现代数字电路与逻辑设计PPT课件

1、 无论数字信号还是模拟信号都有传输通路。在电子电路中，人们将产生、变换、传送、处理模拟信号的电子电路叫做模拟电路，将产生、存储、变换、处理、传送数字信号的电子电路叫做数字电路。数字电路不仅能够完成算术运算，而且能够完成逻辑运算，具有逻辑推理和逻辑判断的能力，因此被称为数字逻辑电路或逻辑电路。数字电路经历了由电子管和半导体分立元件组成的分立器件电路，发展成在微小的芯片上集成半导体器件及无源器件的集成电路。当前数字电路正向着大规模、低功耗、高速度、可编程、可测试和多值化方向发展，因而提高了数字逻辑的可靠性，缩小了系统的尺寸体积，更有利于大批量生产，达到提高产品的技术经济指标的目的。第1页/共83页

2、1.0 1.0 数制数制-任何数都可以用一组统一的符号和规则表示. .1.常用数制- -二, ,十, ,十六进制. .* * 计算机的数是以器件的物理状态来表示的, ,计算机由数字器件组成, ,所以全部用二进制表示. .* * 因为目前微机都是8,16,328,16,32位, ,都是四的整数倍,2,24 4=16=16, ,为书写方便, ,而广泛使用十六进制数. .为符合人们日常习惯, ,而使用十进制数. .2.为防止二义性,约定:* * 数后带D D或不带任何符号, ,则为十进制数; ;* * 带B B为二进制数; ;* * 带H H为十六进制数. .如: 100,100,即一百;100B,

3、;100B,即四;100H,;100H,即256.256.3. 十,二,十六进制数间的关系如下表：第2页/共83页十进制十进制二进制二进制十六进制十六进制十进制十进制二进制二进制十六进制十六进制0 0000000000 08 8100010008 81 1000100011 19 9100110019 92 2001000102 2101010101010A A3 3001100113 3111110111011B B4 4010001004 4121211001100C C5 5010101015 5131311011101D D6 6011001106 6141411101110E E7

4、7011101117 7151511111111F F第3页/共83页常用数制间的转常用数制间的转换换（1）二十六u 二进制整数十六：从右（最低位）向左将二进制数4位1组划分，最后一组若不足4位则在其左边补0，每组用1位十六进制数表示。如： 1 1111 1100 0111B 0001 1111 1100 0111B = 1FC7Hu 十六二：用4位二进制数代替1位十六进制数如： 3AB9H = 0011 1010 1011 1001B第4页/共83页（2）十六十u 十六十：将十六进制数按权展开相加 如： 1F3DH=163116215161316013 =4096125615163113 =

5、409638404813=7997 u 十进制整数十六：除16取余法。 如： 38947=9823H16 38947 316 38947 3 16 2434 2 16 2434 2 16 152 8 16 152 8 16 9 9 16 9 9 0 0余数倒序排列第5页/共83页 在客观世界中，事物的发展变化通常都是有一定因果关系的。例如，电灯的亮、灭决定于电源是否接通，如果接通了，电灯就会亮，否则就灭。电源接通与否是因，电灯不亮是果。这种因果关系，一般称为逻辑代数关系，反映和处理这种关系的数学工具，就是逻辑代数。和普通代数比较起来，在逻辑代数中，虽然也用英文字母表示变量，但情况要简单得多。在

6、二值逻辑中，变量取值不是1就是0，没有第三种可能。而且这里的1和0并不是表示数值的大小，它们所代表的是两种不同的逻辑状态。例如，用1和0分别表示一件事的是与非、真与假，电压的高与低，电流的有与无，一个开关的开通与关断，一盏电灯的亮与灭等等。1.1 逻辑运算与逻辑电路第6页/共83页逻辑运算 在逻辑代数中，基本逻辑运算有与、或、非三种，常用的复合逻辑运算是与非、或非、与或非、异或等。1.1.三种基本逻辑运算（1）与逻辑关系 当决定一件事情的各个条件全部具备时，这件事情才会发生，这样的因果关系，称之为与逻辑关系。只有开关A A与开关B B都合上时，灯才会亮，所以对灯亮这件事情来说，开关A A和开关

7、B B闭合是与的逻辑关系。第7页/共83页（2）或逻辑关系当决定一件事情的各个条件中，只要有一个具备，这件事情就会发生，这样的因果关系，叫做或逻辑关系。只要开关A或者开关B闭合，灯就会亮，所以对灯亮这件事情来说，开关A和开关B闭合是或的逻辑关系。（3 3）非逻辑关系非就是反，就是否定。当开关断开时，灯亮，闭合时反而会灭，所以对灯亮来说，开关闭合是一种非逻辑关系。第8页/共83页三种基本逻辑关系的功能表三种基本逻辑关系的功能表。开关开关 A A开关开关 B B灯灯 Y Y1 1灯灯 Y Y2 2灯灯 Y Y3 3断开断开断开断开灭灭灭灭亮亮断开断开闭合闭合灭灭亮亮闭合闭合断开断开灭灭亮亮灭灭闭合

