现代测试理论波形与频谱分析第一章ppt课件

1、12/30/13波形、频谱与随机信号分析现代测试实际现代测试实际自动化学院自动化学院仪器科学与技术系仪器科学与技术系12/30/13波形、频谱与随机信号分析第一章第一章 波形、频谱与随机过程分析波形、频谱与随机过程分析信息产业的三大支柱：信息产业的三大支柱：1. 信息获取传感器、仪器：量值信信息获取传感器、仪器：量值信息息2. 信息传送通讯设备信息传送通讯设备3. 信息处置计算机信息处置计算机本课程主要是研讨本课程主要是研讨 “信息处置信息处置 问题。问题。波形、频谱与随机信号处置是现代信波形、频谱与随机信号处置是现代信息处置技术的主要内容之一息处置技术的主要内容之一12/30/13波形、频谱

2、与随机信号分析1.1.1 1.1.1 观测数据的波形与频谱观测数据的波形与频谱 1. 1.波形：时间波形：时间 横坐标、物理观丈量幅值横坐标、物理观丈量幅值 纵坐纵坐标，得到一种变化的图形，称之为时域波形；标，得到一种变化的图形，称之为时域波形；电、磁、光电、磁、光力、位移、速度、力、位移、速度、加速度加速度机械量机械量观测数据时间时间幅幅值值O1.1 1.1 波形与频谱的根本概念波形与频谱的根本概念12/30/13波形、频谱与随机信号分析 2. 2.频谱：频率频谱：频率 横坐标、经数学变换后的物理观丈量横坐标、经数学变换后的物理观丈量如：幅值、相位、功率如：幅值、相位、功率 纵坐标，得到一种

3、变化的图纵坐标，得到一种变化的图形或谱线，称之为频谱。形或谱线，称之为频谱。 3. 3.波形分析：普通是指对观测信号在时间域和幅值域里波形分析：普通是指对观测信号在时间域和幅值域里进展分析进展分析 ，以得到描画观测信号的各种特征或关系，以得到描画观测信号的各种特征或关系 。 例如：例如： 波形的起始时间与继续时间波形的起始时间与继续时间 波形的时间滞后波形的时间滞后 波形的畸变波形的畸变 波形与波形之间的类似程度波形与波形之间的类似程度 4. 4.频谱分析：是对观测信号在频率域内进展分析，得频谱分析：是对观测信号在频率域内进展分析，得到到 ： 幅值谱幅值谱/ /相位谱，相位谱， 功率谱功率谱

4、， 互谱密度等分析互谱密度等分析结果。结果。12/30/13波形、频谱与随机信号分析 5. 5.波形与频谱的关系：波形分析波形与频谱的关系：波形分析 频谱分析，即频谱分析，即式中，式中，X()X()是是 x(t) x(t)的傅立叶变换，的傅立叶变换， x(t) x(t)是是 X() X()的傅立叶的傅立叶逆变换。逆变换。 图图1-11-1直观地表示了时间域和在频率域观测信号之间的直观地表示了时间域和在频率域观测信号之间的有机联络。有机联络。谱分析的数学工具谱分析的数学工具 傅立叶级数傅立叶级数傅立叶积分傅立叶积分FTFTNoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析t谱线谱线2f图图1

5、-1 1-1 波形与频谱波形与频谱 a a时域波形；时域波形； b b时频关系；时频关系； c c频域谱线频域谱线(b)(b)(a)(a)幅幅值值幅幅值值时域观测时域观测频域观测频域观测(c)(c)2f幅幅值值12/30/13波形、频谱与随机信号分析 绝大多数观测中是看不到真实波形的；绝大多数观测中是看不到真实波形的； 实践观测到的波形无法与真实波形进展比较。实践观测到的波形无法与真实波形进展比较。 这样就能够把已这样就能够把已 “ “扭曲的测试数据当作结果加以扭曲的测试数据当作结果加以运用！运用！ 因此，未经分析处置、修正反演而简单地根据测试波形因此，未经分析处置、修正反演而简单地根据测试波

6、形直接求得的结果，往往会产生很大的误差，有时甚至会得出直接求得的结果，往往会产生很大的误差，有时甚至会得出错误的结果。错误的结果。 波形的分析与处置的目的之一就是要防止出现这种情波形的分析与处置的目的之一就是要防止出现这种情况。况。观测波形失真失真畸变畸变哈哈镜哈哈镜12/30/13波形、频谱与随机信号分析1.1.21.1.2 观测数据的类型与描画观测数据的类型与描画观测波形在容差内可反复在容差内可反复在容差内不可反复在容差内不可反复确定性数据确定性数据随机性数据随机性数据观测波形周期性数据周期性数据非周期性数据非周期性数据简谐周期数据简谐周期数据复杂周期数据复杂周期数据准周期数据准周期数据瞬

7、变数据瞬变数据12/30/13波形、频谱与随机信号分析 1. 1.简谐周期数据简谐周期数据: : 可用以下方式的函数来描画：可用以下方式的函数来描画：1.1.11.1.1式中：式中： A A 振幅；振幅； f0 =1/ T f0 =1/ T 频率，表示波在单位时间内的循频率，表示波在单位时间内的循环数；环数； T T 周期，表示正弦波完成一次循环所需的时周期，表示正弦波完成一次循环所需的时间；间； 0=2f0 0=2f0 角频率；角频率； 相对时间原点的初始相位弧度。相对时间原点的初始相位弧度。 例如例如: :交流发电机的电压输出，偏心转子的振动交流发电机的电压输出，偏心转子的振动 从数据分析

