关于点共线、线共点问题的多种证法

1、关于点共线、线共点问题的多种证法学生姓名：贾娟 指导教师：杨慧摘要： 在初等几何中，我们常常会遇到点共线、线共点这方面的问题。而射影几何的基本不变性是点线的结合性，因此点共线、线共点问题是射影几何的主要研究对象之一。对于点共线、线共点问题的解决方法也有很多，本文则主要探讨的是利用射影几何方法与初等几何方法解决这类问题，通过比较发现具体问题用哪种方法更合适，以及解题时需要注意的问题。关键词： 射影变换 德萨格定理 完全四点形 赛瓦定理 一维基本形的透视对应作为师范类院校的学生，将来若想成为一名合格的中学数学教师，就必须在学习解析几何的基础上再进一步学习高等几何。而高等几何对中学数学教师几何基础的

2、培养、解题观点的提高、思维方法的多样性等都起着重要的指导作用。对于高等几何到来说，尤其是其中的射影几何，既包含了解析几何中主要研究图形性质的内容，也融合了欧氏几何中主要研究空间几何结构的内容。因此，学习高等几何知识，不仅使我们开阔了几何学的视野，也让我们更好地理解、把握了初等几何的本质。比如初等几何中点共线、线共点的问题，在中学数学教学中既是一个重点也是一个难点。如果只是用初等几何方法去解决，有时会很复杂，相反若要用射影几何中的知识如完全四点形的调和性质、德萨格定理及其逆定理、一维基本形的透视对应性质等知识点来解决，会更简便。这样也为我们提供了多种解决初等几何问题的研究方法。用高等几何的观点指

3、导初等几何的教学内容，进而不断地改进初等几何的教学方式，这样也有助于提高中学几何的教学质量。1.主要定义及定理一维基本形的透视对应：定义1如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做点列与线束之间的透视对应。同理，如果两个点列与同一线束成透视对应，则这两个点列叫做透视点列；如果两个线束与同一点列成透视对应，则这两个线束叫透视线束。由此可知，两个成透视对应的点列，其对应点之连线共点。两个成透视对应的线束，其对应线之交点共线。定理1两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应。完全四点形的调和性质：定理2设, 是完全四点形的一对对边，它们的交点是

4、对边点，若与其它两对对边点的连线是,则有.推论1在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是对边点，另两个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点，如图1中，.推论2在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是顶点，另一个点是这个边与对边三点形的边的交点，如图1中，.定理3（德萨格定理）如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一直线上。 对偶地，如果两个三点形对应边的交点在一直线上则对应顶点的连线交于一点。定理4（赛瓦定理）内任取一点，直线分别交对于则:对偶地，设各是的三边 或其延长线的点，则三线共点或互相平行的充分条件是：2.射影几何在研究点共线

5、、线共点方面的应用2.1线共点例1 证明三角形的三条中线共点。方法一：（利用德萨格逆定理） 证明 如图2所示，设三边中点分别为，则由三角形中位线定理可知， 对于和,他们的对应边交点共无穷远直线。 由定理3，可知其对应顶点的连线共点.方法二：（利用完全四点形的调和性质） 证明 如图2所示，设中的中点分别为,连接与交于点,连接交于点，则只需证为边的中点. 因为四边形为完全四点形，且(三角形中位线平行于第三边)，则设交于无穷远点，根据完全四点形的调和性质，有故有即因此点为边上的中点.由此得证三角形的的三条中线共点。方法三：（利用赛瓦定理）证明 设中的中点分别为,且交于点,连接于交于点，下面只需证明点

6、是边上的中点。因为 所以 又由定理4得因此有 即 故为边上的中点，由此得证三角形的三条中线共点。方法四（利用初等几何方法）证明 如图2所示，分别是边上的中点，连接交于点，连接交于点,下面只需证明点为边的中点。过点作的平行线且与的延长线交于点，连接.因为边的中点，且，所以，点为边上的中点。又因点为边上的中点，故有即 因此四边形为平行四边形，故点为平行四边形的对角线的交点所以点平分，即为边的中点。由此得证三角形的三条中线共点。注：由例1的证明过程我们可以看出，上述证法基本上都是先设两中线交于一点，再证该交点与另一顶点的连线与对边的交点为中点。其中方法一、方法二、方法三利用的是射影几何的知识，而方法

