高数下册小结

1、考试时间考试时间: 2011 年年6月月25号号 9:00 11:00考试地点：考试地点： 4102考试题型考试题型: 填空题填空题 选择题选择题 计算题计算题 证明题证明题试题难度试题难度: 多数与作业题难度相当多数与作业题难度相当注意事项：注意事项： 带学生证带学生证(身份证身份证), 遵守纪律遵守纪律20112012期末考试期末考试 考前小结考前小结 考试范围：考试范围： 斯托克斯公式，可化为齐次微分方程不考，斯托克斯公式，可化为齐次微分方程不考， 画画*号和近似计算不考。号和近似计算不考。 考前答疑考前答疑时间：6月24日上午9:00下午4:50地点：二号楼东侧教师休息室各章知识要点回

2、顾各章知识要点回顾第第7章章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数7第第8章章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用13第第9章章 重积分重积分6第第10章章 曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分20第第11章章 无穷级数无穷级数30第第12章章 微分方程微分方程24第第7章章 空间解析几何空间解析几何1. 空间直角坐标系空间直角坐标系 点与坐标的对应关系点与坐标的对应关系 八个卦限八个卦限2. 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式3. 曲面及其方程的概念曲面及其方程的概念4. 常见曲面的方程常见曲面的方程 球面球面/平面平面/旋转面旋转面/柱面柱面/二次曲面二次曲面5.

3、旋转曲面的方程和曲线方程之间的关系旋转曲面的方程和曲线方程之间的关系6. 母线平行于坐标轴的柱面方程的特点母线平行于坐标轴的柱面方程的特点7. 平面的点法式方程、平面的点法式方程、一般方程一般方程8. 特殊位置平面的方程的特征特殊位置平面的方程的特征8. 平面的截距式方程平面的截距式方程9. 直线的对称式方程直线的对称式方程、参数方程、一般方程、参数方程、一般方程10. 曲线的一般方程曲线的一般方程:两个曲面的交线两个曲面的交线11. 空间曲线在坐标面上的投影柱面空间曲线在坐标面上的投影柱面/投影曲线投影曲线12. 常见二次曲面常见二次曲面 类型类型/方程特点方程特点 计算二重积分计算二重积分

4、 三重积分三重积分 依赖这部分的知识依赖这部分的知识第第7章章 空间解析几何空间解析几何第第7章章 练习题练习题20 xyz1.(1,1,1)(0,1, 1)0.ABxyz求求过过点点和和点点且且与与平平面面垂垂直直的的平平面面方方程程22224,2.3()zxyCCxOyzxy 设设曲曲线线为为则则此此曲曲线线 在在面面上上的的投投影影曲曲线线为为 123.(2, 1,5).211xyzP 求求过过点点及及直直线线的的平平面面方方程程323414.321321.xyzxyz求求过过两两平平行行直直线线和和的的平平面面方方程程 .第第8章章 多元函数微分学多元函数微分学1. 平面上的平面上的

5、邻域邻域/区域区域/边界边界/连通连通/有界有界/2. 多元函数的定义多元函数的定义/定义域的计算定义域的计算3. 二元函数的图形及其几何意义二元函数的图形及其几何意义4. 二重极限二重极限:简单的计算简单的计算5. 证明极限不存在的方法证明极限不存在的方法:不同路径极限不同路径极限6. 连续，可微，偏导数存在之间的关系连续，可微，偏导数存在之间的关系7. 偏导数偏导数/高阶偏导数高阶偏导数:概念概念/计算计算/链式法则链式法则8. 全微分全微分: 概念概念/计算计算/与偏导数的关系与偏导数的关系/9. 方向导数与梯度方向导数与梯度:概念概念/计算计算10. 微分法在几何上的应用微分法在几何上