8、的角度出发，简谐数据是观测数据中最简单从数据分析的角度出发，简谐数据是观测数据中最简单的方式。的方式。NoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析 2. 2.复杂周期数据复杂周期数据: : 可用周期时变函数表示：可用周期时变函数表示：1.1.21.1.2 与简谐周期波形一样，一个波阅历的时间称为周期与简谐周期波形一样，一个波阅历的时间称为周期 T T，单位时间内的循环数称为基频单位时间内的循环数称为基频 f1 f1 。显然，简谐周期波是复杂。显然，简谐周期波是复杂周期波的一个特例。周期波的一个特例。 复杂周期波可以展成傅立叶级数：复杂周期波可以展成傅立叶级数：1.1.31.1.3No

9、ImageNoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析式中：式中：复杂周期数据还可以用傅立叶级数的另一种表达方式复杂周期数据还可以用傅立叶级数的另一种表达方式: 1.1.4其中其中NoImage)2cos()(110nnntnfXXtxNoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析 假设只思索复杂周期数据的幅值谱，那么可用图假设只思索复杂周期数据的幅值谱，那么可用图1-2所示所示的的离散谱线来表示式离散谱线来表示式1.1.4的幅频特性。的幅频特性。 3.准周期数据准周期数据: 准周期数据是一种非周期数据，可用下准周期数据是一种非周期数据，可用下式表示为式表示为图图1-2 1-

10、2 复杂周期数据的频谱幅值谱复杂周期数据的频谱幅值谱X3X2X1X0幅幅值值ff0f1f2f312/30/13波形、频谱与随机信号分析1.1.51.1.5式中，式中，fn / fmfn / fmnmnm在任何情况下都不等于有理数。在任何情况下都不等于有理数。 当两个或多个无关联的周期性景象混协作用时，经常会当两个或多个无关联的周期性景象混协作用时，经常会出现准周期数据。出现准周期数据。 例如：多机组内燃机车在发动机不同步时的振动呼应就例如：多机组内燃机车在发动机不同步时的振动呼应就是准周期数是准周期数据。准周期数据也可用图据。准周期数据也可用图1-21-2所示的离散谱线来表示它的幅所示的离散谱

11、线来表示它的幅值谱，其差值谱，其差别仅仅是各个分量的频率不再是有理数的关系。别仅仅是各个分量的频率不再是有理数的关系。 4. 4.瞬变非周期数据瞬变非周期数据: : 除了准周期以外的一切非周期信除了准周期以外的一切非周期信号号都属于瞬变数据。瞬变数据与周期数据不同的一个重要特都属于瞬变数据。瞬变数据与周期数据不同的一个重要特征，就是它不能用离散谱来表示延续谱。征，就是它不能用离散谱来表示延续谱。 )cos(2)(10 nnnntfXXtx12/30/13波形、频谱与随机信号分析 在多数情况下，瞬变数据可用傅立叶积分表示在多数情况下，瞬变数据可用傅立叶积分表示 1.1.6式中，式中，| X()|

12、 幅频特性，幅频特性，() 相频特性。相频特性。 二者均为二者均为延续谱。延续谱。1.2 随机过程及其数学特征随机过程及其数学特征)(jje | )(|)(de)()( XXttxXt或观测数据单个时间历程单个时间历程样本函数样本函数某一时间区间某一时间区间样本记录样本记录全部时间历程全部时间历程随机过程随机过程随机数据确定性变化规律12/30/13波形、频谱与随机信号分析1.2.1 1.2.1 随机过程的根本数字特征随机过程的根本数字特征 随机过程的分布函数族能完善地描写随机过程的统计特随机过程的分布函数族能完善地描写随机过程的统计特性，但在实践观测中，往往只能得到部分样本，用这些样本性，但

13、在实践观测中，往往只能得到部分样本，用这些样本来确定分布函数是困难的，甚至是不能够的，因此有必要引来确定分布函数是困难的，甚至是不能够的，因此有必要引入根本数字特征来描画随机过程的统计特性。入根本数字特征来描画随机过程的统计特性。 1.一阶矩或期望值一阶矩或期望值 给定实或复随机过程给定实或复随机过程 x(t)，固定，固定t，那么，那么 x(t)是一随机变量，其一阶矩普通与是一随机变量，其一阶矩普通与 t 有关，记为有关，记为1.2.1 称称 mx(t)为随机过程为随机过程 x(t) 的均值函数或数学期望。的均值函数或数学期望。NoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析 2. 2.

