第五章控制系统的频域分析

1、一、频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念( )iu t( )ou tRC( )i tl 频率响应：频率响应：在在正弦正弦输入信号的作用下，系统输出的输入信号的作用下，系统输出的稳态稳态 分量。分量。l 频率特性：频率特性：系统系统频率响应频率响应与与正弦输入信号正弦输入信号之间的关系。之间的关系。l 频域分析法：频域分析法：应用频率特性研究线性系统的经典方法。其应用频率特性研究线性系统的经典方法。其 特点是根据系统的特点是根据系统的开环频率特性开环频率特性去判断去判断闭环闭环系统的性能。系统的性能。如图，设初始如图，设初始(0)0imouituU s n，。当输出阻抗足够大时有：当输出阻抗

2、足够大时有：1ioouRiuuidtC ()ooiduuuRCdt消去消去i对上式进行拉氏变换得：对上式进行拉氏变换得：( )1( )1OIUsU ss22222222222211 ( )( )111 1111 mOImmmUUsU ssssUUUssss 拉氏反变换得：拉氏反变换得：22222222222222222222( )1111 11111 1( ) 11 tmtmtmmmommUUUu tesintcostUUesintcoUsistnUet 暂态分量暂态分量稳态分量稳态分量221( )( )1)osmmuUsintUsitAn 响应的响应的稳态分量稳态分量为：为：2211( )1

3、1Aj 1( )1arctanj 式中：式中：1( )1G ss2211()( )arctansjG jG se sj 可见，可见， 分别为分别为 的的幅值幅值 和和相角相角 。)()A 、()G j()G j()G j设线性定常系统的传递函数为：设线性定常系统的传递函数为：12( )( )( )( )( )( )()()()nC sN sNppsG sR sD sssps12( )( )( ) ( )( )()()()npN sC sG s RppsR ssss为方便起见设系统无重极点，则：为方便起见设系统无重极点，则：001222( )( )()()()() nmpppUcoss sN s

4、C ssinsss 121( )ijtp tiitjncabeb eet000( )()mmmr tU sintU sin tcosU cos t sin设：设：0022( )()mUR scoss sins 则：则：0010()0( ) ()() ()()()()22 mjjmj GsjjmUcoG sss sinsGjGjsjsjUUeejjebj式中：式中：00(200)() ()()( ) ()()22) smjjmjjmG jUcoss sinsjsjsjUUeejbjjjG sGGe000012()()()+()+0( ( )( ) ()()22 ()2 )( j tj tstjj

5、j G jj tj G jj tmmjG jtjG jtmmc tlimc tbeb eUUGjeeeG jeeG jejjeeUGGUjjjsint( )()( )() G jG jA ，()()(jG jG je 通常，把通常，把 称为系统的频率特性。它称为系统的频率特性。它反映了在正弦输入信号作用下，系统稳态响应与输入正弦信反映了在正弦输入信号作用下，系统稳态响应与输入正弦信号之间的关系。系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比号之间的关系。系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比 称为称为，它反映了系统对不同频率的正，它反映了系统对不同频率的正弦输入信号的衰减弦输入信号的衰减( (放大放大

6、) )特性。系统稳态输出信号对正弦输特性。系统稳态输出信号对正弦输入信号的相移入信号的相移 称为系统的称为系统的，它表示系，它表示系统输出对于不同频率正弦输入信号的相移特性。统输出对于不同频率正弦输入信号的相移特性。( )() AG j( )() G j 二、频率特性与时域响应的关系二、频率特性与时域响应的关系 频率特性，传递函数，微分方程三种系统描述之间关系频率特性，传递函数，微分方程三种系统描述之间关系系系 统统频率特性频率特性传递函数传递函数微分方程微分方程pjsjsp 频率特性为什么能反映系统动态特性？频率特性为什么能反映系统动态特性？u 物理上：正弦输入与阶跃输入不同，由于是强迫振荡

7、物理上：正弦输入与阶跃输入不同，由于是强迫振荡 所以能反映系统动态特性。所以能反映系统动态特性。u 数学上：数学上： ， 中的时间常数等反映中的时间常数等反映 了系统结构。了系统结构。()( )sjG jG s()G j三、频率特性的几何表示法三、频率特性的几何表示法 乃奎斯特图乃奎斯特图(Nyquist)：又称极坐标图或幅相又称极坐标图或幅相( (频率频率) )曲线曲线()()( )( ) ()jG jXjYG je 实数和虚数的形式实数和虚数的形式 复指数形式复指数形式 幅频幅频特性为特性为 的的偶函数偶函数，相频相频特性为特性为 的的奇函数奇函数，因，因此，此， 从从 和和 的幅相曲线关

8、于实轴对称，的幅相曲线关于实轴对称，一般只绘制一般只绘制 的幅相曲线。小箭头指示的幅相曲线。小箭头指示 时幅相曲线的变化方向。时幅相曲线的变化方向。0 0 0 对于对于RC 网络：网络：2211()11jG jj 有：有：22211()()22ReG jIm G j 表明表明RC 网络的幅相网络的幅相曲线是以曲线是以 为圆心，为圆心，半径为半径为 的半圆，如右的半圆，如右图所示。图所示。1(0)2, j120 0j12()ReG j()ImG j 对数频率特性曲线：对数频率特性曲线：又称伯德又称伯德( (Bode) )图，由对数幅频曲线图，由对数幅频曲线 和对数相频曲线组成。和对数相频曲线组成

