大学物理课件：11-7,8 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射

1、111-7 11-7 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射、反射和折射波的衍射、反射和折射1. 1. 惠更斯原理惠更斯原理 波在弹性介质中运动时波在弹性介质中运动时, ,任一点任一点P 的振动的振动, ,将会引将会引起邻近质点的振动。就此特征而言，振动着的起邻近质点的振动。就此特征而言，振动着的 P 点与点与波源相比，除了在时间上有延迟外，并无其他区别。波源相比，除了在时间上有延迟外，并无其他区别。因此，因此，P 可视为一个新的波源。可视为一个新的波源。惠更斯惠更斯障碍物的小孔障碍物的小孔(a(aI1+I2) )，有些地方减弱，有些地方减弱( (II1+I2).).14 同频率、同方向、相位差恒定的

2、两列波同频率、同方向、相位差恒定的两列波, ,在相遇在相遇区域内区域内, ,某些点处振动始终加强某些点处振动始终加强, ,另一些点处的振动另一些点处的振动始终减弱始终减弱, ,这一现象称为这一现象称为波的干涉波的干涉。o246246I干涉现象的强度分布干涉现象的强度分布D15干涉现象的强度分布干涉现象的强度分布16 例题例题 试计算并分析两个频率相近、振幅相等、同方试计算并分析两个频率相近、振幅相等、同方向振动的简谐波的叠加。向振动的简谐波的叠加。解解 波动表达式：波动表达式： )cos(),()cos(),(222111xktAtxyxktAtxy叠加后得到：叠加后得到：xkktAyytxy

3、22cos2),(212121xkkt22cos2121xy2117变化缓慢（对应包络曲线）变化缓慢（对应包络曲线）121D或或,2121kkkkD或或2k2/ )(coskxtDDxy令令 2,2,2,22121kkkkkmmDD)cos()cos(2),(xktxktAtxymm)cos(),(xkttxAm18 把把 看成是一个角频率为看成是一个角频率为 、波数为、波数为 的波，这个波的速度为：的波，这个波的速度为： k)cos(),(xkttxAmkup Am(x,t)具有沿具有沿x方向传播的简谐波的形式方向传播的简谐波的形式, ,它的角频它的角频率和波数分别为率和波数分别为 波速波速

4、,2Dm,2kkmDkkummgDD 两个频率相近、等振幅的简谐波叠加的结果是一两个频率相近、等振幅的简谐波叠加的结果是一个振幅缓慢变化的波个振幅缓慢变化的波, ,角频率为角频率为 ，波数为，波数为 , ,波速波速为为 。振幅的变化也像一个传播的波振幅的变化也像一个传播的波, 它的角频率为它的角频率为 , 波数为波数为 , ,波速波速kkup2D2kDkugDD 上述讨论的合成波称为上述讨论的合成波称为波包，波包有两个速度波包，波包有两个速度. .相速度相速度群速度群速度( , )( , )cos()my x tAx ttkx 193. 3. 驻波驻波行波行波: : 相位逐点传播的波，即通常意

5、义下的波称为相位逐点传播的波，即通常意义下的波称为行波行波驻波驻波: : 波形不传播，是媒质质元的一种集体振动形态。波形不传播，是媒质质元的一种集体振动形态。绳绳 A A 两列两列振幅相等振幅相等的相干波在的相干波在同一直线同一直线上沿上沿相反方向相反方向传播时相干叠加形成的叠加波传播时相干叠加形成的叠加波2021x2波节波节波幅波幅 振动图像振动图像：(1)(1)各个质点分别在各自的平衡位置附近各个质点分别在各自的平衡位置附近作简谐运动，波节处保持静止；波幅处振幅最大。作简谐运动，波节处保持静止；波幅处振幅最大。(2) (2) 相邻两个波节间的各点同相振动，步调一致，速相邻两个波节间的各点同

6、相振动，步调一致，速度方向相同。度方向相同。(3) (3) 波节两侧相位突变，各点振动反波节两侧相位突变，各点振动反相，步调相反相，步调相反, , 速度方向相反。速度方向相反。22沿沿x轴的正、负方向传播的两列波：轴的正、负方向传播的两列波： txyAT 1cos 2 ()txyAT 2cos 2 ()合成波：合成波：txAy cos2cos2 (/ )tx u (/ )tx u cosxA 2223 cos()xA 22cos()x 20()xk 2212(),xkk 21012424cos(),x 21 2 D D x波腹波腹波节波节(),xkk 210124,xkk 01222 D D

7、xxk 225cos()cos()xyAt 222cos()xA 22tx 2,0)2cos(相相位位为为 tttx2)2cos()2cos(,0)2cos(相相位位为为)2cos( x)2cos( x cos(),x 20262k)(dtyW2p)(dxyWAB C波波节节波波腹腹xx位移最大时位移最大时平衡位置时平衡位置时27 28 对于波沿分界面垂直入射的情形对于波沿分界面垂直入射的情形, ,把密度把密度 与波速与波速u的乘积的乘积 u 较大的介质称为较大的介质称为波密介质波密介质， u 较小的介质较小的介质称为称为波疏介质波疏介质。 当波从当波从波疏介质波疏介质传播到传播到波密介质波密

8、介质，分界面反射点，分界面反射点是波节，表明入射波在反射点反射时有相位是波节，表明入射波在反射点反射时有相位 的突变的突变相当于在波程上突变相当于在波程上突变 。这一现象称为。这一现象称为半波损失半波损失。2波疏波疏波密波密波疏波疏波密波密294. 4. 弦线上的驻波弦线上的驻波, ,振动的简正模式振动的简正模式如果弦线两端固定，则波动会在如果弦线两端固定，则波动会在端点处反射而形成驻波。由于端点处反射而形成驻波。由于 弦弦的两端必为波节，则弦长应为半的两端必为波节，则弦长应为半波长的整数倍，即：波长的整数倍，即：2Ln n = 1, 2, 3, 允许存在的频率称为允许存在的频率称为简正频率简