14、二阶矩与相关函数二阶矩与相关函数 将实或复随机变量将实或复随机变量x(t)x(t)的二阶原的二阶原点矩记作点矩记作 1.2.21.2.2 称它为随机过程称它为随机过程 x(t) x(t)的均方值函数；而将随机过程的均方值函数；而将随机过程 x(t) x(t)的二阶中心矩分别记作的二阶中心矩分别记作 1.2.31.2.3称它为随机过程称它为随机过程 x(t) x(t)的方差函数的方差函数 ；其中，；其中，x x 称为均方称为均方差或差或规范差，它表示随机变量规范差，它表示随机变量 x(t) x(t)在在 t t 时辰相对于均值的平均时辰相对于均值的平均偏偏离程度。离程度。)(E)(22txtx2

15、2)()(E)(var)(tmtxtxtxx 12/30/13波形、频谱与随机信号分析 对于恣意对于恣意t1，t2，定义随机变量，定义随机变量x(t1) 和和x(t2)的二阶原的二阶原点混合矩即自相关函数，或简称相关函数为点混合矩即自相关函数，或简称相关函数为 1.2.4 式中，式中，x*(t2)是是 x(t2)的复共轭。类似地，还可定义随机变量的复共轭。类似地，还可定义随机变量x(t1)和和 x(t2)的二阶中心混合矩：的二阶中心混合矩： 1.2.5通常，称它为随机过程通常，称它为随机过程 x(t) 的自协方差函数，简称协方差的自协方差函数，简称协方差函数。函数。 自相关函数和自协方差函数是

16、描写随机过程本身在两个自相关函数和自协方差函数是描写随机过程本身在两个不同时辰的形状变量之间的统计依赖关系。不同时辰的形状变量之间的统计依赖关系。),()()(E),(212*121ttRtxtxttRxxx NoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析自相关函数和协方差函数之间具有如下关系：自相关函数和协方差函数之间具有如下关系：当当 t1=t2=t 时，上式变为时，上式变为 类似地，两个随机过程类似地，两个随机过程 x(t)和和 y(t)的相互关函数定的相互关函数定义为义为1.2.6而它们的互协方差函数为而它们的互协方差函数为 1.2.7)()(),(),(2*12121tmtm

17、ttRttCxxxx)()()(222tmttxxx NoImageNoImage方差方差均方值均方值均值的平方均值的平方12/30/13波形、频谱与随机信号分析其中其中my(t)是随机过程是随机过程 y(t)的均值函数。的均值函数。 假设两个随机过程假设两个随机过程 x(t)和和 y(t)分别是为分别是为n 1和和m 1的列向量，用上标的列向量，用上标 H 表示共轭转置，那么它们的自相关函数表示共轭转置，那么它们的自相关函数和和相互关函数可表示为相互关函数可表示为式中，式中，Rx(t1，t2)为为n n矩阵，矩阵，Rxy(t1，t2)为为n m 矩阵。矩阵。 相应的协方差函数和互协方差函数也

18、是矩阵函数。相应的协方差函数和互协方差函数也是矩阵函数。 3.不相关，正交，独立过程不相关，正交，独立过程 思索两个随机过程思索两个随机过程 x(t)和和y(t) ： 假设假设x(t)和和y(t)是不相关的，那么互协方差是不相关的，那么互协方差函数为函数为0，即：，即：1.2.8NoImageNoImage先乘后取均值与先乘后取均值与取均值后再相乘取均值后再相乘12/30/13波形、频谱与随机信号分析 假设假设 x(t) x(t) 和和 y(t) y(t) 正交，那么相关函数为正交，那么相关函数为0 0，即即1.2.91.2.9 假设两个随机变量假设两个随机变量 x(t) x(t) 和和 y(

19、t) y(t) 独立，那么有独立，那么有1.2.101.2.10其中，其中，p(x), p(y)p(x), p(y)和和 p(x p(x，y)y)分别表示随机变量分别表示随机变量 x(t) x(t)，y(t)y(t)的的概率密度函数及二者的结合概率密度函数。概率密度函数及二者的结合概率密度函数。 对于零均值随机过程不相关和正交是等价的。上述关系对于零均值随机过程不相关和正交是等价的。上述关系很容易推行到很容易推行到 n n 个随机过程，不赘述。个随机过程，不赘述。NoImage)()(),(ypxpyxp 12/30/13波形、频谱与随机信号分析1.2.2 1.2.2 平稳过程的根本数字特征平

20、稳过程的根本数字特征 假设随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。严厉假设随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。严厉地说，对于某一实数域通常是指时间域地说，对于某一实数域通常是指时间域 ，假设对恣，假设对恣意意的的t1，t2，tn 和恣意实数和恣意实数h，当，当 t1+h，t2+h，tn+h 时，时，n 维随机变量维随机变量x(t1)，x(t2)，x(tn) 和和 x(t1+h)，x(t2+h)，x(tn+h) 具有一样的分布函数，那么称随机过程具有一样的分布函数，那么称随机过程 x(t)，t 具有具有平稳平稳性，并称此过程为平稳随机过程，简称平稳过程。性，并称此过程为平稳随机过程，简称平稳

21、过程。12/30/13波形、频谱与随机信号分析 由平稳过程的定义，对于恣意由平稳过程的定义，对于恣意 t，t +T，一维随机变，一维随机变量量 x(t)和和 x(t+)同分布。取同分布。取= -t，那么有，那么有1.2.11 同样，同样， x(t)的均方值函数的均方值函数x2 和方差函数和方差函数x2 亦均为常亦均为常数。在式数。在式1.2.4和和1.2.5中，令中，令t2=t 和和 t1 t2=，就，就有有1.2.12 这阐明平稳过程的相关函数和协方差函数仅是时间差这阐明平稳过程的相关函数和协方差函数仅是时间差 = t1 t2 的函数。当的函数。当x(t)为零均值平稳过程，就有为零均值平稳过