9、。对数频率特性曲线的对数频率特性曲线的横坐标横坐标按按 ( (对数对数) )分度，单位是分度，单位是 ；对数；对数幅频幅频特性曲线的特性曲线的纵坐标纵坐标 按按 线性线性分度，单位是分度，单位是分贝分贝 。对数。对数相频相频特性曲线的特性曲线的纵坐标纵坐标按按 线性线性分度，单分度，单 位为位为度度 。由此构成的坐标系称为。由此构成的坐标系称为半对数坐标系半对数坐标系。lgrad s( )20lg()20lg ( )LG jA(dB)( ) ( ) 仍以仍以RC电路为例：电路为例：2212211( )20lg20lg1 20l1( ) 1 g1 ()Larctanarctan 当当 时：时：1

10、1当当 时：时：11在在 处：处：11( )20lg1 20lg100L，( )20lg1 20lg120lgL ，( )20lg1 20lg 23 dBL 综上，综上，RC网络的对数幅频特性可近似地用渐近线来网络的对数幅频特性可近似地用渐近线来表示。在表示。在 部分为一条部分为一条 的水平线，在的水平线，在 部部分为斜率等于分为斜率等于 的直线。在渐近线的的直线。在渐近线的交接交接处的处的频率频率为为 ，此处渐近线的幅值误差，此处渐近线的幅值误差为为 ( (最大最大) )。10 dB120dB dec113 dB( ) dBL( ) 0306090020400 01.0 1 .110100(

11、 )L( ) 用描点法绘制出用描点法绘制出 曲线如图，图中令：曲线如图，图中令：( ) 1111，对数分度：对数分度：当变量增大或减小当变量增大或减小10倍，称为倍，称为10倍频程倍频程 ， 坐标间距离变化一个单位长度。坐标间距离变化一个单位长度。(dec)交接频率：交接频率：又称为又称为转折频率转折频率，是指两条渐近线交接处对应，是指两条渐近线交接处对应 的频率。的频率。954. 09lg903. 08lg845. 07lg778. 06lg699. 05lg602. 04lg477. 03lg301. 02lg01lg 对数幅相曲线：对数幅相曲线：又称尼柯尔斯图或尼柯尔斯曲线。又称尼柯尔斯

12、图或尼柯尔斯曲线。其特点其特点 是纵坐标为是纵坐标为 ，单位为分贝，单位为分贝 ；横坐标为；横坐标为 ， 单位是度单位是度 ，均为线性分度，频率，均为线性分度，频率 为参变量。为参变量。( )L(dB)( ) ( ) 10080604020005101520( ) dBL( ) ( ) 一、比例环节一、比例环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：频率特性：( )G sK()G jK0()X()jY幅相曲线幅相曲线() dBL20lgK对数幅频特性对数幅频特性() 0对数相频特性对数相频特性伯德图伯德图( )( )20lg 0LK 二、惯性环节二、惯性环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：

13、频率特性：1()1G jj1( )1G ss0()jY12()X() ()A幅相曲线幅相曲线() dBL020400 01.0 1 .110100()L() 3060900 01.0 1 .110() 0对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性伯德图伯德图22 ( ()20lg )1arctaLn 三、积分环节三、积分环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：频率特性：1( )G ss211()jG jej( )( )20lg 9 0L 0()jY()X幅相曲线幅相曲线0伯德图伯德图() dBL对数幅频特性对数幅频特性10dB200 1 .20dB dec() 0对数相频特性对数相频特

14、性90四、微分环节四、微分环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：频率特性：( )G ss2()jG jje( )( )20 lg 90L 0()jY()X幅相曲线幅相曲线0伯德图伯德图() dBL对数幅频特性对数幅频特性10dB200 1 .20dB dec() 0对数相频特性对数相频特性90 理想微分环节理想微分环节 一阶比例微分环节一阶比例微分环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：频率特性：22()()11jG jje ( )1G ss 22( )20lg 1 ) ( anLrcta 0()jY1()X幅相曲线幅相曲线0伯德图伯德图() dBL020400 1.110100对数幅频

15、特性对数幅频特性20dB dec() 3060900 1 .1100对数相频特性对数相频特性 二阶微分环节二阶微分环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：频率特性：22()12G jj 22( )12G sss 222222( )20lg (1)(22( ) 1 ) arctanL 伯德图伯德图() dBL040800 1 .110100对数幅频特性对数幅频特性40dB dec( ) 601201800 1 .1100对数相频特性对数相频特性0()jY1()X幅相曲线幅相曲线0五、振荡环节五、振荡环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：频率特性：()221()( )12jG jAej 22

16、2221( )212nnnG sssss2222221( ) (1)(2( 2)1arctanA l 乃氏图乃氏图 与虚轴交点处的频率为与虚轴交点处的频率为 ( (无阻尼自然振荡角频率无阻尼自然振荡角频率) )1n1()2nA 谐振频率谐振频率 与与谐振峰值谐振峰值 rrM2222222222220(1)(2)(1)(2)1(1( )(2)0dAd 2222222222221(1)(2)(1)(2)02 (1)(2) 22222222222(1)(2)2 (1) (2)2 (2) 2 4(21)0 2 1 2 上式说明，当上式说明，当 时，幅频特性存在极大值，记时，幅频特性存在极大值，记极大处

