室内装修的光源安装决策

1、室内装修的光源安装决策南昌航空t业学院笫一届数学建模竟赛c 题(* )数信学院学院题冃室内装修的光源安装决策一摘要(%1) 题冃对室内装修的光源安装问题的研究(%1) 主要内容我们所研究的是家居室内的光源的安装问题。所做模型主要解决的是如何计算在室内范 围内的任意一点的光照强度，及根据光源成本和人体感光舒适度的要求來做一个既节约成 本又符合人体的要求的光照模型。我们采用了三维立体做图法来解决这个问题，把问题立体化，形象化，这个模型完全可 以家居室内的光源的安装问题，并且简便易行。在第一个步骤里，对题口进行深入的分析，及任意一点的位置租作出图形p1 (图形在 '问题分析与模型建立”这一过

2、程中)。在第二步骤里,通过对问题一的和假设分析,得出如下结果；二kl*k2/2,且设kl*k2=l°在第三步骤屮，根据kl*k2=l及根据步骤2的分析用matlab作出了在距离地而1.2米各个目标点m的光照强度与其位置之间的函数关系曲而图(如图一)，以及四 个光源时目标位苣的光照强度与其坐标的关系曲图的等高线(如图二)，并得岀了目标点 光照强度与其位置z间的函数关系：l (x, y) =1/ (x-32/3) 2+ (y-20/3) 2+4 +1/ (x- 32/3)2+(y-40/3)2+4+ 1/(x-16/3)2+ (y-40/3)2+4+1/(x-16/3)2+(y-20/3

3、)2+4在第四步骤中，经过分析上而的图形，对于再加一个光源的安装，所加光源只有在四灯 中心(即点a5 (&10,2 )才最佳。因为这样可以使再加的一个光源的光照能散射到墙 壁的四周并增强该公司新开某营业大厅空间的光的明亮度，从而节约了成木和电能。安装 位置如图形p2(图形在“问题分析与模型建立”这一过程中)，则冃标点光照强度与其位置 之间的函数关系为：l(x, y)=l/ (x-32/3) 2+ (y-20/3) 2+4+1/ (x-32/3) 2+ (y- 40/3)2+4+1/(x-16/3)2+(y-40/3)2+4+1/(x-16/3)2+(y-20/3)2+4+ 1/(x-8

4、)2+(y- 10)2+4,并利用matlab作出了在距离地血1. 2米各个标点m的光照强度与其位置z间 的函数关系曲面图(如图三)，以及五个光源时目标位置的光照强度与具坐标的关系曲图 的等高线(如图四)。二：问题重述某公司新开某营业大厅，现已知该大厅长为20米，宽为16米，在跖离地面高3. 2米的 位置均匀的安放4个光源，如下图（平面图）假设横向（纵向）墙壁与光源、光源与光源、光源与墙壁之间的距离是和等的，各个光 源的光照强度均为一个单位。要求：问题（1）:如何计算大厅内任意一点处距离地面1.2米处的光照强度？（光源対廿标点 m的光照强度l （x,y）与该光源到目标点距离di的平方成反比（比

5、例系数为k1）,与该光源的强度成正比（比例系数为k2） o问题（2）:画出距离地面1.2米各个点的光照强度l与位置（横处标x纵朋标y）之间 的函数关系曲而图，试同时给出一个近似的函数关系式l（x, y） o问题（3）:如果在此而积允许添加一个光源，应该安放在何处？问题（4）:结合成木、人体感光舒适度等因素，问应该设置多少个光源为最合适，应该 如何安装？三：相关光学知识（一）光强度是指光源在单位立体角内辐射的光通量，以i表示,单位为坎德拉（candela,简称cd）. 1 坎徳拉表示在单位立体角内辐射出1流明的光通量.（二）光照强度是指单位谢积上所接受可见光的能量。简称照度，单位勒克斯（lax）

6、 o（三）研究农明，眼睛能承受的叮见光的最人亮度值约为106cd/m2o3四：模型假设（一）为方便研究，不计光源四周的墙壁对光的漫反射，以及光的干涉。（二）假设光照强度与该光源到目标距离的平方成反比的比例系数为k1,与该光源的强 度成正比的比例系数为k2,且令ki xk2二k二1。（三）假设目标点的光照强度为各光源在该点的合成，即假设为各光源ai的光照强度 在该li标点m的代数和。(%1) 各个光源的光照强度l均为一个单位，即l二1 (lax)。(%1) 符号假设：l (x, y):所有光源到冃标点m的光照强度(x,y,o)：冃标点m的位置li (x, y) ： ai 光源到目标点m的光照强度

7、di:ai光源到tl标点m的距离五：问题分析与模型建立(%1) 对问题(1)的分析与求解如下图：4图形p1图形p1由假设目标点m的光照强度l (x, y)可由此函数关系求得：l (x, y)= lli(x, y)=l1/di2 (di=ai; i=l,2, 3, 4),由此函数可求大厅内任意一点处距 离地血1.2米处的光照强度。(%1) 对问题(2)的分析求解如下图:5图形p2由(一)中目标点 m 的光照强度函数 l(x, y) =eli (x, y) = e1/di =1/(x-32/3)2+(y- 20/3)2+4+1/(x-32/3)2+(y-40/3)2+4+1/(x-16/3)2+(

