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否 仍然成立？若成立，请利用图（2）证明；若不成立，请说明理由.【答案与解析】解：EN=MF,点F在直线NE上.证明：连接DF, DE, ABC是等边三角形，,AC= BC-. AB = 三边的中点，是AABC D , E, F 又二 为三角形的中位线.，EF DE , DF60 = ° .=EF,/FDE DE = DF NDENDF+ / FDE= / 又/ MDN- / NDF= /MDF/60° , /MDN= : DMN等边三角形， DM= DN . MD& = / NDE,.DE DF NDE M

19、DF ,和 DNE中，在 DMF DN DM DNE, . DMFADNE. DMF=/ MF=NE, /. MFN + /60° =/ DN曰DMF ° MFN= 60./ , / AB： FN AB, 又 EF/ .在同一直线上 F、N：E、，,EF, DFDE （2）成立.证明：连结，是等边三角形， AB8 =.AB =AC= BC.又 D, E, F是AABC三边的中点， DE , DF, EF为三角形的中位线. DE =DF= EF, / FDE= 60° .又/ MDa / FDN= 60° , / ND曰 / FDN= 60° ,

20、 /MDF /NDEDF DE MDF NDE, DNE 在 DM林口中,DM DN /. DMR DNEMF = NE【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路.类型三、尺规作图5、请把下面的直角进行三等分.（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.）【思路点拨】（1）以点B为一顶点作等边三角形;（2）作等边三角形点 B处的角平分线.【答案与解析】解:【总结升华】用到的知识点为：等边三角形的一个内角为60° ,角平分线把一个角分成相等的两个角.举一反三【变式】已知：射线 OC求作：/ AOB使OC平分/ AOB （要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）就是所求