17、的频率为极大处的频率为 ，称为，称为谐振频率谐振频率，相应的幅值称为，相应的幅值称为谐振峰谐振峰值值，记为，记为 ，则，则谐振峰值谐振峰值为：为： 02 2rrM21()21rrMAl 伯德图伯德图222222( )20lg (1)(2) 2( ) 1arctaLn 当当 时，时， ；1( )20lg10L 当当 时，时， ；12( )20lg()40lg()L 交接交接( (转折转折) )频率为频率为: :1n 振荡环节对数幅频率特性不仅与交接频率有关还与阻振荡环节对数幅频率特性不仅与交接频率有关还与阻 尼比尼比 有关，渐近线的误差随有关，渐近线的误差随 的不同而不同；的不同而不同； 当当

18、时，误差不大；当时，误差不大；当 时，误差增大。时，误差增大。0 40 7.0 4 .( )L0 1 .1100 1 .1 振荡环节的修正曲线与振荡环节的修正曲线与 有关。有关。六、纯滞后环节六、纯滞后环节l 传递函数：传递函数：l 频率特性：频率特性：( )sG se()jG je() dBL对数幅频特性对数幅频特性() 0对数相频特性对数相频特性伯德图伯德图( )0 ( ) L 幅相曲线幅相曲线0()X()jY11 上节介绍了典型环节的上节介绍了典型环节的极坐标图极坐标图( (幅相曲线幅相曲线) )，要绘制开环系统的极坐标图，只要计算出对应各要绘制开环系统的极坐标图，只要计算出对应各 的幅

19、值的幅值及相角即可逐点描绘出。及相角即可逐点描绘出。11()2()()(1)(1)(1) (1( )njniiKG jH jj Tj Tj TKejAT 1111( )1( )nniiiAKj Tj T，式中：式中：)()A ，计算出计算出 即可绘制极坐标图。即可绘制极坐标图。10()()(1)(10 1 )G jH jjj .例例5-1：解：解：计算结果如下计算结果如下0.710.830.971.151.41.762.263.044.47.038.910109876543210.50( )A( ) 029 4 . 50 7 . 24 7 . 88 2 . 97 7 . 105 2 . 111

20、 5 . 116 8 . 121 5 . 125 5 . 129 3 . 0( )X( )jY10 系统开环幅相曲线的绘制系统开环幅相曲线的绘制 根据系统开环率特性的表达式可以通过取点、计算和作根据系统开环率特性的表达式可以通过取点、计算和作 图，绘制系统开环幅相曲线。图，绘制系统开环幅相曲线。 概略开环幅相曲线应反映开环频率特性的概略开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要特征三个重要特征： 开环幅相曲线的开环幅相曲线的起点起点 和和终点终点 (0 )() 开环幅相曲线与负实轴的交点开环幅相曲线与负实轴的交点设设 时，时， 的虚部为零：的虚部为零：x()()xxG jH j即：即：Im()(

21、)0 xxG jH j()()()(01 2) xxxG jH jkk,或：或： 称称 为为穿越频率穿越频率，而开环频率特性曲线与实轴交点的，而开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为：坐标值为：xRe()()()()xxxxG jH jG jH j 开环幅相曲线的变化范围开环幅相曲线的变化范围( (象限、单调性象限、单调性) ) 开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点是绘制开环幅相曲线的基础。是绘制开环幅相曲线的基础。一、一、 型型系统的极坐标图系统的极坐标图0 开环幅相曲线的开环幅相曲线的起点起点在正实轴上；在正实轴上； 终点终点在原点；在原点

22、； 一般情况下，分子阶次为一般情况下，分子阶次为m，分母阶次为，分母阶次为n的开环传递的开环传递函数可表示为：函数可表示为：11(1)( )( )(1)mjn vvijisGKs H sssTl 终点处的幅值终点处的幅值l 终点处的相角：终点处的相角：() 90nm ()()0G jH j一阶一阶二阶二阶三阶三阶0()X()jYK12( )(1)(1)KG sTsT s例例5-2：已知已知 型型系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：试绘制系统的极坐标图。试绘制系统的极坐标图。00( )X( )jY0K 0K 12222212()()(1)(1)( )( )Karctan TarcTAta

23、n TT ，解：解：0(0)(0)KA ，起点：起点：(00)8)1(A ，终点：终点：与负实轴与负实轴无交点无交点穿越象限-(2-0)*90 二、二、型型系统的极坐标图系统的极坐标图 起点：起点：虚轴无穷远处虚轴无穷远处 终点：终点：原点原点(0)900)A ，终点处相角：终点处相角：() 90nm0()X()jY二阶二阶三阶三阶+12( )(1)(1)KG ss TsT s12( )(1)(1)KG ss TsT s例例5-3：已知已知型型系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：试绘制系统的极坐标图。试绘制系统的极坐标图。22221212(1)(1)9(0)AKTTarctan Tar