6、的应用11. 二元函数的极值二元函数的极值: 概念概念/计算计算/充分条件充分条件/必要条件必要条件12. 条件极值条件极值:拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法13. 最值的计算最值的计算第第8章章 多元函数微分学多元函数微分学2(2 )1.1,zxydz设设函函数数则则 ；22214(1,2,3)2xyz球球面面在在点点处处的的切切平平面面方方程程为为 ；333(1,1)(1,1)3( )()( )( ).ABCDzxyxyf函函数数的的一一个个驻驻点点为为, ,则则是是极极大大值值；极极小小值值；不不是是极极值值；无无法法判判断断222(,),4.zf xyx yfzzxx y 设设, ,其其中

7、中具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数, ,求求第第8 8章章 练习题练习题2(2 )4(2 )xy dxxy dy23140 xyzB 2122y fxyf33221211221222225yfxfxy fx yfx y f000( , , )(1,1,2)60 ,45 ,605.f x y zxyyzzxll求求在在点点沿沿方方向向 的的方方向向导导数数, ,其其中中 的的方方向向角角分分别别为为1(53 2)22222232(1,16,1)xyzxyxP求求球球面面与与柱柱面面的的交交线线在在点点的的切切线线及及法法平平处处面面方方程程. .111,0101xyzxz第第9章章 重积分重

8、积分-二重积分二重积分1. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义-曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积2. 定义和基本性质定义和基本性质:线性性质线性性质/不等式性质不等式性质/中值定理中值定理3. 利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分4. 交换积分次序交换积分次序/积分次序的选择积分次序的选择5. 直角坐标转化成极坐标直角坐标转化成极坐标6. 利用对称性简化计算利用对称性简化计算7. 利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分8. 应用应用:体积平面区域的面积体积平面区域的面积第第9章章 重积分重积分三重积分三重积分1. 三重积分的几何意义三重积分的几何意义2. 定义和基本性质

9、定义和基本性质:线性性质线性性质/不等式性质不等式性质/中值定理中值定理3. 利用直角坐标系计算三重积分利用直角坐标系计算三重积分4. 利用柱坐标系计算三重积分利用柱坐标系计算三重积分5. 利用球坐标系计算三重积分利用球坐标系计算三重积分6. 利用对称性简化计算利用对称性简化计算22222.421xyzxyx求求球球面面含含在在圆圆柱柱面面内内部部的的那那部部分分面面积积第第9 9章章 练习题练习题12200(cos )2dxxydy 积积分分 ；222224dd 1dxyzzxyxyz 设设是是由由曲曲面面与与平平面面所所围围成成的的闭闭区区域域， 则则 ；688162103( , )( ,

10、 )yyf x ydyf x y dx 设设连连续续, ,交交换换积积分分次次序序 ；10( , )xxdxf x y dy22221112201()5xxxydxdyf xydz 化化为为柱柱坐坐标标下下的的三三将将积积分分次次积积分分为为 ；112202()rdrdrf rdz 第第10章章 曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分1. 对弧长的曲线积分的概念与性质对弧长的曲线积分的概念与性质2. 对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算3. 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质4. 对坐标的曲线积分的计算对坐标的曲线积分的计算5. 格林公式及其应用格林公式及其应用 /

11、 两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系第第10章章 曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分6. 对面积的曲面积分的概念与性质对面积的曲面积分的概念与性质7. 对面积的曲线积分的计算对面积的曲线积分的计算8. 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质9. 对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的计算10. 高斯公式及其应用高斯公式及其应用 / 两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系323232222(2)(2)(21)3.(0)xxydydzyyzdzdxzzxdxdyzRxyR 计计算算曲曲面面积积分分，其其中中 是是上上半半球球面面的的上上侧侧222(1,1)(0

12、,0)()1)(LLyxBOxy dxxydy 设设为为抛抛物物线线上上从从点点到到点点的的一一段段弧弧，则则 ；第第1010章章 练习题练习题522 RR122222124(zxyxyz dS 设设 是是上上半半球球面面，则则曲曲面面积积分分 ；24第第11章章 级数级数1. 数项级数收敛的定义部分和收敛的等价条件数项级数收敛的定义部分和收敛的等价条件2. 常见级数的敛散性：常见级数的敛散性：p-级数级数,等比级数等比级数3. 收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质4. 级数敛散性的判断级数敛散性的判断 5. 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件第第11章章 级数级数6. 正项级数收敛的充要条