7、四是初等几何方法。我们可以看出，当题目较为简单时，利用初等几何方法解决问题同样很简便。但当题目较为复杂时，初等几何的方法是否适用？例2 设是完全四点形的对边点，分别交于.证明共点。方法一（利用完全四点形的调和性质）证明 如图3所示，在完全四点形中，根据定理1的推论2知，边上的四个点是一组调和点，即又在完全四点形中，设与交于，交于,根据定理1的推论2知，边上的四点 是一组调和点，即由于 故 所以共点于. 方法二（利用德萨格逆定理）证明 如图3所示，对于与来说，有与交于点，与交于点，与交于点。由题意可知，点三点共线。由定理3知，两三角形对应顶点的连线交于一点，即共点。例3 如图4，直线与交于，与交

8、于，交于，交于，交于.试证：三直线共点。方法一（利用透视对应的性质）证明 设与交于点，与交于点 因为 所以 而自对应，故有所以，三直过点，即过点.因此，三直线共点。方法二（利用德萨格逆定理）证明 如图4， 在与中，三对对应边的交点，即与的交点,与的交点, 与的交点，其三点共线。由定理3知,三对对应顶点的连线共点.方法三（利用完全四点形的调和性质）证明 设与交于点,则在完全四线形中，有 在完全四线形中，因且 所以 而三点固定，故.因此，三直线共点.注：由例2、例3可以看出，当题目较为复杂时，我们一般很难用初等几何方法解决这类问题，若很容易找到两个透视对应的点列，则我们可以用透视对应的性质，如例3

9、，从而证明线共点。由上述3个例题，我们可知对于证明线共点问题时，我们一般都是把四边形视为四点形或四线形，利用完全四点（线）形的调和性质从而利用点重合证明，或是找到两个透视对应的点列，利用透视对应的性质证明，也可以找到两个三点形利用德萨格逆定理证明，或是赛瓦定理的逆定理等等都可以用来证明一些复杂的线共点问题。2.2点共线 用初等几何方法证明一些点共线问题不算太容易，如四点共线或是题目较为复杂的，而用射影几何的理论作指导来证明就很简单。例4 求证的外心,垂心,重心三点共线。方法一（利用德萨格定理）证明 如图5所示，设分别为边上的中点，连结。在与，三对对应边，即，因此与的对应边的交点均为无穷远点，从

10、而都在无穷远直线上,所以定理3知，两个三角形的对应顶点连线共点由此得证与的交点与三点共线。方法二：（初等几何方法）证明 作的中点，的中点,连接并延长与交于点,连接并延长与交于点，同时连接。因为的外心，分别为边上的中点，所以为边上的垂直平分线,为边上的垂直平分线，即又因为垂心，所以，有故有因为边的中点，所以，所以有则有 因为的重心，为边的中点，所以为边上的中线，即点在直线上,且所以有 因 则有 故可得 所以有 又因 则由此可知三点共线。例5 已知:是梯形，是两底之中点，是对角线与之交点，是两腰延长线之交点。求证:四点共线。方法一（初等几何方法）证明 试想，只要设法证明与之交点恰恰就是线段之中点便

11、可连结，设直线交于，交于.以为顶点的一组三角形有:由此可得又有 由此可得 (1)又以为顶点的一组三角形有：可得从而有 可得所以 (2)则(1)、(2)相乘得于是有,代回（1）又得出所以，是之中点，是之中点，但线段中中点唯一，所以即四点共线。方法二（利用完全四点形的调和性质）证明 设交于，交于,今证是之中点。事实上，在由直线构成的一个完全四线形中，是它的三条对顶线。由完全四点形的调和性质有但因所以是无穷远点，又因无穷远点的调和共轭点是线段中点，则是线段之中点。由此命题得证。注：由例4、例5我们可以看出,用初等几何方法证明上述问题比较复杂，但用射影几何的知识会使证明过程更加简单。同时，我们也看出，