22、程，就有常数 xxmxtxtm(0)E)(E)(NoImageNoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析 满足式满足式1.2.11和和1.2.12的随机过程称为弱平稳的随机过程称为弱平稳过程或广义平稳过程；反之，那么为非平稳过程。相对地，按过程或广义平稳过程；反之，那么为非平稳过程。相对地，按分布函数定义的平稳过程称为严厉平稳过程。分布函数定义的平稳过程称为严厉平稳过程。 类似地，类似地， 假设假设 Rxy(t1，t2) 只是时间差只是时间差 t1 t2=的单变量的单变量函数，记为函数，记为Rxy()，那么称，那么称 x(t) 和和 y(t) 是平稳相关的。是平稳相关的。 平稳相关

23、过程平稳相关过程 x(t) 和和 y(t) 的互协方差函数可写成的互协方差函数可写成 由上式可见，当由上式可见，当 x(t) 和和 y(t) 中有一个是零均值的，那么互中有一个是零均值的，那么互相关函数和互协方差函数相等。相关函数和互协方差函数相等。 前面讨论的平稳和非平稳性概念，是指随机过程总体平前面讨论的平稳和非平稳性概念，是指随机过程总体平均特性而言的。假设可用总体中的某个样本函数的时间平均均特性而言的。假设可用总体中的某个样本函数的时间平均NoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析来替代总体平均来替代总体平均 ,即对于恣意即对于恣意T，平稳过程，平稳过程 x(t) 中的第中

24、的第k个样本函数个样本函数xk(t)的均值和自相关函数可分别表示成的均值和自相关函数可分别表示成 1.2.131.2.14那么称此平稳过程具有各态历经性或遍历性那么称此平稳过程具有各态历经性或遍历性ergodicity。 在大多数情况下，表示平稳物理景象的随机数据，普通在大多数情况下，表示平稳物理景象的随机数据，普通是近似各态历经的。因此，假设可以事先确定某随机过程是是近似各态历经的。因此，假设可以事先确定某随机过程是各态历经的，那么只需验证单个样本记录的平稳性，就可有各态历经的，那么只需验证单个样本记录的平稳性，就可有效效地断定该记录所属的随机过程能否满足平稳性和遍历性。地断定该记录所属的随

25、机过程能否满足平稳性和遍历性。xTkTxmttxTxkmd)(1lim)(0NoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析1.2.3 1.2.3 相关函数的性质相关函数的性质 假设假设 x(t) x(t) 和和 y(t) y(t) 是平稳相关过程，是平稳相关过程， Rx()Rx()，Ry() Ry() 和和Rxy()Rxy()分别是它们的自相关函数和相互关函数，那分别是它们的自相关函数和相互关函数，那么它们具有么它们具有以下五个性质以下五个性质: : Rx(0) = Ex2(t) =x2 0 Rx(0) = Ex2(t) =x2 0，表示平稳过，表示平稳过程程 x(t) x(t) 的的

26、“平平均功率。均功率。 Rx Rx* *(-) = Rx()(-) = Rx()； Rxy Rxy* *() = Ryx(-() = Ryx(-)。 这些关系这些关系可以从它们的定义直接得到。可以从它们的定义直接得到。 关于相关函数和相互关函数有以下不等式：关于相关函数和相互关函数有以下不等式： 根据定义和根据定义和 Cauchy-Chwartz Cauchy-Chwartz 不等式不等式|(0)|(0)| )(0)| )(|2yxxyxxRRRRR |和12/30/13波形、频谱与随机信号分析可证得。 相关函数表示同一过程或波形相差时辰的类似程度。在相关函数中还可以定义自相关系数或归一化协方

27、差，即波形 x(t) 的协方差函数与均方差之比：1.2.15 相互关函数表示两个过程或波形相差时辰的类似程度。定义相互关系数为1.2.16|)(E|)(E|)(*)(|E222tytxtytx NoImageNoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析 显然显然, |x()| 1， |xy()|1。留意，许多教科书将。留意，许多教科书将xy() 定义相关系数。定义相关系数。 假设假设 x(t) 和和 y(t) 不相关，根据定义式不相关，根据定义式1.2.8，那么有，那么有xy() = 0。这阐明随机变量。这阐明随机变量 x(t)-mx 和和 y(t)-my 是正是正交交的，于是的，于

28、是即即1.2.17 Rx()是半正定的，即对于恣意数组是半正定的，即对于恣意数组 t1,tn 和和任任意实或复值函数意实或复值函数 g(t) 都有都有)()E()()E(222yxyxmymxmymx NoImageNoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析 假设假设Ru是半正定矩阵函数，那么，对于是半正定矩阵函数，那么，对于 t1,tk 和和C1,Ck Cn,有有1.2.19 5假设平稳过程假设平稳过程 x(t) 的概率分布函数满足的概率分布函数满足Px(t+T0)=x(t)=1那么称它是周期为那么称它是周期为T0的平稳过程。周期平稳过程的相关函数的平稳过程。周期平稳过程的相关函