24、ctan T 解：解：1290(0(0)()(0(0)AXK TTYj ，起点：起点：(00)7)2(A ，终点：终点：下面，求与负实轴的交点下面，求与负实轴的交点1290()()18()0 xxxarctan Tarctan T12()()90 xxarctan Tarctan T1221 21 xxxTTTT21 210 xTT1 21xTT1 22212121 21 21 2(1)(11(1)1xTTKTTTTTTAKTTTT即与负实轴交点为即与负实轴交点为12120TTK, jTT求实轴交点的另一种方法求实轴交点的另一种方法2121 222221211()(1)()(1)(1)(1)(

25、1)KTTK TTKG jjj TTTjjT 令令 ，得：，得：21 210TT 1 21xTT代入实部得：代入实部得：1 21 2121 22212211112()Re(111)(1)1(1)xTTTTTTTTKTTTTG jKTTTT 0( )X( )jY0()X()jY1212TTKTT12()K TT概略概略实际实际4v 3v 2v 1v 三、三、型型系统的极坐标图系统的极坐标图 起点：起点：实轴无穷远处实轴无穷远处 终点：终点：原点原点(00)180)(A ，终点处相角：终点处相角：() 90nm0( )X( )jY四、四、含含纯滞后纯滞后环节的开环环节的开环系统的极坐标图系统的极坐

26、标图( )R s0 5 . se( )C s101s例例5-4：0510( )X( )jY设开环系统由设开环系统由 个环节串联而成，其传递函数为：个环节串联而成，其传递函数为：n1212( )( )()()()(nnG jG sG sGG jG jsG sG j1212()()()()12()()()12( )( )( )( ) ( )( )( )nnjjjjnjnAeAeAeAeAAAe 或：或：2121( )( )( )( ) ( )( )( )( ) nnAAAA 121220lg ( )20lg( )20lg( )20lg( ) ( )( )( )( )nnLLLAAAAL1122(

27、) ( )( )( )( )( )( )( ) nnLLLL 综上有：综上有： 因此，采用因此，采用即可方便地绘制出系统开环对数即可方便地绘制出系统开环对数频率特性曲线。实际上，系统开环对数幅频特性的频率特性曲线。实际上，系统开环对数幅频特性的渐进渐进特性特性有如下有如下特点：特点： 低频段低频段( ( 小于最小交接频率小于最小交接频率 ) )的斜率为：的斜率为： ， 为开环系统中所包含的串联积分环节为开环系统中所包含的串联积分环节 的数目。低频段的数目。低频段( (若存在小于若存在小于1 1的交接频率时，则为延长的交接频率时，则为延长 线线) )在在 处的对数幅值为处的对数幅值为 。即低频段

28、或其延长。即低频段或其延长 线经过点线经过点 。min20de B d cvv120lgK20)1 (lg,K 在典型环节的交接频率处，对数幅频特性渐近线的斜率在典型环节的交接频率处，对数幅频特性渐近线的斜率 要发生变化，若遇到要发生变化，若遇到 的环节，在交接频率的环节，在交接频率 处，斜率改变处，斜率改变 ；若遇到；若遇到 的环节时，在交接频率处，斜率改变的环节时，在交接频率处，斜率改变 。1( )(1)G ss20dB dec2 21( )(12s )G ss40 dB dec一、绘制系统开环对数幅频特性的步骤一、绘制系统开环对数幅频特性的步骤 开环传递函数典型环节分解；开环传递函数典型

29、环节分解； 计算各典型环节的交接频率；计算各典型环节的交接频率； 修正。修正。 通过点通过点 ，绘制斜率为，绘制斜率为 的低频段；的低频段；20)1 (lg,K20de B d cv 从低频段开始，随着从低频段开始，随着 的增大，每遇到一个典型环节的的增大，每遇到一个典型环节的 交接频率，就按上述方法改变一次斜率；交接频率，就按上述方法改变一次斜率；例例5-5：已知系统的开环传递函数为：已知系统的开环传递函数为：试绘制开环系统的伯德图。试绘制开环系统的伯德图。24(1)2( )(12 )(1 0 05)64sG ssss.s解：解： 开环传递函数典型环节分解：开环传递函数典型环节分解：一个比例

30、、一个惯性、一个比例、一个惯性、 一个一阶比例微分和一个振荡环节组成。一个一阶比例微分和一个振荡环节组成。 计算各典型环节的交接频率；计算各典型环节的交接频率；l 惯性环节：惯性环节：111120 5 .，l 一阶比例微分环节：一阶比例微分环节：2221122，l 振荡环节：振荡环节：2333111 86483， 绘制低频段；绘制低频段；10 51 .所以，低频段的延长线经过所以，低频段的延长线经过 ，即，即 。20)1 (lg4,12 41 ()0,.1v 利用误差修正曲线进行必要的修正；利用误差修正曲线进行必要的修正； 绘制各环节的相频特性，绘制各环节的相频特性，后得到系统的相频特性。后得

