一类奇异泛函微分方程边值问题的正解

1、第卷 第期兰 州 交 通 大学学报年月 文章编号：（ ）：一类奇异泛函微分方程边值问题的正解李玉玉，（西北师范大学 数学与统计学院，甘肃 兰州 ；甘肃交通职业技术学院，甘肃 兰州 ）摘 要：利用锥拉伸与锥压缩不动点理论讨论了一类具有限时滞二阶奇异泛函微分方程三点边值问题正解的存在 性，建立了一类奇异泛函微分方程边值问题至少存在一个正解的充分性条件并推广和改进了已有的结果关键词：正解；不动点定理；泛函微分方程；三点边值问题中图分类号：文献标志码： ，（ ， ， ，； ， ，）： ， ， ： ； ； ； 由于在应用数学、物理学等诸多领域的广泛应 用背景，非局部边值问题已引起了人们的广泛关注， 并且

2、取得了许多深刻的结果近年来，随着泛函微分 方程理论的发展以及其在物理、力学、自动控制理 论、生物学、经济学等众多学科中的应用，泛函微分 方程边值问题成为关注的一个热点本文利用锥 上的不动点理论考虑如下二阶含参数的奇异泛函微 分方程三点边值问题（）（）（，） ，（，）， 烄 （）（）， ，（） 烅 （）（）烆 正解的存在性 其中：为参数；正解（）是指 ，满足式（）且当 ， 时（），又在，上不恒为的函数 为了方便，下面给出一些记号，对 ， ）， 记 ， 则在范数 ， （）下构成空间 记（） ， ，令：（）（ ），其中： ， ，则 当时， 退化为 ，此时边值问题（）退化为一般的常微分方程边值问题，其

3、正解的存在性已经被许多学者做过研究 ? 若（，）（）， 所研究的三，（） ，则边值问题（）即为马 点边值问题，（） （）（） ，（） ， （） （）（） 收稿日期：学报网址： ： 作者简介：李玉玉（），女，甘肃陇南人，讲师，硕士生，主要研究方向为基础数学：兰 州 交 通 大 学 学 报第卷其中： （，）； ； （，）； （，），）运用锥上的不动点指数理论，该文获得了当满足超线性或次线性增长条件时，边值问题（）的正解存在性当（）（ ，）时，边值问题（）即为王等 所讨论的如下滞后型泛函微分方程多点边值问题，（） （）（，（ ） ， （，），烄 （）， ，（） 烅（）（）烆 其中：为参数，且满足：（

4、）， （，） ，）连续， ， ， ） ，） × 是连续函数；，且存在常数（）（），使得运用锥拉伸与（），（）锥压缩不动点定理 该文获得了边值问题 正解存在的充分条件本文通过构造一个特殊的锥，利用函数的凹性，将文献中对的限制放宽为，且去 掉了的要求，运用锥上的不动点定理，得到了 边值问题（）正解存在的充分条件及参数的取值范围，本文的结果推广和改进了文献， 中的相?关结果 预备工作本文做以下假设：（ ）， （）； （ ） ，）是连续函数， × （，） ，）连续，可在和处 奇异，满足，且存在常数（ ）（） （， ），使得（） 在 ，中定义（），则 ， ，是空间，在 ，中构造一个

5、锥如下：，（）， ，在 上为凹函数 容易验证边值问题（）等价于下面的积分方程，烄（，）（）（，）（，） （） 烅（）（，）， （），烆 （）其中：（，） （），； （），于是由（，）的定义及（），得：（，）， （，）；（，）（，），（） （，）（）（） 定义算子 ，如下： 烄（，）（）（，）（，） （） 烅（）（，）， （），烆（）由条件（）和（）易知在锥 中，是边值 问题（）的解当且仅当是 的不动点引理 设 是 空间，如果 （，）是全连续算子， 且对任 意的有： ， 那么 是全连续算子引理 全连续，这里算子 由式（）定义证明 由凹函数的定义易知 ，下证 的全连续性对任意的自然数（），定义：（

6、）， ，烄 （）（） （）， ，烅（）， 烆则， ，）连续，且（） （）， （，），令： 烄（，）（）（，） （） 烅（，） （）（，）， （），烆（）首先证明 全连续，易知 由 的连续性可知是连续的 设 是 ，中 的有界子集，由 ?定理，只需证明在 ，上一致有界且等度连续即可显然， ，在 中关于 ，一致有界，且存在常数 使得第期：李玉玉 一类奇异泛函微分方程边值问题的正解 （，） ， ， （）又因为 在，上一致连续，从而（）在 ，上有界 再设， ，若 ，则 （）（） （， ）（，） （）（，） 若 ，则（）（）（）（）； 若 ，则（）（）（） （） （） （）（，） （，） （）（，）（）（

7、） 对于上述任一种情形，由 在 ，上一致连续，在， ，上一致连续，且在，上一致连× 续可知，对， ，当时， 有（）（），即等度连续，由此 全连续令，由于： ， （ ）（） ，从而（ ）（）对任 意的取， ，则烄（，）（） （）（，）， 烅 （）（），烆烄（，）（，）（） （）， ， 烅，烆烄（，）（ ）（） （）， 烅 ， ，烆（）因此由引理知全连续 证毕（ ）（） 引理存在常数（，），使得对（）（），即（）， ， 都有其中：（），（）（）；从而 ，（）若 ， ）（）（）， 则 ， （），），）证明令：， ，从而又可归结为 的情形对 综上，只 要 令：，就 有：有： ， ， （ ）（

8、）（），故由式（ ）得： ， ， ， （）（）（ ），证毕 ，引理令：为空间，为 中的 因为（）是凹函数且（） ，所以?，一个锥，为中有界开集且使得下面分种情况证明，；（）为全连续算子，若下列条件 ，（ ）（）之一成立：， ，）若则（）（），由的凹），（）（），；性可知，即 （），从而 （），）， ，（）（）； 则在）中至少有一个不动点（ ）若则（），由的凹 （）为方便起见，再给出几个记号：，性可 知（）（）（）（）（ ） ，；（， 兰 州 交 通 大 学 学 报第卷）（）；（，）（）； ， （，）（，）； ，（，）（，）； ， 主要结果定理 假设条件（），（）成立，又若成立条件：（ ）； （

9、） ，则对），边值问题（）（ ，（）至少存在一个正解证明 ）由）知，（ ，（）存在一个常数，使得：（） （）（） （ ）因为，则存在使得： （，） （） ， （）于是对 ， 由式（），（）?（ ）及有：，（， ，）（）（，） ， ，（，）（）（）， ，（，）（）（）， 从而，（ ） 又由 知存在 使得：（，） （）， （ ）取，由式（），（ ）有： ，（，）（）（，） ，（，）（）（，）， ，（，）（）（）， ，（，）（）（）， ， ， ，于是，（ ） 结合式 （ ），（ ）及 引 理知在 ）中至少有一个不动点，且（ 由于在 （，）上是凹函数，于是（） ，（，），从而是边值问题（）的一个正解 证毕定理 假设条件（），（）成立，又若成立条件： （ ）； （） ，则对）