十二种方法推导点到直线地距离公式

1、实用标准文档十二种点到直线距离公式证明方法用高中数学知识推导 点到直线的距离公式 的方法.已知点这里只讨论一般直线 ）P（Xo, Yo）直线I : Ax+By+C=O （A、B均不为0），求点P到直线I的 距离。（因为特殊直线很容易求距离，1.用定义法推导I的垂线段的长，设点P到直线 可知I '的斜率为B/A点P到直线I的距离是点P到直线I的垂线为垂足为 Q由I垂直I 'Z1齐二f的方S ：y-y0-氐-和与f趺立 方程组解紹交点O （虽竺孕欝-.A?+ B3IPQ岸t B%世百yAC -畑(Aytr*-ABx(j BC vA 铀Vo)_ A-(Axj+ Byjj+ C B?A

2、x+皿B爭.|PQ|=2，用设而不求法推导过已知点P収诃»作已猊直线上 Ax+By + CO的垂线,设垂足为叭沙 则1Y/ 1$ 二也卜、»1exo B，化简看Ax+By+COA(y-ytJ- B(x-kJ=OA(x->ta+ Bty-yJ: 一 (Axo+ ByrbC由上式衔：AG B 训仪-W+Axo+B y时 CF代d-STx3却丽硏工曲学些L.VAB7'文案大全3,用目标函数法推导怠 P(>yc>到直线/:Ax+By+C=O± 庄尊一点的距鸨的最小值就是总P到曹 线 J的建瞬° e/±B?ffM(xFyLS 两

3、点的超离公式有为了利用采弊Ax+B什30,将上式变形 一下，配厲臬咖理雳：SUB知仪yJ5¥TJ二阳 x对 J B ?(y -yJ>My-yJJ+B5<x-Alx-xJ+B<y-yJF+lAyF孑 lAfx-Xo) + Biy-yJltAxc+BYo+C)2-? (Ax0+Eyfl+CO)VZA?+B2当目仅当Aiy-/；-a(x-xJ=0肘啓等 呂所以最»值就星d程I业©VAE34,用柯西不等式推导“求证：(a2 +b2 )(c 2+d2) > (ac+bd) 2 ,当且仅当 ad=bc,即 a/c=b/d 时等号成立。”实为柯西不等式的

4、最简形式，用它可以非常方便地 推出点到直线的距离公式。设点 M (x,W 为直线Z:Ax+By+C=O 上任意一点,圧慧点Ptxa.vo)到直线I的 睦离为g则：|PM|-x/(xxj7+Iy-yo>?a|PMP=少診世十虫违¥直iByByp)7 IN (Ax-Ax<)+ By- Byd二店|PMU= JAx日纣g 当目仪当VA?+ B*A一旦时等号成立x-xq y-yo5 用解直角三角形法推导设直线I的倾斜角为-,过点P作PM/ y轴交I于G(xi , yi)，显然 X=x。,所以a|PG|=|Vo+躲严十卜沁壯实T 易得ZGPH =«或乙右FH mIBCT-

5、cg在 稱情况下都有竝区GPH工tg篩/, COSZGPH =d=|PH|=|PG|cos Z GPH|=| 鱼吐| 也±21 D191一sAXo+BybtCL6，用三角形面积公式推导M4P、n/工、丄bhX两点闾距离公式的推导过程申*性用 降维思想梅造直角三角形.受此JB気当 0时,12点PtXaWd的两条盲线”分别 作平行于X輒¥轴也两条直线，分另I交直 S£/：Ax+By+C=O 于点 M 卜； N (xo,-全产 h则|MP|=|x时卫誓C 一 h |NP|=|y0+fltC-| vMPlNP,D'在At Aifh中，由直角三甬形的面积公 式得：;

6、|MP卜|NP|=；VpM|PRp_|Axp+By0+C|VA+B3-7 .用向量法推导由国99方程 AxBy+CO. (A,B 不能闿时为山 可得育线F的法向虽为A 詔久吐设过煤P血曲乍旨线2的垂线, 垂足为H帖”)则问資再"剧3,即所 IX x =Xo+kAt y'-V=XB |PlT|= Vljf-iioj=k，又阂为凉hx ” i在直筑f上 所以就有:Ax+ByVC=O.§0 A(x(rbkA)-hB (yobrc=o ,X (Af+B=- (AQByo+C)(又因旳 不同时为0J'Aa+B2二| PH' |= Vfx.y'-yj5=

7、IM皿珥茁制一卷需±口 2A耳申即 d=|PP|=+cl8用向量射影公式推导设R呈直轨上的任蕙一風 设Rg W丙纸的方同巨曇为用7-3笊人则旨线 的法向为 Pff=(Ar6lrdplf=(x-xFy-yJ二A<x-x0)|B(y-y0HVA+tS7原评:向星是一种很好的工具用向 量处理,既避幵了分类讨论,又体现了甲 面向最的工真性”会有事半功店的效果。9 .利用两条平行直线间的距离处处相等推导如果逛点 P(XoYq)作 i：Ax+8y+C=0 的平行线:Ax+By-Ax0 ByoO,那么盲线 /上ffiis-asi /的距离都等于点p到貢 线的距离既然可ru&g取点,我

8、门应 设法便这个点到直线/的距腹容易求得, 选取旨线FWx轴的交点G (暂也, 0).13 G作的垂线厘足为臥设？与* 轴相交于熄F ( -0),容易求得FG =如譽甬a与直线9W斜甬B相 等或互补,;Ttana= ±tanp= ±庐碍丁 |=从而 d=|GHVAB21=|FG|sina| 回曲乂也虫L | *_JAL_ /ABs10.从最简单最特殊的引理出发推导引理：坐标原点到直线LAx+By+C=0VAB2简证；5t»原点到丙线SB® SS特 殊情形入手设首线（与x®.v轴分别交 于点E尺则点E.F的坐标分别罡（-養，0）血皆h由三角形閒积

9、恒辂；十EF怕 l-OE*OFSh=一JCI一.2VA钿由平疗直线系求出J3点P（XcTyJ且与/ 平行的直线的方桂;Ax+Bv-Ax-B妒0, 设直线J和V号别与x轴交于癇E、G,则 点E（-*aGt <A實加q由得 凹”姑 EG.,h=JAxD+ByD+q_i h OE ' OE|A|:CL，1C|_ = |Axa+By0+CI|A|VSVBr11 .通过平移坐标系推导】如果点P%¥cJ j . 是坐标原点就好了*|/为此、我冊如叽I 一VJ为原点建立直龟丈 坐标系x'o”.井使+ol5T坐标ffl xy(别与 I I、'坐标轴x理平«设直

10、线/在新坐标系中记 为化设田S点G在新|融标系中的坐标分 别屋岡FhtxMo则由0“=00"JO1!?薦 (xty)=(x0lyJ+(x,Py'h/.x=Xo+xfJY=y0+y' 宜线t在新坐标系中的方稈是:AfxSxJ+B (yh+Vo)+C=O,gD Ax>BY +Axo+Bya+C=O. 点O'到直线F的距麗就是羔P (%血到 直线f的底离，由引理切碍：归 |Ax0+ByQ+C|v-AJ+Br【12，由直线与圆的位置关系推导】当以点P（阳也为底 心03匾与直线讥亠 Ax+Bv+C=O 相切肘，區>p j的半径就是点PIxo.vJ到/ 直线 /：Ax+Bv+C=O 998E 11 离于是，问题传化为当丨 x 以诲PI心対为0S囱的IE 与胃线/只肓一亍交点时*求圆的半径.联立万程Ax+By+C=OJx-XqP+t