8、y-40/3)2+4+1/(x- 16/3)2+(y-20/3)2+4,利用matlab写出画此函数曲而图的程序，以及四个光源时冃标位 置的光照强度与其处标的关系曲图的等高线的程序(见附录)运行后分别得出如下两图， 图一利图二。26四个光源时目标位置的光照强度与具坐标的关系曲面图一图四个光源时冃标位置的光照强度与其坐标的关系曲面图的等髙线图一图二根据猜想和假设可给出一个近似的函数关系式l(x, y)= 1/ (x-32/3) 2+ (y- 20/3)2+4+1/(x-32/3)2+(y-40/3)2+4+1/(x-16/3)2+(y-40/3)2+4+1/(x- 16/3) 2+ (y-20/

9、3) 2+4 xl(任意 l>0)。(%1) 对问题(3)的分析求解如果在此面积(距离地面高3. 2米的位置)允许添再加一个光源，则tl标点光照强度与 其位置之间的函数关系为:l(x, y)= eli (x, y) = l1/di2 =1/ (x-32/3) 2+(y- 20/3)2+4+1/ (x-32/3)2+(y-40/3)2+4+1/(x-16/3)2+(y-40/3)2+4+1/(x- 16/3)2+(y-20/3)2+4+ l/ (x-8) 2+(y-10)2+4,并利用 matlab 作出 了在距离地面 1 2 米 各个fl标点m的光照强度与英位置之间的函数关系曲而图(如图

10、三)，以及五个光源时冃 标位置的光照强度与其坐标的关系曲图的等高线(如图四)。五个光源吋冃标位置的光照强度与其坐标的关系曲图一图三8五个光源时目标位置的光照强度与其坐标的关系曲图的等高线图一图四(%1) 对问题(4)的分析求解考虑到成本、人体感光舒适度等因索，只要l (x, y)小于眼睛能承受的可见光的最大亮 度值(约为106cd/m2)即可。六：结果分析与检验(-)由函数l(x, y) = sli(x, y) = e1/ di=1/(x-32/3)2+(y-20/3)2+4+1/(x-32/3)2+(y-40/3)2+4+1/(x-16/3)2+(y- 40/3) 2+4+1/ (x-16/

11、3) 2+ (y-20/3) 2+4及图一和图二可知：(1) 当越远离光源时，光照强度越弱，这是和实际相符合的。(2) 由图一可看岀，该图有四个极值点：a (5.3, 6.6, 0.3132) , b (10.6,9 26.8, 0.315) ,c (10.5, 13. 1, 0.3134) ,d (5.4, 13.2, 0.315)，该四个极值点就是 光照强度最强的点，且光照强度都近似为0.312个光照强度单位，而从实际生活屮叮知， 当在光源的正下方(即al、a2、a3、a4在平面xoy上的投影点b1 (32/3, 20/3, 0)、 b2 (32/3, 40/3, 0)、b3(16/3,

12、40/3, 0)、b4(16/3, 20/3, 0)、)时光照强度最强，通过比 较，a (5.3, 6.6, 0.3132)的横纵坐标近似为b4(16/3, 20/3, 0)的横纵坐标,b (10.6, 6.8, 0.315)的横纵坐标近似为b1 (32/3, 20/3,0)的横纵坐标,c (10.5, 13. 1,0.3134)的横纵坐标近似为b2(32/3, 40/3, 0)的横纵坐标,d (5.4, 13.2, 0.315)的横 纵坐标近似为b3(16/3, 40/3, 0)的横纵坐标，这表明通过所建模型求的结果和实际相符合，这正是我 所期望的！而根据实际生活，在光源的正下方的某些区域内

13、会有光照强度相同的点，实际上这些区 域就是图二中的等高线所围成的区域！(二)由函数l(x, y)二(x32/3). ”2+(丫-20/3). "2+4).l+(x-32/3). "2+(y40/3). 2+4). “1+(x16/3). 2+(y40/3). "2+4)1+(x-16/3)2+(y20/3). ”2+4). =l+(x8)2+(y 10/3)2+4)-l及图三和图四可知:(1)同(2)中的分析有：由图三可看出，该图有五个极值点，这也是和情理的，该五个极值点对应着五个光源的 在平而x0y上的投影点。在五个光源的正下方的某些区域内会有光照强度相同的点，

14、这些 区域就是图三中的等高线所围成的区域！七：参考文献赵静但琦主编书名：数学建模与数学实验(第二版)出版地：北京出版社：高等 教育出版社出版年：2003/6参考资料网址:baike. baidu/viow/661306. htm访问时间：2007/5参考资料网址: zhidao. baidu/qucstion/4515687. html?si=l 访问时间:2007/5八：附录mat lab作图程序：作图一的程序：x=0:0. 1:16;y二0:0. 1:20;x, y=meshgrid(x, y);z= (x-32/3). "2+(y20/3)2+4).1+(x32/3). &qu

15、ot;2+(y-40/3). "2+4) j1+(x-16/3)2+(y-40/3) "2+4).l+(x-16/3) "2+(y-20/3)八2+4). =1； mesh (x, y, z)作图二的程序:x=0:0. 1:16;y=0:0. l:20;10x, y=meshgrid(x, y);z=(x-32/3).八2+(y20/3). ”2+4).1+(x32/3)2+(y-40/3).八2+4). =1+(x-16/3)2+(y-40/3). "2+4)=l+(x-16/3)"2+(y-20/3).八2+4). =1;c, h=contour (x, y, z);clabel (c, h)colormap cool作图三的程序：x=0:0. 1:16;y=0:0. 1:20;x, y=meshgrid(x, y);z=(x-32/3). "2+(y-20/3).八2+4). =1+(x-32/3)八2+(y-40/3). ”2+4)=1+(x- 16/3).八2+(y-40/3). "2+4)八-1 +(x-16/3)八2+(y-20/3)八2+4).、1+(x-8). 2+(y- 10/3)2+4) j1;mesh (x, y, z)作图四的程序：x=0:0. 1:16;y二0: