复变函数教案第五章

1、复变函数与积分变换教案复变函数第五章29章节名称：第五章留数学时安排：6 学时教学要求：理解孤立奇点的概念并掌握判别孤立奇点类别的方法； 理解留数的定 义；熟练掌握计算留数的方法；理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积 分。教学内容：1.理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法； 2了解解 析函数在其孤立奇点邻域内的性质。3理解留数的定义；4 熟练掌握计算留数 的方法；5理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。教学重点：留数的定义，留数的计算教学难点：用留数理论计算积分教学手段：课堂讲授教学过程： 第五章留数、孤立奇点1.相关定义定义 1 设点 a 为函数f (z)的奇点， 若

2、f (z)在点 a 的某个去心邻域 Ovz-acR内解析，则称点 a 为函数f(z)的孤立奇点.定义 2 设点 a 为函数f (z)的孤立奇点：若f(z)在点 a 的罗朗级数的主要部分为零，贝 U 称点 a 为f(z)的可去奇点；若f(z)在点 a 的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为+ Cjm 4(z-a)则称点 a 为f (z)的 m 级(阶)极点；若f (z)在点 a 的罗朗级数的主要部分有无限多项， 则称点 a 为f (z)的本性 奇点.z例：依定义，点Z = 0为sinz的可去奇点，点Z = 0为e2的二级极点，点Z = 1zz为sin的本性奇点.1 - z2.函数在孤立奇点的去心邻

3、域内的性质函数在可去奇点的去心邻域内的性质定理 1 若点 a 为f (z)的孤立奇点，则下列三个条件是等价的：1点 a 为f (z)的可去奇点;Cmm(z-a)z-a复变函数与积分变换教案复变函数第五章302lim f (z) = c (=：);z)a3函数f (z)在点 a 的某个去心邻域内有界.函数在极点的去心邻域内的性质定理 2 若点 a 为f (z)的孤立奇点，则下列三个条件是等价的.1点 a 为f (z)的 m 级极点；2f(z)在点 a 的某个去心邻域 Oc|z-acR内可表示为h(z)m(Z - a)其中的h(z)在点 a 的邻域 z-a|vR 内解析，且h(a)式0；3点 a

4、为丄的 m 级零点(可去奇点视作解析点时)f(z)定理 3 点 a 为函数 f的极点的充分必要条件是lim f (z)z旧函数在本性奇点的去心邻域内的性质定理 4 点 a 为函数f (z)的本性奇点的充分必要条件是lim f (z)不存在，即当 az a 时，f(z)既不趋于有限值，也不趋于：.定理 5 若点 a 为f (z)的本性奇点，且f (z)在点 a 的充分小的邻域内不为零，则点 a 必为的本性奇点.f(z)例 设 f=5(1 ez)4，试求f(z)在复平面上的奇点，并判定其类别.解 首先，求f(z)的奇点.f (z)的奇点出自方程1 ez=0的解.解方程得z = Ln (T)-(2k

5、1)ni , k =0,一1,一2,f(z)复变函数与积分变换教案复变函数第五章31若设 Zk=(2k 1)ni(k=0,_1,_2,)，则易知 Zk为f(z)的孤立奇点另外,(1+ez)=0,所以，由零点的定义知 Zk为1 ez的一级零点.从而知 Zk(k =0, _1, _2,)均为f(z)的一级极点.2、留数1,定义 3 设a&切为函数f (z)的孤立奇点，c 为圆周：z-a = P，若f (z)在0 c z -a 兰 P 上解析，则称为f (z)在点 a 的留数(或残数)，记作Res( f , a)或Res(a)，即1Res( f , a) -f (z)dz2冗ic2，留数计算

6、规则：规则 1 如果 z0为f (z)的一级极点，那么Res( f , z0) =lim (z-z0) f (z).z辺规则 2 如果 z。为f(z)的 m 级极点，那么1dmRes(f,z。)阻m_d(z-z)mf(z).(m -1)! f z规则 3 设f (z)二P,P(z)及Q(z)在z解析，如果 P(z0p=0，Q(z0)=0，Q(z)Q(Z。)=0，那么Z0为f的一级极点，而5z 2例 1 设f (z)二-，求Res( f , 0).z(z-1)解法 1 由定义12nif(z) dzcRes(f, Z0)PGQ(Z)复变函数与积分变换教案复变函数第五章321 5z - 2 1Res

7、(f ,0) = -(dz2nIiz(z 1)5z212n I=2注意：这里的积分路径的半径并非只能取1，只须使半径小于 1 即可满足定4义的条件.11解法 2 因点z=0为f (z)的孤立奇点，所以，在N*(0,-) :：z:-内有33=(一-5) zn =02zoOznn=0由此得 J=2，依(7.2 )式得Res( f , 0) = 2.解法 3因点z =0为f (z)的一级极点，则按规则 1Res( f , 0) = lim zT Z(Z-1)=2解法 45z 2因点z = 0为f (z)二-的一级极点，则按规则 3z(z-1)Res(f ,0)=5z 2iz(z-1)仁二23，定义

8、4 设 z =：:为函数f (z)的孤立奇点，c 为圆周：z=，若f (z)在R z 1 ,又因 7-1 Z2=1，故 Zi:1，即在积分路径内部只有被i2z4z2i2az 1dz = 2i Res(22i，乙)z 2az 13、留数在定积分计算上的应用2n1.形如 p R(cossin 巧在 的积分通过一定的转化, 可得o R(cos , sin RdrJz)dz2例计算I0n门盂 r 如0cos22i通过一定的转化，可得_.R(x)dx -一喪 dx=2ni二 Q(z)严Qt,zj)在上半平面的全部奇点令1z42422z 1 = (z 2z 1)z复变函数与积分变换教案复变函数第五章35=

9、(z2z 1)(z2一Z 1)=0于是，鵲在上半平面的全部奇点只有两个:且知道，:均为翥的-级极点.其次，算留数，有3. 形如R(x)eaiXdx(a 0，R(X鵲)的积分3eikXdx=2nJ Rest 购 eikz,zj)-:Q(x)jd Q(z)&eix例 5 计算积分寻丐dx,a 0F +a2解经验证，该积分可用公式二计算.i z首先，求出辅助函数f(z) = 2在上半平面的全部奇点.z+aR 嚼小1恥-)Z-:-Res(P(z)Q(z)z2(z-.-)(z- -)(z-：J)(z )1,3i432z(z-：)(z- J(z：)(z)1-34 3最后，将所得留数代入公式得:-2

10、r讼X.o rn P(z) 丄厂/ P(z)42dx=2niRes(/ )Res( ,：x4x21Q(z)Q(z)J27t复变函数与积分变换教案复变函数第五章36=ai与z = _ai为f （z）的奇点，而a 0，所以，f （z）在2dx = 2ni Res(r2，ai)z +anaae于是容易得到练习：P.185，13 (6) 教学小结：1. 理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；熟练掌握将函数在孤立 奇点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法；2. 了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质；3. 理解留数（也叫残数）的定义；4. 熟练掌握计算留数的方法；5. 理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。作业布置：第五章习题（P.183） 1 （3） ； 8 （1，3，