29、数必必是周期为是周期为T0的函数。的函数。1.2.4 功率谱及其性质功率谱及其性质 首先给出傅立叶变换对重要定理，然后将确定性函数的首先给出傅立叶变换对重要定理，然后将确定性函数的功率谱密度的定义推行到随机过程，建立起相关函数与功率功率谱密度的定义推行到随机过程，建立起相关函数与功率谱密度之间的关系。谱密度之间的关系。0)(1,H jjijiuiCttRC12/30/13波形、频谱与随机信号分析 1 1帕塞瓦尔帕塞瓦尔ParsevalParseval定理定理 假设确定性函数假设确定性函数 x(t) x(t)的傅立叶变换存在，即的傅立叶变换存在，即1.2.201.2.20式中，式中，X() X(

30、) 称为称为 x(t) x(t) 的频谱，它普通是角频率的复函数。的频谱，它普通是角频率的复函数。 当当 x(t) x(t) 为实函数时，有为实函数时，有 其中，其中，X X* *() () 表示表示 X() X() 的共轭函数。的共轭函数。 在在 x(t) x(t) 和和 X() X() 之间存在如下关系，即之间存在如下关系，即ParsevalParseval定定理：理：1.2.211.2.21NoImage)()(),()(* XXXXd| )(|21d)(22 Xttx12/30/13波形、频谱与随机信号分析等式左边表示等式左边表示 x(t) 在时域上的总能量，而右边的被积函数在时域上的

31、总能量，而右边的被积函数 |X()|2 称为称为 x(t) 的能谱密度。这样，的能谱密度。这样，Parseval定理又可了定理又可了解解为总能量的谱表达式。为总能量的谱表达式。2功率谱密度功率谱密度 很多确定性函数的总能量是无限的，很多确定性函数的总能量是无限的，所以式所以式1.2.21是无意义的。为此，选有限时间是无意义的。为此，选有限时间T，对，对x(t) 构造限时截尾函数：构造限时截尾函数： 1.2.22 令令T，那么由式，那么由式1.2.21可以写出限时函数可以写出限时函数 xT(t) 在区在区间间-T，T 上的总平均功率：上的总平均功率：NoImage d| )(|T21lim21d

32、)(T21lim22TTTTTXttx12/30/13波形、频谱与随机信号分析式中，式中，XT() 是是 XT (t) 在区间在区间 -T，T 上的傅立叶变换。上的傅立叶变换。 定义定义假设假设 1.2.23那么称那么称x()为为x(t) 的功率谱密度函数，简称谱密度；而的功率谱密度函数，简称谱密度；而x()d称为谱分布函数。称为谱分布函数。 3平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度 思索随机过程思索随机过程 x(t)，当然，当然x2(t) 也是随机过程。对于随机过程直接运用上式是不方便也是随机过程。对于随机过程直接运用上式是不方便的，但只需对式的，但只需对式1.2.23两边取均值，就可得到适宜于平

33、两边取均值，就可得到适宜于平稳过程的平均功率表达式：稳过程的平均功率表达式：),(lim)(,| )(|T21),(2TXTxTxTx d)(21d)(T21limlim2xTTTTTttxP12/30/13波形、频谱与随机信号分析1.2.24其中，将随机变量其中，将随机变量 x(t) 的谱密度定义为的谱密度定义为1.2.25 对于平稳随机过程对于平稳随机过程x(t)，均方值函数，均方值函数Ex2(t)与时间无与时间无关，由式关，由式1.2.24可知可知即平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或即平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或Rx(0)。NoImageNoImageNoImagep.47

34、12/30/13波形、频谱与随机信号分析 (4 (4维纳维纳- -辛钦辛钦Wiener-KhintchineWiener-Khintchine公式公式 谱密度的谱密度的一个重要性质表如今它与相关函数的关系上。详细地说，对一个重要性质表如今它与相关函数的关系上。详细地说，对于平稳随机数据，这两者可由傅立叶变换联络起来，即于平稳随机数据，这两者可由傅立叶变换联络起来，即 1.2.261.2.261.2.271.2.27 证明证明 思索式思索式1.2.251.2.25，将，将x(,T )x(,T )中的平方项写中的平方项写成二成二重积分，得到重积分，得到 NoImageNoImageNoImage1

35、2/30/13波形、频谱与随机信号分析根据相关函数的定义，根据相关函数的定义，Ex(t1) x*(t2)=Rx(t1 t2)。故有。故有 令令 t1-t2=， t1= t，并将它们代入上式进展变量置换，并将它们代入上式进展变量置换，那么那么在图在图1-3的阴影区域，有的阴影区域，有Rx()=常数。容易看出，该区域的常数。容易看出，该区域的面积等于面积等于(2T-|)d，而，而的变化范围为的变化范围为-2T, 2T。因。因此此于是，由式于是，由式1.2.25，可得，可得显然，上式成立的条件是显然，上式成立的条件是 TTttTTxxttettRT21)(j21dd)(T21),(21NoImage

36、 de)(de)()2|(1lim)(j22jxTTxTxRRT12/30/13波形、频谱与随机信号分析对所思索的平稳过程，这个条件必需加以检验, 证毕。 d|)(|xR图图1-3 x()1-3 x()的二重积分表示图的二重积分表示图02T-|t2 t1 t1 t2=+dt1 t2=ddT-T-TT12/30/13波形、频谱与随机信号分析在式在式1.2.27中，令中，令=0，那么有，那么有 因此，对于一切的因此，对于一切的，有，有x() 0。 假设随机变量假设随机变量 x(t)是实的，那么是实的，那么Rx()是实的偶函数，因是实的偶函数，因此此x()也是偶函数，即也是偶函数，即x()= x(-