8、闭合闭合闭合亮亮亮亮第9页/共83页经过设定变量和状态赋值之后，便可以得到反映开关状态与电灯亮灭之间因果关系的数学表达形式真值表。用英文字母表示开关和电灯的过程，叫做设定变量。现用A A、B B、Y1Y1、Y2Y2、Y3Y3分别表示开关A A、B B和灯Y1Y1、Y2Y2、Y3Y3。用0 0和1 1分别表示开关和电灯有关状态的过程，称为状态赋值。现用0 0表示开关断开和灯灭，用1 1表示开关闭合和灯亮。这也叫做变量取值。根据设定变量和状态赋值情况，由功能表，可以很容易地列出真值表。 第10页/共83页基本逻辑关系的真值表 A AB BY Y1 1Y Y2 2Y Y3 30 00 00 00 0

9、1 10 01 10 01 11 10 00 01 10 01 11 11 11 1第11页/共83页（2）基本逻辑运算 在真值表中，对Y1来说，只有当A与B均为1时，其值才会为1，显然是一种与的逻辑关系，并记作:读作读作Y1Y1等于等于A A与与B B，相应地把这种运算叫做逻辑与运算，简称为与运算。与运，相应地把这种运算叫做逻辑与运算，简称为与运算。与运算和算术中的乘法运算是一样的，所以又叫做逻辑乘法运算，相应地，上式算和算术中的乘法运算是一样的，所以又叫做逻辑乘法运算，相应地，上式又可读作又可读作Y1Y1等于等于A A乘乘B B。 在真值中，对在真值中，对Y2Y2来说，只要来说，只要A A

10、或或B B为为1 1时，其值就会为时，其值就会为1 1，显然是一种或，显然是一种或的逻辑关系，并记作的逻辑关系，并记作: :BAY2第12页/共83页 上式读作Y2等于A或B，相应地，把这种运算叫做逻辑或运算，简称为或运算。或运算和算术中的加法运算很相似，所以又叫做逻辑加法运算，相应地，又常读作Y2等于A加B。 在真值表中，当在真值表中，当A A取值为取值为0 0时时Y3Y3为为1 1，A A取值为取值为1 1时时Y3Y3反而为反而为0 0，这显然是一，这显然是一种逻辑非关系，并记作：种逻辑非关系，并记作：AY3 读作读作Y3Y3等于等于A A非，或者非，或者Y3Y3等于等于A A反。反。A

11、A上面的一横就表示非或者反。相应地，上面的一横就表示非或者反。相应地，把这种运算叫做非运算或者反运算。把这种运算叫做非运算或者反运算。 2.2.复合逻辑运算在逻辑代数中，由基本的与、或、非逻辑运算可以实现多种复合逻辑运算。在逻辑代数中，由基本的与、或、非逻辑运算可以实现多种复合逻辑运算。 第13页/共83页(a)(a)国标符号国标符号 (b)(b)曾用符号曾用符号 (c)(c)国外符号国外符号 七种逻辑运算和逻辑符号七种逻辑运算和逻辑符号第14页/共83页 在上图中，用英文字母表示变量，这里叫做逻辑变量。整个式子叫做逻辑表达式，式中A、B称为输入逻辑变量。Y叫做输出逻辑变量，字母上面无反号的称

12、为原变量，有反号的叫做反变量。正负逻辑问题 在数字电路中，通常用电路的高电平和低电平来分别代表逻辑在数字电路中，通常用电路的高电平和低电平来分别代表逻辑1 1和逻辑和逻辑0 0，在这种规定下的逻辑关系称为正逻辑。反之，用低电平表示逻辑在这种规定下的逻辑关系称为正逻辑。反之，用低电平表示逻辑1 1，用高电，用高电平表示逻辑平表示逻辑0 0，在这种规定下的逻辑关系称为负逻辑。我们将电平和逻辑取，在这种规定下的逻辑关系称为负逻辑。我们将电平和逻辑取值之间对应关系给以规定称为逻辑规定。值之间对应关系给以规定称为逻辑规定。 对于一个数字电路，既可以采用正逻辑，也可采用负逻辑。同一电路，如对于一个数字电路

13、，既可以采用正逻辑，也可采用负逻辑。同一电路，如果采用不同的逻辑规定，那么电路所实现的逻辑运算是不同的。果采用不同的逻辑规定，那么电路所实现的逻辑运算是不同的。第15页/共83页几种逻辑运算的正逻辑和负逻辑电平关系。逻辑运算正逻辑电平关系逻辑运算正逻辑电平关系 逻辑运算负逻辑电平关系逻辑运算负逻辑电平关系 正逻辑与运算和负逻辑或运算互相对应；正逻辑或运算和负逻辑与运正逻辑与运算和负逻辑或运算互相对应；正逻辑或运算和负逻辑与运算互相对应。算互相对应。第16页/共83页逻辑电路的工作原理 TTL电路在中、小规模集成电路方面应用广泛。TTL 电路的基本环节是与非门，本节介绍TTL与非门的工作原理 。