12、并不是所有的题目都可以同时用德萨格逆定理、完全四点形的调和性质以及一维基本形的透视对应性质等知识点解决。所以在解题时，我们应具体问题具体分析，从而找到解决问题的最佳方法。例6 设是完全四点形的顶点，交于点，交于点，交于点,交于点， 交于点,交于点 ,求证共线。 方法一（利用透视对应的性质）证明 因 则有又因，在完全四点形中则有 又因所以则且为自对应点,故有所以故交于一点， 且交于点.因此， 三点共线 方法二（利用德萨格定理） 证明 如图7所示，在三点形与中，其对应顶点的连线共点。根据定理3可知，它们对应边的交点,即与的交点,与的交点 ,与的交点 。 由此， 三点共线 方法三（利用完全四点形的调

13、和性质）证明 设与交于点,交于点, 在完全四点形中有在完全四点形中，有故有从而因此， 三点共线。 类似的，我们可以设与交于,与交于,并用上述方法证明,从而证得三点共线。 注：由上述例题，我们可以看出在射影几何的指导下解决一些复杂的线共点问题会简便的多。若是证明三点共线，则可以用德萨格定理、完全四点形的调和性质以及透视对应的性质来证明；若遇到证明四点共线的问题，则一般是用完全四点（线）形的调和性质来证明。当然，无论是解决点共线问题还是线共点问题的时候，都要注意分析问题的具体情况。最主要的是正确的找到相对应的三点形或是完全四点（线）形，由此利用上述的定理和性质才可 是证明过程更加简洁。 综上，我们

14、可知，在高等几何的指导下，这种点共线、线共点的问题会变得更简单。当然，上述例题仅仅是说明高等几何在初等几何中点共线、线共点这方面的应用。事实上，许多初等几何问题都可以用高等几何知识来解决，如一些基本定理的证明，比如蝴蝶定理的证明；或是平分线段、平分角度、线平行等问题的证明，我们都可以利用高等几何知识，使证明过程更加容易。 由此，我们可以看出，高等几何对于我们今后的中学数学教学是很有用的。首先，高等几何对初等几何教学具有重要的指导作用，掌握了高等几何知识，我们对于处理初等几何问题的能力就会有所增强，从而在备课、答疑、编造习题时，就能以高等几何为背景，设计出多种多样的解决初等几何问题的方法。其次，

15、通过学习高等几何，不仅提高了我们解决初等几何问题的能力，而且当我们尝试将高等几何的知识运用到中学数学教学时，也会使我们自己的数学思维能力和空间想象能力有所增强。参考文献1朱德祥,高等几何M.高等教育出版社，1985.2梅向明,刘增贤，王汇纯，王智秋，高等几何（第三版）M.高等教育出版社,2007.3舒见贤,在高等几何教学中加强对初等几何的指导J.怀化师专学报,1993.4杜家安,刘林安,高等几何群论观点对初等几何的指导作用J.安阳师范学院学报,2001.5梁延堂,高等几何与初等几何J. 西北师范大学学报（自然科学版）,1993.6李恩凤,高等几何与初等几何的关系J.青海师专学报（自然科学）,2

16、001.7马丽君,高等几何与初等几何的关系J. 南昌教育学院学报,2013.8刘德金,张全信 试论高等几何对初等几何的指导作用J.德州师专学报,1997.9高巧琴,高等几何在初等几何中的作用J.雁北师范学院学报,2004.10吴晓旭,高等几何与初等几何的相关性探讨J.南京晓庄学院学报,2009.11杨俊林,几个初等几何命题的高等几何背景追踪J.阜阳师范学院学报,2009.12姜子英,谈谈高等几何在初等几何中的应用J.阜阳师范学院学报,1988.13陈婵,初等几何题的高等几何解法J.杭州师范学院学报,1997.14关丽娟,高等几何与初等几何的相融性J.高师理科学刊.2007.15Ayres.F.

17、Theory and problems of projective geometry M.New York: McGraw-Hill, 196716Dubrovin B.A,Fomenko A.T.,and Novikov S.P.,Modern Geometry-Methods and ApplicationsM.Part I-The Geometry of Surfaces Transformation Groups and Fields,1992About collinear points, total points line issue multiple certificates la

18、wStudent :Jia Juan Tutor: Yang HuiAbstract: In elementary geometry, we often encounter the point collinear line of point problem in this regard. The basic invariant projective geometry is a combination of points and lines, so point collinear line is one of the main points of the study of projective geometry. For point collinear line of point solutions, there are many problems, this paper mainly discussed is the use of projective ge