37、)。在这种情况下，基。在这种情况下，基本关系式本关系式1.2.26和和1.2.27变成变成 1.2.281.2.29 按以上定义的谱密度按以上定义的谱密度x()对对的正负值都是有定义的正负值都是有定义的，故称为的，故称为“双边谱密度。双边谱密度。0d)(21(0)2 xxxRNoImaged)cos()(21)(xxR12/30/13波形、频谱与随机信号分析 为了顺应实践丈量，思索定义在为了顺应实践丈量，思索定义在 0， 上的平稳过程上的平稳过程 x(t) ，定义，定义“单边谱密度如下：单边谱密度如下： 1.2.30在此，在此，XT() 是是 x(t) 的单边傅立叶变换。的单边傅立叶变换。 功

38、率谱密度功率谱密度x()是在频域上描画随机过程是在频域上描画随机过程x(t)的统计的统计规律的最重要数字特征，它的物理意义表示随机变量规律的最重要数字特征，它的物理意义表示随机变量x(t)的的平平均功率在频域上的分布。均功率在频域上的分布。 5平稳过程的互谱密度平稳过程的互谱密度 互谱密度函数是在频域上描互谱密度函数是在频域上描述两个随机过程之间的相关性的。在实践运用中，经常利用述两个随机过程之间的相关性的。在实践运用中，经常利用测控系统输入输出的互谱密度来确定系统的传送特性。测控系统输入输出的互谱密度来确定系统的传送特性。NoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析思索两个平稳数据

39、思索两个平稳数据x(t) 和和y(t)，它们的互谱密度定义为，它们的互谱密度定义为 1.2.31式中，式中，XT()和和YT()分别是分别是 xT(t) 和和 yT(t) 的傅立叶变换。的傅立叶变换。容容易证明，相互关函数与互谱密度是一傅立叶变换对，即易证明，相互关函数与互谱密度是一傅立叶变换对，即1.2.321.2.33令令= 0，就有，就有 假设假设x(t)是经过一个双端网络的电压，是经过一个双端网络的电压，y(t)是产生的输入是产生的输入电电流，那么流，那么Rxy(0)就等于保送到该网络的功率期望值。就等于保送到该网络的功率期望值。NoImageNoImageNoImage12/30/1

40、3波形、频谱与随机信号分析假设假设 x(t) 和和 y(t) 正交，那么有正交，那么有 1.2.34这时就有这时就有1.2.35 例例1-1 假设随机过程假设随机过程x(t)的均值为零，且功率谱密度的均值为零，且功率谱密度等于正常数，即等于正常数，即那么称此过程为白噪声过程，它的功率或能量与频率无那么称此过程为白噪声过程，它的功率或能量与频率无关，具有与白色光一样的能量分布性质。反之，功率谱不等关，具有与白色光一样的能量分布性质。反之，功率谱不等于常数的噪声称为有色噪声。于常数的噪声称为有色噪声。NoImage)()()(),()()(yxyxyxyxRRR NoImage12/30/13波形

41、、频谱与随机信号分析 白噪声的相关函数为白噪声的相关函数为 图图1-4表示白噪声的相关函数和谱密度。可见，白噪声可表示白噪声的相关函数和谱密度。可见，白噪声可定义为均值为零，且相关函数为定义为均值为零，且相关函数为函数的随机过程函数的随机过程x(t)。这个过程在这个过程在t1 t2时，时，x(t1) 和和 x(t2) 是不相关的。是不相关的。NoImage图图1-4 1-4 白噪声白噪声: (a) : (a) 相关函数相关函数 (b) (b) 谱密度谱密度N0N0()x()Rx()0 00 0(a)(a)(b)(b)12/30/13波形、频谱与随机信号分析 白噪声是一种理想化的数学模型，它的平

42、均功率白噪声是一种理想化的数学模型，它的平均功率Rx(0)是是无限的。适用上，假设噪声的频谱在一个比实践系统频带宽无限的。适用上，假设噪声的频谱在一个比实践系统频带宽得多的范围内具有比较得多的范围内具有比较“平坦的曲线，就可近似地当成白噪平坦的曲线，就可近似地当成白噪声来处置。通常，把这种噪声称为限带白噪声，它的谱密度声来处置。通常，把这种噪声称为限带白噪声，它的谱密度满足满足 对上式求傅立叶逆变换，可得对上式求傅立叶逆变换，可得 例例1-2 二进制伪随机二进制伪随机Pseudo-noise序列或序列或 PN序列是序列是由由 1 和和 0 组成的序列，它的相关函数与白噪声很类似，它近组成的序列

43、，它的相关函数与白噪声很类似，它近似为一个脉冲，但有一个反复周期似为一个脉冲，但有一个反复周期T。NoImageNoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析 最常用的最常用的PN序列就是序列就是 M 序列，可用图序列，可用图1-5带有线性反响带有线性反响的的 M 阶线性移位存放器产生，其长度为阶线性移位存放器产生，其长度为N = 2M-1比特，周比特，周期期 T =15tM=4，其中，其中 t 为时钟脉冲的周期。在每个为时钟脉冲的周期。在每个周期周期 T 产生产生 2M-1 个个 1，2M-1 个个 0，具有良好的平衡性。，具有良好的平衡性。 将由将由0，1组成的二进制序列变换为一个

44、由组成的二进制序列变换为一个由-1，1组成组成的二进制序列。这个由的二进制序列。这个由-1，1组成的等价序列组成的等价序列 cn 称之为称之为双双极性序列。极性序列。图图1-5 1-5 用于产生伪随机序列的用于产生伪随机序列的4 4阶移位存放器阶移位存放器时钟时钟移位脉冲移位脉冲t输出伪随机码输出伪随机码0，1，0，0，0 1T20 1T30 1T40 1T112/30/13波形、频谱与随机信号分析周期周期T=Nt，幅度，幅度A= 1的的M序列的自相关函数可用下式序列的自相关函数可用下式表示：表示： 由于序列由于序列cn是周期性函数，故其自相关函数是周期性函数，故其自相关函数RM()也也具有周

45、期性，如图具有周期性，如图1-6所示。参数所示。参数 N 和和 t 决议了决议了M序列的特序列的特性。显然，当性。显然，当N ，RM() ()。由于。由于RM()是实的是实的偶函数，故可根据式偶函数，故可根据式1.2.29来计算它的谱密度，即来计算它的谱密度，即可见，可见，M序列的功率谱密度函数是离散谱，且有一个序列的功率谱密度函数是离散谱，且有一个sinc 形形包络曲线，如图包络曲线，如图1-7所示。所示。NoImageNoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析Lt(N-1)(N-1)t t1/N0ttRM()1图图1-6 M1-6 M序列的自相关函数序列的自相关函数2/t2/3

46、tOM()t3dB图图1-7 M1-7 M序列的功率谱密度函数序列的功率谱密度函数3dB3dB带宽带宽截止频率截止频率12/30/13波形、频谱与随机信号分析 6 6限时限带函数及采样定理限时限带函数及采样定理 思索实的周期函数或限思索实的周期函数或限时函数时函数 x(t) x(t)。假设时间函数。假设时间函数 x(t) x(t) 仅在一段有限时间仅在一段有限时间0 0，T T内内有非零值，那么称为限时函数。限时函数有非零值，那么称为限时函数。限时函数 x(t) x(t) 经周期延拓之经周期延拓之后，可化为周期函数，因此可表示为傅立叶级数：后，可化为周期函数，因此可表示为傅立叶级数：1.2.3

47、61.2.36其中其中 X(n) X(n) 称为称为 x(t) x(t) 在频率为在频率为n=2n / T n=2n / T 处的傅立叶系数，处的傅立叶系数，且满足且满足X(-n)= XX(-n)= X* *(n)(n)。假设。假设 X(n) X(n)仅仅在以下频率范围仅仅在以下频率范围内才有非零值，那么称内才有非零值，那么称 x(t) x(t) 为限时限带函数。这里，为限时限带函数。这里，W W表示频表示频带宽度谱宽，带宽度谱宽，TWTW表示不超越表示不超越TWTW的最大整数。的最大整数。tetxTnXenXtxTtntnnd)(1)(,)()(0jj NoImage12/30/13波形、频

48、谱与随机信号分析 为方便起见，下面用为方便起见，下面用TW替代替代TW。将式。将式1.2.36中中的第一式可写成的第一式可写成 1.2.37式中，式中，X(n)=a(n)+jb(n)，通常，通常X(0)=0。 式式1.2.37阐明：完好地描画一个继续时间为阐明：完好地描画一个继续时间为T，谱宽，谱宽为为W的限时限带实值函数，需求也仅需求的限时限带实值函数，需求也仅需求2TW个实数个实数a(n)和和b(n) 或或TW个复数个复数X(n)。这个结论实践上是采样定理的另一。这个结论实践上是采样定理的另一种表达方式。在工程上，采样频率普通取为信号上限频率的种表达方式。在工程上，采样频率普通取为信号上限

49、频率的3 5倍。倍。NoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析 7 7周期函数的帕塞瓦尔公式周期函数的帕塞瓦尔公式 周期函数或限时限带函周期函数或限时限带函数的帕塞瓦尔公式可表示为数的帕塞瓦尔公式可表示为1.2.381.2.38 证明证明 由式由式1.2.361.2.36，并利用零均值条件、实函数傅，并利用零均值条件、实函数傅立立叶变换的共轭对称性和三角函数的正交性，可得叶变换的共轭对称性和三角函数的正交性，可得 式中，式中，ReRe表示取实部。假设表示取实部。假设x(t)x(t)是在是在t-Tt-T，t t内被观内被观测，测，那么式那么式1.2.241.2.24中的积分区间中的积

50、分区间0 0，T T可改为可改为t-Tt-T，t t。NoImageNoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析1.3 1.3 线性系统的时频分析线性系统的时频分析 假设备加于图假设备加于图1-8所示系统所示系统的输入信号为的输入信号为 x(t)，那么系统产生，那么系统产生的输出的输出 y(t) 为为1.3.1)线性系统线性系统物理可实现物理可实现稳定的稳定的频率呼应函数频率呼应函数 H(j)H(j)脉冲呼应脉冲呼应函数函数 h(t)傅立叶变换傅立叶变换传送函数传送函数 H(s) H(s)s = + j |=0拉普拉斯变换拉普拉斯变换y(t)x(t)h(t)H(j)图图1-8 1-8