13、件正项级数收敛的充要条件7. 比较审敛法极限形式比较审敛法极限形式8. 比值审敛法根值审敛法比值审敛法根值审敛法9. 交错级数交错级数-莱布尼茨定理莱布尼茨定理10. 级数与它的绝对值级数敛散性的关系级数与它的绝对值级数敛散性的关系11. 绝对收敛条件收敛绝对收敛条件收敛 正项级数的审敛法应用于绝对值级数正项级数的审敛法应用于绝对值级数幂级数幂级数基本概念：定义收敛域和函数部分和余项基本概念：定义收敛域和函数部分和余项幂级数收敛域的特点幂级数收敛域的特点-Abel定理定理幂级数收敛半径和收敛域的求法幂级数收敛半径和收敛域的求法幂级数的和函数的代数和分析运算性质幂级数的和函数的代数和分析运算性质

14、求幂级数的和函数求幂级数的和函数函数展开成幂级数：直接法间接法常见的结论函数展开成幂级数：直接法间接法常见的结论第第11章章 级数级数傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶系数，收敛定理傅里叶系数，收敛定理 函数展开成傅里叶函数展开成傅里叶级数级数第第11章章 级数级数111100111111 ( )( )(),)()( ).nnnnnnnnnnnnnnnnnnnABuvuvuuukuuuCkD 1.1. 下下列列结结论论不不正正确确的的是是（）若若收收敛敛，则则都都收收敛敛；若若收收敛敛，则则收收敛敛；若若收收敛敛，则则为为常常数数 收收敛敛；若若收收敛敛，则则收收敛敛第第1111章章 练习题练习题A

15、2112sin;( 1)2(1)(2).()1nnnnnnn. . 判判别别下下列列级级数数的的敛敛散散性性：若若收收敛敛，指指明明是是条条件件收收敛敛还还是是绝绝对对收收敛敛2003211(21)4.nnnnxnn . . 求求幂幂级级数数的的收收敛敛域域及及和和函函数数，并并计计算算的的和和01ln3(21)4nnn11ln,( 1,1)0,( )210,0.xxxS xxxx 且(1)发散 (2)条件收敛0111( )01( )( )()( )()(5,l m1i )2.nnnnnnnf xkkf xf yk xxyyxxf xxxx . . 设设满满足足条条件件: :对对任任意意的的

16、、存存在在常常数数，使使，对对任任意意给给定定的的，定定义义，试试证证明明：级级数数绝绝对对收收敛敛；存存在在，3( )2( 1,12,10,( )( )01, ,1f xxf xf xxxx 4.4. 设设是是周周期期为为 的的周周期期函函数数，它它在在上上为为则则的的傅傅里里叶叶级级数数在在处处收收敛敛于于 ；321111112,(2(1 lim6),(2(.)nnnnnnnna =a=aaaaa 存存. . 设设证证明明：数数在在；收收敛敛级级第第12 微分方程微分方程一一 基本概念基本概念:微分方程微分方程, 方程的阶方程的阶, 通解通解, 特解特解, 初始条件初始条件, 积分曲线族积

17、分曲线族二二 基本运算基本运算:几种方程的解法几种方程的解法1. 可分离变量的方程可分离变量的方程2. 齐次方程和可化为齐次的方程齐次方程和可化为齐次的方程3. 一阶线性方程一阶线性方程(齐次齐次/非齐次非齐次)、伯努利方程、伯努利方程4. 全微分方程全微分方程5. 三种可降阶的高阶微分方程三种可降阶的高阶微分方程6. 二二 阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程(齐次齐次/非齐次非齐次)(特征方程法特征方程法,待定系数法待定系数法) 2. tan()1( )( )sinsin( )sin() s in.ABdyyydxxxyCxxCyxxyxCCDxCxxy微微分分方方程程的的通通解解为为；.第第1212章章 练习题练习题C 1.lnlnyydxxydy 微微分分方方程程的的通通解解为为 .22(ln )(ln )yxC( )(1)0,( )( )0(0,)4. . ),xyLf xfLef xy