9、正频率22nuunTnLL 即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续，这些频率即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续，这些频率称为弦振动的称为弦振动的简正频率简正频率，对应的只能以某一频率的整，对应的只能以某一频率的整数倍振动的振动方式称为数倍振动的振动方式称为简正模式简正模式。最低的频率。最低的频率(n=1)(n=1)称为称为基频基频，其它整倍数频率为，其它整倍数频率为谐频谐频。30如果棒一端固定，一端自由，则固定端为波节，自由如果棒一端固定，一端自由，则固定端为波节，自由端为波腹，可通过作类似分析，来确定简正模式。端为波腹，可通过作类似分析，来确定简正模式。, 2 , 1,42 nnlnn lu

10、nunn4)12( 41l432l453l31例例1 1 有一平面余弦行波有一平面余弦行波, , 沿沿x x正方向传播正方向传播, , 波线上某波线上某质点质点A A的振动曲线如图所示。此波在前进方向遇障碍的振动曲线如图所示。此波在前进方向遇障碍物反射后与入射波叠加形成驻波。如果波节和相邻物反射后与入射波叠加形成驻波。如果波节和相邻的波腹间距为的波腹间距为3 3m, m, 以质点以质点A A的平衡位置为原点的平衡位置为原点, , 写出写出入射波的波动表达式。入射波的波动表达式。yt00.212解解: A点的振动点的振动表达式表达式：000cos()0sin()02AAt 0cos()AyAt2

11、0.2,AT t=0 时刻，质点时刻，质点A的位移为零，向负方向运动，即：的位移为零，向负方向运动，即：32yt00.212以以A点为坐标原点的入射波的波动表达式：点为坐标原点的入射波的波动表达式： 3124 m 0.2cos(/2)Ayt 1262 m/suT 0.2cos()62xyt 则则A点的振动表达式为：点的振动表达式为：33tAycos12cos()yAt11cos()yAtkx例例2 两人各执长为两人各执长为l 的绳的两端，以相同角频率的绳的两端，以相同角频率 和振和振幅幅A A在绳上激起波动，右端的人的振动比左端的人的振在绳上激起波动，右端的人的振动比左端的人的振动相位超前动相

12、位超前 ，试以中点为坐标原点描写合成驻波，由，试以中点为坐标原点描写合成驻波，由于绳很长，不必考虑反射。绳上的波速设为于绳很长，不必考虑反射。绳上的波速设为u u。解：设左端的振动为解：设左端的振动为则右端振动为则右端振动为以中点为坐标原点，设右行波的表示式为以中点为坐标原点，设右行波的表示式为 左行波的表示式为左行波的表示式为:22cos()yAtkx341coscos2lAtkAt即：即：可得：可得：12lk 当当 时，时，2lx 2cos()yAt2coscos()2lAtkAt即：即：可得：可得：22lk由题意，当时，由题意，当时，2lx tAycos1352cos()2lyAtkxk

13、)2cos(1lkkxtAy122coscos222klyyyAkxt 于是：于是：故合成波为：故合成波为：其中：其中：2ku 2coscos222xlyAtuu 当当 =0，x=0 处为波腹处为波腹; ;当当 = 时，时，x =0 处为波节。处为波节。 36例题例题 在一根线密度在一根线密度 = 10-3-3 kg/m和张力和张力F =l0N的弦的弦线上，有一列沿线上，有一列沿x 轴正方向传播的简谐波，其频率轴正方向传播的简谐波，其频率 50Hz, , 振幅振幅A = 0.04m。已知弦线上离坐标原点。已知弦线上离坐标原点x1 1=0.5m处的质点在处的质点在t =0时刻的位移为时刻的位移为

14、 +A/2，且沿，且沿y轴负方向运动。当传播到轴负方向运动。当传播到 x2 2=10m 固定端时，被全部固定端时，被全部反射。试写出反射。试写出: : (1) (1)入射波和反射波的波动表式入射波和反射波的波动表式; ; (2) (2)人射波与反射波叠加的合成波在人射波与反射波叠加的合成波在0 x 10区区 间内波腹和波节处各点的坐标间内波腹和波节处各点的坐标; ; (3) (3)合成波的平均能流。合成波的平均能流。37解：解：xx1x2.0.5m.x10myo设坐标原点处质点的振动表达式为：设坐标原点处质点的振动表达式为：000.04cos(100)yt则则 x1=0.5m处质点的振动表达式

15、为：处质点的振动表达式为：100.50.04cos100 ()100yt m/s31010010Fu （1 1）计算得波速为：）计算得波速为：波长为：波长为：/100/502 muTu v 38则入射波的波动表达式为：则入射波的波动表达式为：根据题意根据题意, ,t =0时刻时刻x1处质点的位移为处质点的位移为y=0.02, ,速度小于零速度小于零. . 00000123cos()220.04 100 sin()02523326 50.04cos100 ()1006xyt 入射入射39传到传到x2处的振动处的振动表达式为：表达式为：xx1x2.0.5m.x10mxo考虑到考虑到x2处的半波损失，反射波在处的半波损失，反射波在x2处的振动表达式为：处的振动表达式为：210ytt 50.04cos100 ()100650.04cos1006则反射波则反射波在原点处的振动表达式为：在原点处的振动表达式为：11100cos04. 011)10010(100cos04. 00tty11100cos04. 05100cos04. 02tty4050.04cos100 ()1006xyt 入射入射110.04cos100 ()1006xyt 反射反射=0 082121222coscos224.coscos 10023yyyAxtTxt 合入射反射合入射反射则反