31、到系统的相频特性。 处，斜率处，斜率 10 5 .20dB dec40dB dec 40dB dec20dB dec 22处，斜率处，斜率20dB dec60dB dec 处，斜率处，斜率3820200( ) dBL121050 1 .0 2 .20)1 (lg,K1220dB dec40dB dec20dB dec60dB dec121050 1 .0 2 .( ) 090180270二、最小相位系统和非最小相位系统的频率特性二、最小相位系统和非最小相位系统的频率特性 定义定义 最小相位系统相位滞后是最小的。最小相位系统相位滞后是最小的。l 最小相位系统：最小相位系统：开环传递函数中的所有零

32、、极点都位于开环传递函数中的所有零、极点都位于 平面左半部的系统。平面左半部的系统。Sl 非最小相位系统：非最小相位系统：开环传递函数中具有位于开环传递函数中具有位于 右半平面右半平面 的零点或极点的系统。的零点或极点的系统。S例例5-6：最小相位系统最小相位系统111221( ) (0)1sG ss非最小相位系统非最小相位系统1221( )1sG ss解：解：两系统的幅频特性是一样的两系统的幅频特性是一样的22222112( )20lg 12)lg 1(0LL0( )L11210( ) 90180 最小相位系统的对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一最小相位系统的对数幅频特性与相频特性之间存在

33、着唯一 的对应关系。的对应关系。 根据系统的对数幅频特性，可以唯一地确定相应的根据系统的对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数，反之亦然。相频特性和传递函数，反之亦然。 时，幅频特性斜率：时，幅频特性斜率： 20 ()dB decnm相频特性：相频特性：90()nm例例5-7：已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如 图所示，试写出系统的开环传递函数。图所示，试写出系统的开环传递函数。20200() dBL121050 1 .0 2 .40720dB dec20dB dec40dB dec15解：解：由由 可得：可得：20lg15K

34、 5 6K.11122211217172低频段的斜率为：低频段的斜率为：20dB dec1v(15 6711) (12)() sGss.s240lg20lg1521c3 35c.三、含有纯滞后环节系统的伯德图三、含有纯滞后环节系统的伯德图例例5-8：1( )1sKG seTs2211( ) )20lg 0l1 2 gLKTarctan T 1()1jKG jejT解：解：( )L011T( ) 090180l 系统稳定条件？系统稳定条件？所有闭环特征根都位于所有闭环特征根都位于S 左半平面左半平面 劳斯判据劳斯判据 根轨迹法根轨迹法( (图解法图解法) )：根据开环零极点绘制闭环：根据开环零极

35、点绘制闭环 特征根的轨迹。特征根的轨迹。l 频域稳定性判据频域稳定性判据l 时域分析判断稳定性的方法？时域分析判断稳定性的方法？ 根据开环频率特性图和开环零极点判断闭环系统的根据开环频率特性图和开环零极点判断闭环系统的稳定性。稳定性。一、一、Nyquist稳定判据的数学基础稳定判据的数学基础1.1.映射映射( (幅角幅角) )定理：定理：设设 为复变量，为复变量， 为为 的有理分式函的有理分式函 数。对于数。对于 平面上任意一点平面上任意一点 ，通过复变函数，通过复变函数 的映的映 射关系，在射关系，在 平面上可以确定关于平面上可以确定关于 的象。在的象。在 平面平面 上选择一条封闭曲线上选择

36、一条封闭曲线 ，且不通过，且不通过 的任一零、极点，的任一零、极点， 从闭环曲线从闭环曲线 上任一点上任一点 起，顺时针沿起，顺时针沿 运动一周，运动一周， 再回到再回到 点，则相应地，点，则相应地， 平面上亦从点平面上亦从点 起，到起，到 点止，也形成一条闭合曲线点止，也形成一条闭合曲线 。为方便起见，令：。为方便起见，令：sssssS( )F s( )F s( )F sSF( )F sAA( )F s( )F A( )F A2112()()( )()()zzsssppssF不失一般性，设不失一般性，设 如下图分布：如下图分布：1212pzzp、 、0j1p2p1z2zs1s2s(a) S

37、平面平面0 xjyF( )F s(b) F(s) 平面平面设设 沿沿 顺时针运动一周，研究顺时针运动一周，研究 相角的变化情况：相角的变化情况：s( )F s1212( )( ) ()()()()zF sF s dssszppss 111()()2 ()2 ppsssz 按复平面按复平面定义，定义，旋转为旋转为，旋转为旋转为： 对于对于 ，作切线，作切线 ，则在，则在 的的 段，段， 的角度减小，在的角度减小，在 的的 段，角度增加，且有：段，角度增加，且有：2z2221szz s、1 2s s1()sz2 1s s1 22 12222()()()()0s ss sssdssdzssdszzz

38、2()0ps同理：同理： 映射映射(幅角幅角)定理：定理：设设 平面闭合曲线平面闭合曲线 包围包围 的的 个个 零点和零点和 个极点，并且，此曲线个极点，并且，此曲线不不经过经过 的任一零点的任一零点 和极点，则当复变量和极点，则当复变量 沿封闭曲线沿封闭曲线顺时针顺时针方向移动一周方向移动一周 时，在时，在 平面上的映射曲线平面上的映射曲线 按按逆时针逆时针方向包围坐标方向包围坐标 原点原点 周。周。S( )F s( )F s( )F sZPsFPZ2.2.复变函数复变函数 的选择的选择( )F s 的的零点零点为为闭环闭环传递函数的传递函数的极点极点； 的的极点极点为为 开环开环传递函数的

