西南交通大学大学物理CH06-2

1、12保守力（保守力（conservative force）定义有两种表述）定义有两种表述 表述一（文字叙述）：表述一（文字叙述）： 作功与路径无关作功与路径无关,只与始末位置有关的力只与始末位置有关的力 称为保守力称为保守力 表述二（数学表示）表述二（数学表示） ：0rfLd保保守力的环流为零保守力的环流为零描述矢量场基本性质的方程形式描述矢量场基本性质的方程形式3势能势能定义定义 令令 PbPabaEElfAd保保若选末态为势能零点若选末态为势能零点PEA保即即rfEaPad势能参考点保)(4常见的势能函数常见的势能函数地面为势能零点地面为势能零点末态为势能零点末态为势能零点mghEP重力势

2、能重力势能弹性势能弹性势能221kxEP以弹簧原长为以弹簧原长为势能零点势能零点万有引力势能万有引力势能rMmGEP以无限远为以无限远为势能零点势能零点51）只有保守力才有相应的势能只有保守力才有相应的势能2）势能属于有保守力作用的体系（质点系）势能属于有保守力作用的体系（质点系） (对应一对内力作功之和对应一对内力作功之和)3） 势能与参考系无关势能与参考系无关(相对位移相对位移)4）质点系的内力质点系的内力 保守内力保守内力 (作功与路径无关作功与路径无关) 非保守内力非保守内力 (作功与路径有关作功与路径有关) 耗散力耗散力讨论讨论6三三. 由势能函数求保守力由势能函数求保守力PElfd

3、dPlElfddLldflEfPlddl方向的方向导数方向的方向导数由势能定义有保守力与相由势能定义有保守力与相应势能的关系是：应势能的关系是：根据矢量计算可写成：根据矢量计算可写成：如果质点沿一路径如果质点沿一路径L运动运动结论：结论：保守力在保守力在l方向的分量就是方向的分量就是 相应势能在相应势能在l方向的方向导数方向的方向导数7gradzzyyxx如果引入梯度算符：如果引入梯度算符：zfyfxffzyxPPEEfgrad保守力的分量式为：保守力的分量式为：直角坐标系中，势能函数在三个坐标轴上的直角坐标系中，势能函数在三个坐标轴上的方向导数分别是方向导数分别是:zEfyEfxEfPzPy

4、Px则保守力可表示为：则保守力可表示为：zzEyyExxEfPPP则有：则有：保守力等于势能的负梯度保守力等于势能的负梯度83 机械能守恒定律机械能守恒定律一一.质点系的功能关系质点系的功能关系 （质点系动能定理的变形）（质点系动能定理的变形）KEAAA非保保外质点系的动能定理质点系的动能定理PKEEAA非保外EAA非保内外PEA保PKEEE机械能机械能功能关系功能关系二二. 机械能守恒定律机械能守恒定律00非保内外AA0E9iiiPghmE质点系重力势能的计算质点系重力势能的计算mc势能零点势能零点chiiihmgmhmhiiiccPmghE imih例：均质细棒的重力势能例：均质细棒的重力

5、势能ol总长总长m总质量总质量势能零点势能零点lhc21c2mglEP 时势能？时势能？（地面附近）（地面附近）10机械能守恒在体育方面的应用机械能守恒在体育方面的应用cPKmghEE运动研究所运动研究所 刘祥跨栏质心轨迹刘祥跨栏质心轨迹11km2m1LAo练习练习4：已知：已知： 杆长杆长 L，质量，质量 m1 环：环：m2 , 轻弹簧轻弹簧 k系统最初静止，在外力矩作用下绕竖直轴无摩擦转系统最初静止，在外力矩作用下绕竖直轴无摩擦转动。当动。当 m2 缓慢滑到端点缓慢滑到端点A时，系统角速度为时，系统角速度为 求：求：此过程中外力矩的功此过程中外力矩的功请自行列式请自行列式12解：解：m1

6、+ m2+k 系统非刚体，系统非刚体，缓慢滑动，不计缓慢滑动，不计 m2 沿杆径沿杆径向运动的动能。向运动的动能。 kEAA内外20)(21dxkxkxAAx弹内222213121221LmLmxkA外Lmxk22联立可解联立可解km2m1LAo13练习：练习：? max 如图所示，如图所示， 已知已知: M , l , m , , v0 ;击中击中 l 处处 求求: 击中时击中时 ; (只列方程只列方程) 43分两个阶段求解分两个阶段求解, ,各遵循什么规律各遵循什么规律? ?1 1）相撞）相撞: : 质点质点 定轴刚体定轴刚体对对 O 轴角动量守恒轴角动量守恒2）摆动）摆动: M + m

7、+ 地球系统地球系统 E 守恒守恒oMc l43l41m0v14撞后撞后 2231;43MlLlmLMm 撞前撞前 2sin4300lmvvmrLm cos430lmv 0 ML1 1）相撞）相撞: : 质点质点 定轴刚体定轴刚体 oMc l43l41m0v 2031169cos43lMmlmv 对对 O 轴角动量守恒轴角动量守恒15动能动能 Ek势能增量势能增量Ep初态初态末态末态m:M: 223116921 lMm 0 cos143 lmg cos121 lMg2）摆动）摆动: M + m + 地球系统地球系统 E 守恒守恒K2k1K1p2pp2p2k1p1KEEEEEEEEEE cos1

8、432223116921 glmlMmMoMc l43l41m0v16由此可解出所求值由此可解出所求值 cos1432311692122 glmMlMm 2031169cos43lMmlmv oMc l43l41m0v17练习：练习： p136 p136 例例5 5 如图所示：如图所示：已知：已知：光滑桌面，光滑桌面，m , M , k , l 0 , l ， 求：求： ，Bv0v思考：思考：分几个阶段处理？分几个阶段处理？ 各阶段分别遵循什么规律？各阶段分别遵循什么规律？0lk0vmMABM+mlOBv k18M + m+ 弹簧弹簧只有弹力只有弹力作功作功0 非非保保内内外外AA机械能守恒机械能守恒 2021221221llkvMmvMmBA 过程过程研究对象研究对象条件条件原理原理