14、 TTL与非门的电路图如下，它由输入级、中间级和输出级三部分组成。 第17页/共83页 输入级是由多射极晶体管V1 1和电阻R1 1组成的一个与电路，实现输入逻辑变量A、 B、 C的与逻辑运算功能。V1 1管的电流放大作用，有利于提高V1 1管从饱和到截止的转换速度。 中间级是由V2 2、R2 2及R3 3组成的一个电压分相器。它在V2 2的发射极与集电极上分别得到两个相位相反的电压，以驱动输出级三极管V4 4、V5 5轮流导通。 输出级是由V3 3、V4 4、V5 5和R4 4、R5 5组成的一个非电路。其中V5 5为驱动管，达林顿复合晶体管V3 3、V4 4与电阻R4 4、R5 5一起构成

15、了V5 5的有源负载。输出级采用的推挽结构，使V4 4、V5 5轮流导通，输出阻抗较低，有利于改善电路的输出波形，提高电路的负载能力。第18页/共83页 1.输入有任一个(或两个)为0.3V 假定输入端A为0.3V，那么T1的A发射结导通，T1的基极电平VB1=VA+VBE1=0.3V+0.7V=1.OV。此时，VB1作用于T1的集电结和T2，T3的发射结上，VB1过低，不足以使T2和T5导通。因为要使T2和T5导通，至少需要VB1=2.lV。当T2和T5截止时，电源VCC通过电阻R2向T3提供基极电流，使T3和T4导通，其电流流入负载。因为电阻R2上的压降很小，可以忽略不计，输出电平为 VO

16、=VCC-VBE3-VBE4=5-0.7-0.7=3.6V 实现了输入只要有一个低电平，输出为高电平的逻辑关系。第19页/共83页 2.输入端全为3.6V 当输入端全为高电平3.6V时，T1的所有发射结都处于反向偏置而截止，集电结为正向偏置而导通，即T1处于反向工作状态。电源VCC通过电阻R1和T1的集电结向T2提供基极电流，使T2和T5饱和导通(饱和时的管压降VCES=0.3V)。所以T3的基极电平为 VB3=VCES2+VBE5=0.3+0.7=lV 大于T3发射结的导通电压VBE3，所以T3导通，其发射结压降为0.7V左右，这样，T4的基极电位为 VB4=VB3-VBE3=l-0.7=0

17、.3V 而T4发射极的电位即T5集电极的电位为 VE4=VC5=VCES5=0.3V T4发射结压降近似为0，故T4截止。其结果将使T5处于深度饱和状态。故输出为0.3V，也即VO=0.3V。实现了输入全为高电平，输出为低电平的逻辑关系。 通过上述分析可知，当输入有一个或两个为0.3V时，输出为3.6V；当输入全为3.6V时，输出为0.3V。电路实现了与非门的逻辑关系。第20页/共83页与非门的电压传输特性 电压传输特性是指输出电压VO随输入电压VI变化的特性。如果将TTL与非门的某输入端电压由OV逐渐增加到5V，其它输入端接5V，测量输出端电压，可以得到一条电压变化的曲线，这就是电压传输特性

18、曲线，如右图所示。第21页/共83页 前面介绍逻辑门时，假定高电平3.6V代表逻辑1,低电平0.3V代表逻辑0，但是在实际应用中，由于受到噪声干扰，信号的高、低电平要发生变化。为了保证逻辑门正确实现逻辑运算，规定了高、低电平偏离数值容许的范围。 输出高电平VOH：逻辑门电路输出处于截止状态时的输出电平，其典型值是3.6V，规定最小值VOH（min）=2.4V。 输出低电平VOL：逻辑门电路输出处于导通状态时的输出电平，其典型值是0.3V，规定最大值VOL（max）=0.4V。 输入高电平VIH：典型值是3.6V，规定最小值为2.OV。因为这个最小电平是保证门电路处于导通状态(输出低电平VOL=

19、0.4V)的最小输入电平，因此称其为开门电平，用VON表示。 输入低电VIL：的典型值是0.3V，规定最大值为0.8V，因为这是保证门电路处于截止状态(输出高电平VOH=2.4V)的最大输入电平，故称其为关门电平，用VOFF表示。第22页/共83页1.2 逻辑代数的数学描述逻辑代数的公式和定律1.1.常量之间的关系常量之间的关系因为二值逻辑中只有因为二值逻辑中只有0 0、1 1两个常量，逻辑变量的取值不是两个常量，逻辑变量的取值不是0 0就是就是1 1，而最基，而最基本的逻辑运算又只有与、或、非三种，所以常量之间的关系也只有下列几种：本的逻辑运算又只有与、或、非三种，所以常量之间的关系也只有下

20、列几种： 0 00 1 11 0 10 1 01 1 11 000 01 10 公式1公式1公式2公式2公式3公式3公式4公式4第23页/共83页 这些常量之间的关系，同时也体现了逻辑代数中的基本运算规则，也叫做这些常量之间的关系，同时也体现了逻辑代数中的基本运算规则，也叫做公理，它是人为规定的。这样规定，既与逻辑思维的推理一致，又与人们已公理，它是人为规定的。这样规定，既与逻辑思维的推理一致，又与人们已经习惯了的普通代数的运算规则相似。经习惯了的普通代数的运算规则相似。 1AA 7 0 711 6 00 60 5 1 5公式公式公式公式公式公式AAAAAAAA2.2.变量和常量的关系第24页

21、/共83页(1)交换律3.3.与普通代数相似的定理 ABBAABBA公 式 8公 式 8 (2)(2)结合律结合律 ()()()ABCABCABCABC公式9公式9 ( (3)(3)分配律分配律 ()() ()AB CA BA CA B CA BA C公式10公式10 第25页/共83页4.逻辑代数的一些特殊定理 公式公式5 5到公式到公式1313的证明是极容易的，最直接的方法，就是将变量的各种可的证明是极容易的，最直接的方法，就是将变量的各种可能取值代入等式进行计算，列出真值表，如果等号两边的值相等，则等式成能取值代入等式进行计算，列出真值表，如果等号两边的值相等，则等式成立，否则就不成立。

22、立，否则就不成立。第26页/共83页第27页/共83页第28页/共83页5.若干常用公式公式16说明，在一个与或表达式中，如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。第29页/共83页第30页/共83页推论： 证明：第31页/共83页第32页/共83页6.关于异或的一些公式BABABAABBABABABABA 在变量在变量A AB B取值相异时其值为取值相异时其值为1 1，相同时其值为，相同时其值为0 0，故名异或运算。根据相，故名异或运算。根据相似的道理，我们把异或运算的反叫做同或运算。并记为似的道理，我们把异或运算的反叫做同或运算。并记为(1)交换律 ABBA (2)结合律

23、 )()(CBACBA (3)分配律 CABACBA)( 第33页/共83页(3)分配律 证明: 第34页/共83页( (4 4) )常常量量和和变变量量的的异异或或运运算算 由由异异或或运运算算的的定定义义可可直直接接推推导导出出 AA1 AA0 0AA 1AA ( (5 5) )因因果果互互换换律律 如如果果 CBA 则则有有 BCA ACB 第35页/共83页逻辑代数的基本运算规则 1.1.代入规则 在任何逻辑等式中，若果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之一个在任何逻辑等式中，若果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之一个函数，则等式仍然成立。函数，则等式仍然成立。2.2.反演规则

24、对于任意一个函数，如果将其表达式中所有的对于任意一个函数，如果将其表达式中所有的“”换成换成“+ +”，“+ +”换成换成“”；“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”；原变量换成反变量，反变量换成原变；原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是该函数的反函数，这个规则就叫做反演规则。量，那么所得到的表达式就是该函数的反函数，这个规则就叫做反演规则。3.3.对偶规则 对于任何一个函数表达式对于任何一个函数表达式, ,如果将其中所有的如果将其中所有的“”换成换成“+ +”，“+ +”换成换成“”；“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”，那么得

25、到的表达式就是该表达式的对，那么得到的表达式就是该表达式的对偶式。如果两个表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等，这就是对偶规偶式。如果两个表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等，这就是对偶规则。则。第36页/共83页1.3 逻辑函数的化简 逻辑函数有各种不同的表示形式，即使同一类型的表达式也有可能有繁逻辑函数有各种不同的表示形式，即使同一类型的表达式也有可能有繁有简。在数字系统中，实现某一逻辑功能的逻辑电路的复杂性与描述该功有简。在数字系统中，实现某一逻辑功能的逻辑电路的复杂性与描述该功能的逻辑表达式的复杂性直接相关能的逻辑表达式的复杂性直接相关。一般来说，逻辑函数表达式越简单，一般来说，逻

26、辑函数表达式越简单，设计出来的相应的逻辑电路越简单设计出来的相应的逻辑电路越简单。然而，从逻辑问题概括出来的逻辑函然而，从逻辑问题概括出来的逻辑函数通常都不是最简的，为了降低系统成本，必须将它们化简数通常都不是最简的，为了降低系统成本，必须将它们化简。 化简逻辑函数，经常用到的方法有两种：一种叫做公式化简法，就是用化简逻辑函数，经常用到的方法有两种：一种叫做公式化简法，就是用逻辑代数中的公式和定理进行化简；另一种称为图形化简，进行化简的工逻辑代数中的公式和定理进行化简；另一种称为图形化简，进行化简的工具是卡诺图。具是卡诺图。第37页/共83页逻辑函数的公式化简1.1.逻辑函数的最简表达式 一个

27、逻辑函数的最简表达式，常按照式中变量之间运算关系不同，分成一个逻辑函数的最简表达式，常按照式中变量之间运算关系不同，分成最简与或式、最简与非最简与或式、最简与非与非式、最简或与式、最简或非与非式、最简或与式、最简或非或非式、最简或非式、最简与或非式等五种。与或非式等五种。（1 1）最简与或式 定义：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与定义：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式，叫做最简与或表达式。或表达式，叫做最简与或表达式。第38页/共83页（2 2）最简与非与非式 定义：非号最少，每个非号下面相乘的变形个数也最少的与非定义：非号最少，每个非号下面

28、相乘的变形个数也最少的与非与非式，与非式，叫做最简与非叫做最简与非与非表达式。注意，单个变量上面的非号不算，因为已将其与非表达式。注意，单个变量上面的非号不算，因为已将其当成反变量。当成反变量。 【例 16】写写出出函函数数CAABY的的最最简简与与非非与与非非式式。 解解：CAABYCAAB 上上式式就就是是函函数数 Y Y 的的最最简简与与非非与与非非表表达达式式。 （3 3）最简或与式 定义：括号个数最少，每个括号中相加的变量的个数也最少的或与式，叫定义：括号个数最少，每个括号中相加的变量的个数也最少的或与式，叫做最简或与式表达式。做最简或与式表达式。第39页/共83页 在反函数最简与或

29、表达式的基础上，取反，再用摩根定理去掉反号，在反函数最简与或表达式的基础上，取反，再用摩根定理去掉反号，便可得到函数的最简或与表达式。当然，在反函数的最简与或表达式的基便可得到函数的最简或与表达式。当然，在反函数的最简与或表达式的基础上，也可以用反演规则，直接写出函数的最简或与式。础上，也可以用反演规则，直接写出函数的最简或与式。例1-7 写出函数 的最简或与式。（4 4）最简或非或非式 定义：非号个数最少，非号下面相加变量的个数也最少的或非定义：非号个数最少，非号下面相加变量的个数也最少的或非或非式，或非式，叫做最简或非叫做最简或非或非表达式。或非表达式。 在最简或与式的基础上，两次取反，再

30、用摩根定理去掉下面的反号，所在最简或与式的基础上，两次取反，再用摩根定理去掉下面的反号，所得到的便是函数的最简或非得到的便是函数的最简或非或非表达式。或非表达式。第40页/共83页（5 5）最简与或非式 定义：在非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量定义：在非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或非式，叫做最简与或非式个数也最少的与或非式，叫做最简与或非式 。 在最简或非在最简或非或非式的基础上，用摩根定理去掉大反号下面的小反号，或非式的基础上，用摩根定理去掉大反号下面的小反号，便可得到函数的最简与或非表达式。当然在反函数最简与或式的基础上，便可得

31、到函数的最简与或非表达式。当然在反函数最简与或式的基础上，直接取反亦可。直接取反亦可。第41页/共83页 从上面各种最简式的介绍中，不难发现，只要得到了函数的最简与或式，再用摩根定理进行适当变换，就可以获得其它几种类型的最简式。因此，下面要讲解的公式化简法和图形化简法，所说明的都是如何在与或式的基础上，获得最简与或表达式的方法。 第42页/共83页 2. 2. 逻辑函数的公式化简法公式化简法，就是在与或表达式的基础上，利用公式和定理，消去表达式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，求出函数的最简与或式。经常使用到的方法可以归纳如下：1.1.并项法利用公式 ，把两个乘积项合并消去一个变量。2.

32、2.吸收法利用公式 ，吸收掉多余的乘积项。3.3.消去法利用公式 ，消去乘积项中多余的因子。4.4.配项消去法利用公式 ，在函数与或表达式中加上多余项，以消去更多的乘积项。第43页/共83页做P20P22的例1-10例1-17。 第44页/共83页逻辑函数的图形化简法第45页/共83页一一个个变变量量A有有两两个个最最小小项项：A、A； 二二个个变变量量A、B有有4 4 个个最最小小项项：BA、BA、BA、AB； 三三个个变变量量A、B、C有有8 8个个最最小小项项：CBA、ABC。 一一般般地地说说，对对于于n个个变变量量，如如果果P是是一一个个含含有有n个个因因子子的的乘乘积积项项，而而且

33、且每每个个变变量量都都以以原原变变量量或或者者反反变变量量的的形形式式， 作作为为一一个个因因子子在在P P中中出出现现且且仅仅出出现现一一次次，那那么么就就称称P上上这这n个个变变量量的的一一个个最最小小项项。n个个变变量量一一共共有有n2个个最最小小项项，因因为为每每一一个个变变量量都都有有原原变变量量、反反变变量量两两种种形形式式，而而变变量量个个数数是是n。 第46页/共83页 （3 3）最小项是组成逻辑函数的基本单元 任何逻辑函数都可以表示成为最小项之和的形式任何逻辑函数都可以表示成为最小项之和的形式-标准与或表达式，即任何标准与或表达式，即任何逻辑函数，都是由函数中变量的若干最小项

34、构成的。逻辑函数，都是由函数中变量的若干最小项构成的。第47页/共83页 逻辑函数最小项之和的形式逻辑函数最小项之和的形式标准与或表达式是唯一的，也就是说，标准与或表达式是唯一的，也就是说，一个逻辑函数有一个最小项之和的表达式。利用逻辑代数中的公式和定理，一个逻辑函数有一个最小项之和的表达式。利用逻辑代数中的公式和定理，可以将任何逻辑函数展开或变换成标准与或表达式。可以将任何逻辑函数展开或变换成标准与或表达式。第48页/共83页 逻辑函数的标准与或表达式，也可以从真值表直接得到。只要在真值表中，挑出那些使函数值为1 1的变量取值，变量为1 1的写成原变量，为0 0的写成反变量，这样对应于使函数

35、值为1 1的每一种取值，都可以写出一个乘积项，只要把这些乘积项加起来，所得到的就是函数的标准与或表达式。 例如，从表1-61-6所示真值表就可以直接写出第49页/共83页 （4）最小项的编号 为了叙述和书写的方便，通常都要对最小项进行编号。 编号的方法是：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号。第50页/共83页 一个最小项，只要把原变量当成1、反变量当成0，便可以直接得到它的编号。在书写逻辑函数标准与或表达式时，常常用注有下标的小写m表示有关的啊小项，甚至只用相应的编号表示。第51页/共83页 用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法，叫做图形化简法

36、。用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法，叫做图形化简法。图形化简法有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来也比较容图形化简法有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来也比较容易。易。1.1.逻辑变量的卡诺图 卡诺图是由真值表变换而来的一种方格图。卡诺图上的每一个小方格代表卡诺图是由真值表变换而来的一种方格图。卡诺图上的每一个小方格代表真值表上的一行，因而也就代表一个最小项。真值表有多少行，卡诺图就有真值表上的一行，因而也就代表一个最小项。真值表有多少行，卡诺图就有多少个小方格。多少个小方格。（1 1）二变量的卡诺图两个变量有两个变量有4 4个最小项，用个最小项，用4 4个

37、小方块表示，变量个小方块表示，变量A A、B B的卡诺图如下图：的卡诺图如下图：第52页/共83页 在图（在图（b b）中，）中，m m表示最小项，下标是相应最小项的编号；在图（表示最小项，下标是相应最小项的编号；在图（c c）中只）中只标出了最小项的编号；在图（标出了最小项的编号；在图（d d）中，连最小项的编号也省去不写了。人们）中，连最小项的编号也省去不写了。人们经常使用的，是图（经常使用的，是图（d d）中给出的形式。）中给出的形式。 第53页/共83页(2)卡诺图的画法卡诺图一般都用正方形或矩形表示。对于n个变量，图中的小方块应有2n个，因为n个变量有2n个最小项，而每一个最小项，都

38、需要用一个小方块表示。卡诺图按循环码排列变量取值顺序。这一步是关键，只有这样排列，所得到的最小项方块图，才叫做卡诺图。三变量和四变量的卡诺图 第54页/共83页（3 3）变量卡诺图的特点 用几何相邻形象地表示变量各个最小项在逻辑上的相邻性。在卡诺图中，凡是几何相邻的最小项，在逻辑上都是相邻的。变量取值之所以要按照循环码排列，就是为了保证画出来的方块图具有这一重要特点。a.a.几何相邻。包括三种情况：一是相接紧挨着；二是相对任一行或一列的两头；三是相重对折起来后位置重合。b.b.逻辑相邻。如果两个最小项，除了一个变量的形式不同以外，其余的都相同，那么这两个最小项就叫做在逻辑上是相邻的。而在逻辑上

39、相邻的最小项，是可以合并的。第55页/共83页 （4 4）变量卡诺图中最小项合并的规律 在变量卡诺图中，凡是几何相邻的最小项均可合并，合并可以消去有关变量。两个最小项合并成一项时可以消去一个变量，4 4个最小项合并成一项可以消去两个变量，8 8个最小项合并成一项时可以消去三个变量。第56页/共83页2.2.逻辑函数的卡诺图(1)(1)逻辑函数卡诺图的画法在与或表达式基础上，画逻辑函数的卡诺图，可按下列步骤进行：先画出函数变量的卡诺图；然后在每一个乘积项所包含的最小项处都填上1 1，剩下的填上0 0或不填，所得到的就是函数的卡诺图。 在函数的与或表达式中，每一个乘积项都是由若干最小项构成的，该乘

40、积项就是这些最小项的公因子。所以，有了函数的与或表达式后，画函数的卡诺图时，并不需要将与或式进一步展开成标准与或式。第57页/共83页(2)(2)逻辑函数卡诺图的特点 逻辑函数卡诺图最突出的优点，就是用几何位置的相邻，形象地表达了构成函数的各个最小项在逻辑上的相邻性，因此可发用来化简逻辑函数，求出函数的最简与或式。逻辑函数的卡诺图的最大缺点，就是当函数变量多余六个时，不仅画起来十分麻烦，而且其优点也不复存在，再无实用价值。第58页/共83页(3) 逻辑函数卡诺图画法举例例1-19画出函数 的卡诺图。解Y1的变量是A、B、C、D，先画出四变量卡诺图。由变量不难看出， 是最小项m0、m1、m2、m

41、3的公因子，也即乘积项包含的最小项是m0、m1、m2、m3 ；AB包含的最小项是m12、m13、m14、m15； 包含的最小项是m0、m4、m8、m12。只要在表示这些最小项的方格中填上1，在其它方格中填上0，便可得到Y1的卡诺图,如右图所示。 AB CD 00 01 11 00 01 11 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 第59页/共83页【例例1 12020】画出函数画出函数 的卡诺图。的卡诺图。解：由解：由 、 ，可得如下图所示的卡，可得如下图所示的卡诺图。诺图。另外，一个函数另外，一个函数Y Y的卡诺图，同时由填的卡诺图，同时由填0 0的那些

42、最小项表示了该函数的反，的那些最小项表示了该函数的反，即即 。DBACBAY254mmCBA119mmDBAY AB CD 00 01 11 00 01 11 10 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 第60页/共83页第61页/共83页3. 3. 用卡诺图化简逻辑函数（1 1）基本步骤）基本步骤 画出逻辑函数的卡诺图；画出逻辑函数的卡诺图； 合并逻辑函数的最小项；合并逻辑函数的最小项； 选择乘积项写出最简与或式。选择乘积项写出最简与或式。第62页/共83页(2) (2) 应用举例【例例1-221-22】 用图形法化简函数用图形法化简函数Y BCD BC AC

43、D ABC解：解：(1)(1)画出函数的卡诺图。如下图所示。画出函数的卡诺图。如下图所示。 AB CD 00 01 11 00 01 11 10 10 4 3 3 10 11 5 13 12 1 第63页/共83页合并最小项合并最小项按照前面介绍的方法按照前面介绍的方法, ,把可以合并的最小项分别圈出来把可以合并的最小项分别圈出来. .由图可知由图可知选择乘积项写出最简与或表达式选择乘积项写出最简与或表达式 选择乘积项的原则是选择乘积项的原则是: :必须包含函数的全部最小项；选用的乘积项的总必须包含函数的全部最小项；选用的乘积项的总数应该最小；每一个乘积项所含的因子也应该最少。数应该最小；每一

44、个乘积项所含的因子也应该最少。 所以，化简结果是？所以，化简结果是？ 第64页/共83页（3 3）几个应注意的问题 利用逻辑函数的卡诺图合并最小项，求函数的最简与或表达式时，应利用逻辑函数的卡诺图合并最小项，求函数的最简与或表达式时，应注意下面几个问题：注意下面几个问题： 圈越大越好。合并最小项，消去的变量就越多，因而得到的由这些圈越大越好。合并最小项，消去的变量就越多，因而得到的由这些最小项的公因子构成的乘积也就越简单。最小项的公因子构成的乘积也就越简单。 每一个圈至少应包含一个新的最小项。合并时，任何一个最小项都每一个圈至少应包含一个新的最小项。合并时，任何一个最小项都可重复使用，但是每一

45、个圈至少都应包含一个新的最小项可重复使用，但是每一个圈至少都应包含一个新的最小项未被其它未被其它圈圈过的最小项，否则它就是多余的。圈圈过的最小项，否则它就是多余的。 必需把组成函数的全部最小项圈完。每一个最小项中的公因子就构必需把组成函数的全部最小项圈完。每一个最小项中的公因子就构成一个乘积项，一般地说，把这些乘积项加起来，就是该函数的最简与成一个乘积项，一般地说，把这些乘积项加起来，就是该函数的最简与或表达式。或表达式。第65页/共83页 有时需要比较、检查才能写出最简与或表达式。在有些情况下，最小有时需要比较、检查才能写出最简与或表达式。在有些情况下，最小项的圈法不止一种，因而得到的各个乘

46、积项组成的与或表达式也会各不相项的圈法不止一种，因而得到的各个乘积项组成的与或表达式也会各不相同，虽然它们都同样包含了函数的全部最小项，但是谁是最简的，常常要同，虽然它们都同样包含了函数的全部最小项，但是谁是最简的，常常要经过比较、检查才能确定。而且，有时候还会出现几个表达式都同样是最经过比较、检查才能确定。而且，有时候还会出现几个表达式都同样是最简式的情况。简式的情况。 人们在合并最小项时，有两种情况常常容易被疏忽。一是卡诺图中四个角人们在合并最小项时，有两种情况常常容易被疏忽。一是卡诺图中四个角上的最小项是可以合并的；二是一开始就画大圈，然后画小圈，而圈完后又上的最小项是可以合并的；二是一

47、开始就画大圈，然后画小圈，而圈完后又不作最后检查，以挑出不包含任何新的最小项的圈（该圈所包含的最小项已不作最后检查，以挑出不包含任何新的最小项的圈（该圈所包含的最小项已全被其它圈所包含），并划掉，因此写出的与或表达式不是最简的。全被其它圈所包含），并划掉，因此写出的与或表达式不是最简的。第66页/共83页第67页/共83页具有约束的逻辑函数的化简1.1.约束的概念和约束条件（1 1）约束、约束项、约束条件约束：约束是用来说明逻辑函数中各个变量之间互相制约关系的一个重要概念。由有约束的变量所决定的逻辑函数，叫做有约束的逻辑函数。约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项叫做约束项、任意项或无关项。

48、由最小项的性质知道，只有对应变量取值出现时，其值才会为1 1。而约束项对应的是不出现的变量取值，所以其值总等于0 0。约束条件：由约束项加起来所构成的值为0 0的逻辑表达式，叫做约束条件。因为约束项的值为0 0，而无论多少个0 0加起来还是0 0，所以约束条件等式恒等于0 0。 第68页/共83页（2 2）约束条件的表示方法在真值表中，用叉号（在真值表中，用叉号（）表示。）表示。在逻辑表达式中，约束项一般用符号在逻辑表达式中，约束项一般用符号或者或者d d来表示。逻辑表达式为来表示。逻辑表达式为 F = m( )+( )F = m( )+( )，约束条件：，约束条件：( ) = 0( ) =

49、0。括号内均为标准项的序号，约束项与最小项表达式是逻辑或的关系，将逻括号内均为标准项的序号，约束项与最小项表达式是逻辑或的关系，将逻辑表达式中的约束条件写成辑表达式中的约束条件写成( ) = 0( ) = 0，相当于约束项的加入不会改变原，相当于约束项的加入不会改变原表达式所描述的逻辑电路的功能。表达式所描述的逻辑电路的功能。在卡诺图中，用叉号（在卡诺图中，用叉号（）表示，即在约束项处记上）表示，即在约束项处记上“”以区别于其它以区别于其它最小项。最小项。第69页/共83页2.2.具有约束的逻辑函数的化简 关键是怎样利用约束条件。一般地说，在化简具有约束的逻辑函数时，如果充分利用约束条件，常常

50、可使表达式大大简化。在公式法中的应用在公式法中，可以根据化简的需要加上或去掉约束条件。在图形法中的应用在利用函数的卡诺图合并最小项时，可根据化简的需要包含或去掉约束项。3.3.化简举例 例1-271-27函数Y Y的变量A A、B B、C C是互相排斥的( (在一组变量中，如果只要有一个变量取值为1 1，则其它变量的值就一定是0 0，有这种约束的变量，叫做互相排斥的变量。) )，试分别用公式法和图形法求出Y Y的最简与或表达式。 函数Y Y的真值表如下：第70页/共83页第71页/共83页第72页/共83页第73页/共83页第74页/共83页第75页/共83页1.4 逻辑函数的描述方法及转换逻

51、辑函数的表示方法 用来表示逻辑函数的方法，归纳起来有真值表、卡诺图、表达式、用来表示逻辑函数的方法，归纳起来有真值表、卡诺图、表达式、逻辑图和波形图等五种。逻辑图和波形图等五种。1.1.真值表真值表 把变量的各种可能取值与相应的函数，以表格形式一一列举出来，把变量的各种可能取值与相应的函数，以表格形式一一列举出来，这种表达式叫做真值表。这种表达式叫做真值表。（1 1）列表方法）列表方法 每一个变量均有每一个变量均有0 0、1 1两种取值，两种取值，n n个变量共有个变量共有 种不同取值，将它种不同取值，将它们按顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置写上函们按顺序（一般按二进制递增

52、规律）排列起来，同时在相应位置写上函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。数的值，便可得到逻辑函数的真值表。 n2第76页/共83页（2 2）主要特点真值表以表格形式表示逻辑函数，其优点是：真值表以表格形式表示逻辑函数，其优点是：a.a.直观明了。输入变量取值一旦确定，即可以从表中查出相应的函数值。直观明了。输入变量取值一旦确定，即可以从表中查出相应的函数值。b.b.在把一个实际问题，抽象为数学表达式形式时，使用真值表是最方便的。在把一个实际问题，抽象为数学表达式形式时，使用真值表是最方便的。真值表的主要缺点是：真值表的主要缺点是：a.a.难以用逻辑代数的公式和定理，进行运算和变换。难以用逻辑代数

53、的公式和定理，进行运算和变换。b.b.当变量比较多时，列真值表会十分繁琐。当变量比较多时，列真值表会十分繁琐。2.2.卡诺图 卡诺图可以说是真值表的一种方块图表达形式，只不过是变量取值，必卡诺图可以说是真值表的一种方块图表达形式，只不过是变量取值，必须按照循环码的顺序排列而已，与真值表有严格的一一对应关系，因此也可须按照循环码的顺序排列而已，与真值表有严格的一一对应关系，因此也可以叫做真值方格图。以叫做真值方格图。第77页/共83页 卡诺图的优点，是用几何相邻形象直观地表示了函数各个最小项的逻卡诺图的优点，是用几何相邻形象直观地表示了函数各个最小项的逻辑上的相邻性，便于用来求逻辑函数的最简与或表达式。辑上的相邻性，便于用来求逻辑函数的最简与或表达式。 卡诺图的缺点，是只适用于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，卡诺图的缺点，是只适用于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便于用公式和定理进行运算和变换也不便于用公式和定理进行运算和变换3.3.逻辑表达式 用与、或、非等运算，表示函数中各个变量之间逻辑关系的代数式子，用与、或、非等运算，表示函数中各个变量之间逻辑关