39、传递函数的极点极点。( )F s( )F s令：令： ，可见：，可见：( )( )( )( )1( )( )1( )( )N sD sN sF sG s H sD sD s 当当 沿沿 运动一周所产生的运动一周所产生的 两条曲线两条曲线 和和 只相差常数只相差常数 ，即，即 可由可由 沿沿 实轴正方向平移实轴正方向平移( (右移右移) )一个单位长度获得。一个单位长度获得。 包围包围 平面原点的周数等于平面原点的周数等于 包围点包围点 的周数。的周数。( )( )( ) 1 G s H sF sFFFGHGHGHs( )F s( 1 0), j0XjY13. 3. 平面闭合曲线平面闭合曲线 的

40、选择的选择S 不经过不经过 的任一零、极点。的任一零、极点。( )F s 包围包围 位于位于 平面右半部的平面右半部的 所有零点和极点。所有零点和极点。( )F sS0jjej j (a) 无虚轴上的极点无虚轴上的极点( )( )G s H s系统稳定的充要条件是：系统稳定的充要条件是： 的的零点零点都位都位于于 平面的平面的左半部左半部。在。在S平面右半部的平面右半部的零点数为零点数为0，即：，即： 。()FsS0Z乃氏回线乃氏回线 可取右图所可取右图所示的两种形式：示的两种形式：注：开环传递函数注：开环传递函数GH位于位于s右半平右半平面的极点数面的极点数P应不包含位于应不包含位于s平面虚

41、平面虚轴上的极点数。轴上的极点数。(b) 有虚轴上的极点有虚轴上的极点( )( )G s H sjej j 00nnjejje二、乃奎斯特二、乃奎斯特稳定稳定( (乃氏乃氏) )判据判据 闭环控制系统稳定的充分必要条件是：当闭环控制系统稳定的充分必要条件是：当 从从 时，系统的开环频率特性时，系统的开环频率特性 不穿不穿过过 点，且按点，且按方向包围方向包围 点点 R 周，周， 为位于平面为位于平面右半部的开环极点数，右半部的开环极点数，R=P。 ()()G jH j( 1 0), j( 1 0), jP 若开环系统稳定，即若开环系统稳定，即 ，则闭环系统稳定的充要，则闭环系统稳定的充要条件是

42、：系统的开环频率特性条件是：系统的开环频率特性不不包围包围 点。点。0P ( 1 0), j 实际上，常只画实际上，常只画 从从 的部分，故上述的部分，故上述乃氏判据中的乃氏判据中的 周应改为周应改为 周。周。0 P2P闭环极点在闭环极点在 平面平面右半部右半部的个数：的个数：2ZPNSN 半闭合曲线半闭合曲线( (乃氏图乃氏图) ) 穿越穿越 点点侧侧的次数。的次数。 (0)GH,( 1 0), j：开环幅相曲线起始于开环幅相曲线起始于( (或终止于或终止于) )点点 左侧左侧 的负实轴。若沿的负实轴。若沿离开离开( (或终止于或终止于) )负实轴，负实轴， 记为记为；若沿；若沿离开离开(

43、(或终止于或终止于) ) 负实轴，记为负实轴，记为。( 1 0), j正穿越正穿越 ：随着随着 的增大，开环幅相曲线的增大，开环幅相曲线逆时针逆时针( (从上从上) ) 穿越点穿越点 ；( 1 0), jN ：随着随着 的增大，开环幅相曲线的增大，开环幅相曲线 穿越点穿越点 ；( 1 0), jNP 开环极点在开环极点在 平面右半部的个数。平面右半部的个数。SNNN判断：判断：0Z 系统稳定；系统稳定；0Z 系统不稳定。系统不稳定。例例5-9：绘制开环传递函数为绘制开环传递函数为 的系统的系统 的乃奎斯特图，并判断系统稳定性。的乃奎斯特图，并判断系统稳定性。12( )( )(1)(1)KG s

44、 H sss01( )X( )jY 0K0 12222212()()(1)(1)( )( )Karctan TarcTAtan TT ，解：解：(0()0) 0AK 起点：起点：0 180( )( )A终点：终点：0002ZNNPP，系统稳定。系统稳定。例例5-10：绘制绘制 0型型3阶系统幅相频率特性，并判别系统稳定性。阶系统幅相频率特性，并判别系统稳定性。1000( )( )(1)(2)(5)G s H ssss23222( )2532 5251231725 1803108125arctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctanarctan 1

45、000()()(1)(2)(5)G jH jjjj解：解：217 x222()7 94171717100010001126125xA.01( )X( )jY1007 94.00 112202 ( 1)PPNNNZN ，10000(0( )A ，起点：起点：(00)7)2(A ，终点：终点：系统在系统在 右半平面上有两个极点，右半平面上有两个极点，不稳定不稳定。S欲使系统稳定，该怎么办？欲使系统稳定，该怎么办？100( )( )(101)(21)(0.21)G s H ssss21 01222 10PPNZNNN ，系统在系统在 右半平面上没有极点，右半平面上没有极点，稳定稳定。S22100(5

46、)( ) ( )(1)(9)sG s H ssss01( )X( )jY-例例5-11：设系统的开环传递函数为：设系统的开环传递函数为： ， 试绘制系统的乃奎斯特图，并判断闭环系统的稳定性。试绘制系统的乃奎斯特图，并判断闭环系统的稳定性。2(41)( )( )(1)(21)sG s H ss ss解：解：选取乃氏回线如下面左图所示。选取乃氏回线如下面左图所示。0 2 2jslim e, 小半圆：小半圆：在在 平面上相应的映射曲线为：平面上相应的映射曲线为：()()G jH j2222002411(1)()(21)()jjjjjjG jHelimlimeeeeje 这是一个半径为这是一个半径为无

47、穷大无穷大的圆弧，其相角由的圆弧，其相角由 经经0变到变到 。2 ()2 22 虚轴上，令虚轴上，令sj+2(41)11 7()() 0 (1)(21)10jjG jH jjj 0 1W=0-, 0+jjej j 00( )X( )jY00 ( 1 0), j 022jRslim Re 大半圆大半圆：在在 平面上相应的映射曲线为：平面上相应的映射曲线为：()()G jH j23241(1)(2()()01)jjjRjjRelimR eReRjHeGje333022 相角：相角：4 与实轴的交点与实轴的交点00 112202 ( 1)PPNNNZN ，系统在系统在 右半平面上有两个极点，右半平面

48、上有两个极点，不稳定不稳定。S当当 有虚轴极点时有虚轴极点时( ) ( )G s H s( )F s 平面的半闭合曲线：平面的半闭合曲线：可从可从 点起逆时针点起逆时针(曲线方向为顺时针曲线方向为顺时针)作作、的圆弧。的圆弧。( 0 ) ( 0 )G jH j90v ( )F s 平面的半闭合曲线：平面的半闭合曲线：应从应从 点起以点起以顺时针作顺时针作 的圆弧至的圆弧至 点。点。() ()nnG jH j1180v () ()nnG jH j 开环系统含有积分环节开环系统含有积分环节1vs 开环系统含有等幅振荡环节开环系统含有等幅振荡环节1221()vnsP209 图图5-31b120( )

49、X( )jY123例例5-12：已知单位反馈系统的已知单位反馈系统的开环幅相曲线开环幅相曲线 如右图所示，试确定系统闭环如右图所示，试确定系统闭环稳定时稳定时 值的范围。值的范围。(1001)PK,vK解：解：设交点处穿越频率分别为设交点处穿越频率分别为 。123，系统的开环传递函数形如：系统的开环传递函数形如：1( )( )KG sG ss1 ()() (1 2 3) iiiKG jG ji, ,j当当 时，时，10K 123()2()1 5()0 5G jG j.G j. ，133111122123()()()()()()21 50 5101010G jG jG jG jG jG j.jK

50、jKjK，312112233123123()()()111()2()1 5()0 5101020520310G jG jG jG jG j.G j.jjKjKK，若令若令 ，可求得对应的，可求得对应的 值：值：()1iG j K100002KNZPKNP，系统稳定系统稳定1200 1122KNKNPZKP ，系统不稳定系统不稳定2301 1020KNKNPPKZ ，系统稳定系统稳定3012212KNNZPPK ，系统不稳定系统不稳定综上可知，系统闭环稳定时，综上可知，系统闭环稳定时， 的取值范围是：的取值范围是：K2005 or 203KK三、根据伯德图判断系统的稳定性三、根据伯德图判断系统的

51、稳定性1. 乃氏图与伯德图的对应关系乃氏图与伯德图的对应关系 乃氏图中乃氏图中单位圆单位圆对应于伯德图中对应于伯德图中 线；线；0dB 乃氏图中乃氏图中负实轴负实轴对应于伯德图中对应于伯德图中 线；线；180 乃氏图中乃氏图中单位圆以外单位圆以外对应于伯德图中对应于伯德图中 ；( )0L 乃氏图乃氏图从上而下从上而下对穿过负实轴对穿过负实轴 线段，相角增加，线段，相角增加， 称为称为，伯德图中，伯德图中 从下而上从下而上穿过穿过 线，意线，意 味着相角的增加，称为味着相角的增加，称为；( ) (1), 180 乃氏图乃氏图从下而上从下而上对穿过负实轴对穿过负实轴 线段，相角减小，线段，相角减小

52、， 称为称为，伯德图中，伯德图中 从上而下从上而下穿过穿过 线，意线，意 味着相角的减小，称为味着相角的减小，称为；( ) (1), 180( )X( )jY0ABCDc伯德图伯德图() dBL对数幅频特性对数幅频特性0dB20c() 0对数相频特性对数相频特性1801x2x:c:x2. 对数频率稳定判据对数频率稳定判据 闭环系统稳定的充要条件是：当闭环系统稳定的充要条件是：当 时，在时，在开环对数幅频特性开环对数幅频特性 的频段内，相频特性的频段内，相频特性 穿越穿越 线的次数线的次数 满足满足 。 为为 平面右半部的开环极点数。平面右半部的开环极点数。0 ( )0L() (21)kNNNP

53、S20ZNP半对数坐标下半对数坐标下 的对数相频曲线的对数相频曲线 的确定的确定GH 开环系统无虚轴上的极点时，开环系统无虚轴上的极点时， 等于等于 曲线。曲线。( ) 开环系统存在积分环节开环系统存在积分环节 时，需从时，需从 曲线曲线 较小较小 且且 的点处向上补作的点处向上补作 的虚直线，的虚直线， 曲线和补作的虚直线构成曲线和补作的虚直线构成 。 1vs( ) ( ) ( )0Lv 90例例5-13：( )( )(1)KG s H sss0P 解：解： 开环系统存在振荡环节开环系统存在振荡环节 时，需从对数相频特性时，需从对数相频特性 曲线曲线 点起向下补作点起向下补作 的虚直线至的虚

54、直线至 处，处， 曲线和补作的虚直线构成曲线和补作的虚直线构成 。 1221()vns()n ( ) v 1180()n () dBL120lgK0 1 .20dB decc140dB dec() 18090020ZPNNNN所以，系统稳定。所以，系统稳定。四、系统的相对稳定性和稳定裕度四、系统的相对稳定性和稳定裕度 系统开环频率特性靠近系统开环频率特性靠近 点的程度表征了系统的点的程度表征了系统的相对稳定性，距离相对稳定性，距离 点愈远，闭环系统的稳定性愈点愈远，闭环系统的稳定性愈高。系统的相对稳定性常用高。系统的相对稳定性常用相角裕度相角裕度 和和增益裕度增益裕度 来度量。来度量。( 1

55、0), j( 1 0), j()h GM1. 相角裕度相角裕度 ：在频率特性上对应于在频率特性上对应于 的角频率的角频率 称为称为，以，以 表示。表示。( )1Ac180()c相角裕度相角裕度 的含义是对于闭环稳定系统，如果系统开环的含义是对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后相频特性再滞后 度，则系统将处于度，则系统将处于状态。状态。2.2.增益裕度增益裕度 ：在相频特性等于在相频特性等于 弧度的频率弧度的频率 ( (穿穿 越频率越频率) )处，开环幅频特性的倒数处，开环幅频特性的倒数 称为增益裕度，以称为增益裕度，以 或或 表示。表示。 增益裕度增益裕度的含义是，对于闭环稳定的系统，

56、如果系统的含义是，对于闭环稳定的系统，如果系统 的开环增益再增大的开环增益再增大 倍，则系统将处于倍，则系统将处于状态。状态。()h GMx1()xAhGMh( )X( )jY0hxc10 dB0 h ，30606 dBh， 为了得到较满意的暂态为了得到较满意的暂态响应，一般取：响应，一般取：1/)(1lg20)(xwAdbh例例5-14：设单位反馈系统的开环传递函数为：设单位反馈系统的开环传递函数为：试分别确定系统开环增益试分别确定系统开环增益 和和 时的时的相角裕度和增益裕度。相角裕度和增益裕度。( )(1)(0 11)KG ss s. s5K 20K 22112()(1)(0 11)1

57、1(1 00 11(11)1ccKKG jjj. j.jarctan.j. 解：解：首先作出首先作出 和和 时的对数幅频渐进特性和时的对数幅频渐进特性和 对数相频特性曲线，如下图所示。对数相频特性曲线，如下图所示。5K 20K 121050 1 .0 2 .( ) 090180270121050 1 .0 2 .20200( ) dBL406040dB dec20dB dec60dB dec 当当 时，时，5K 20lg13 98K.1111211110 13 9840lglg113 980 3495 2 23 168 51640180180(15 )1 5680 111 1()( 0 2)(

58、) lg ccccccc.arctanarctan. 21 0 10.103 162x.令令 得：得：1111120lg()40lg ()0 5 2() cxxxxAA.A11120lg20lg2()6 (dB)xhA( (单位转换单位转换) ) 当当 时，时，20K 20lg26 02K.222222222 0 11026 0240lglg126 020 6505 4 470 2191 51 119240180180(1)1 51 5 lg ()()ccccccc.arctanarctan 222222120lg()40lg ()2 0 5()120lg20lg0 5()6 (dB) xxx

59、cxxAA.A.Ah 例例5-15：已知系统开环传递函数为：已知系统开环传递函数为：3( )( )(1)KG s H ss试用乃氏判据求系统临界增益，当其中一个惯性环节试用乃氏判据求系统临界增益，当其中一个惯性环节时间常数为时间常数为 时，临界增益有何变化。时，临界增益有何变化。(0)aa解：解：33322()()(1)1j arctanKKG jH jej 22( )20lg60lg 1( )3 arctKaLn 1801803()ccarctan 0 临界稳定时临界稳定时000360603 arctantan32230()20lg60l3g 120lg20lg0 228 cccKKLK22

60、222( )20lg40lg 120l( )2 g 1arctanarctanKaLa 2()()(1) (1)KG jH jjj a 2222222222( ) 2 122(1)1 21211arctanarctanarctanaarctanarctanaaaarctanarctanaa 220002(1)0a 01800() 令令 ，有：，有：022 aa222222( )20lg40lg 120lg 1 20lg40lg20lg 1()() 20lg20lg20lg()() 222222 20lg20lg11210LKaKaKaaaaaaaaKaaaa2222()()2122148212