51、 线性系统的输入线性系统的输入- -输出输出NoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析 对于物理可实现的因果系统，其脉冲呼应函数对于物理可实现的因果系统，其脉冲呼应函数 h(t) 是实是实数，且对于负的数，且对于负的 t 取零值。但在下面的讨论中不一定要作这取零值。但在下面的讨论中不一定要作这样的假设。样的假设。1.3.1 线性系统的相关分析线性系统的相关分析 相关分析和最小二乘法是系统分析和参数估计最常用的相关分析和最小二乘法是系统分析和参数估计最常用的两种方法。这此仅引见相关分析法。两种方法。这此仅引见相关分析法。 1均值均值 假设线性系统的输入信号假设线性系统的输入信号x(t

52、)是一平稳过是一平稳过程，对式程，对式1. 3.1的两边取均值，那么有的两边取均值，那么有显然，显然，y(t)的期望值是常数，由下式给出的期望值是常数，由下式给出 d)()(E)(Ehtxty12/30/13波形、频谱与随机信号分析 1.3.2)1.3.2) 2 2相关分析相关分析 在式在式1.3.11.3.1的两边同乘以的两边同乘以 x x* *(t -)(t -)，得到得到1.3.3)1.3.3)由于由于所以，在式所以，在式1.3.31.3.3两边取期望值，两边取期望值，就有就有 xxymHhmm(0)d)(NoImage)()()(E* xRtxtxNoImage12/30/13波形、频

53、谱与随机信号分析 上式右边积分显然与上式右边积分显然与 t 无关，且等于无关，且等于 Rx() 与与 h()的卷的卷积。因此上式左边也与积。因此上式左边也与 t 无关。于是，根据相互关的定义，无关。于是，根据相互关的定义，得到得到1.3.4将式将式1.3.1两边的复共轭乘以两边的复共轭乘以 y(t+)，有，有再取期望值，又有再取期望值，又有1.3.5上式是令上式是令 = - 的结果。同样的推理，可类似地证明的结果。同样的推理，可类似地证明1.3.6)(*)()(hRRxyx NoImage)(*)(d)()()(* hRhRRyxyxyNoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析合并

54、以上二式，可得合并以上二式，可得 1.3.7 3功率谱功率谱 利用卷积定理，式利用卷积定理，式1.3.6可写成可写成 1.3.8其中其中H*(j) 是是 h*(-) 的傅立叶变换。于是有的傅立叶变换。于是有1.3.9上述关系可用图上述关系可用图1-9来表示。来表示。 4传送函数传送函数 H (j)在平稳输入信号在平稳输入信号 x(t) 作用下，产作用下，产生的输出生的输出 y(t)。当用功率谱表示时，由式。当用功率谱表示时，由式1.3.9可得到增可得到增益因子的估计：益因子的估计：NoImage)(j)()(),(j)()(*HHxyyxxy 2| )(j| )()()(j*)()(HjHHx

55、xy 12/30/13波形、频谱与随机信号分析1.3.10上式只含有系统的幅频特性。上式只含有系统的幅频特性。 为了求出系统的相频特性为了求出系统的相频特性()，还需求互谱分析。由还需求互谱分析。由1.3.8的第一式，可知的第一式，可知()可用可用下式估计：下式估计：1.3.11图图1-9 1-9 平稳过程的线性滤波平稳过程的线性滤波x()|H(j)|2x() H*(j)Ry()x()Rx()h*(-)H*(j)h()H(j)Rxy()NoImageNoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析 此外，还定义两个平稳随机过程此外，还定义两个平稳随机过程x(t)和和y(t)的相关函数的相

56、关函数(Coherence function)为为1.3.12 它表示两个平稳过程在频域上的它表示两个平稳过程在频域上的“相互关程度，故也称相互关程度，故也称为谱相关函数。显然，为谱相关函数。显然，0 xy2() 1。 假设在某些频率点上假设在某些频率点上xy2() =1，那么表示，那么表示 x(t) 和和 y(t)是完全相关的；是完全相关的； 假设在某些频率点上假设在某些频率点上xy2() = 0，那么表示，那么表示 x(t) 和和 y(t)在这些频率点上不相关不凝聚，这也是不相关的另一种在这些频率点上不相关不凝聚，这也是不相关的另一种提法。提法。 假设假设 x(t) 和和 y(t) 是统计

57、独立，那么恒有是统计独立，那么恒有xy2() = 0。NoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析 在上述相关函数计算中，谱密度和互谱密度的估计必需在上述相关函数计算中，谱密度和互谱密度的估计必需是经过总体平均的，否那么，不论两个过程能否相关，直接计是经过总体平均的，否那么，不论两个过程能否相关，直接计算谱密度和互谱密度所得到的相关函数值将恒等于算谱密度和互谱密度所得到的相关函数值将恒等于1。 在作系统的相关分析时，输入信号在作系统的相关分析时，输入信号 x(t) 的谱宽应大于线的谱宽应大于线性系统性系统 H(j) 的谱宽，这样才干把线性系统的谱宽，这样才干把线性系统 H(j) 的一

58、切的一切振型鼓励出来，使分析结果能反映系统的动态特性。振型鼓励出来，使分析结果能反映系统的动态特性。 5系统简化系统简化 思索图思索图2-10中的两个系统。设中的两个系统。设 x1(t)，x2(t) 分别是它们的输入，而分别是它们的输入，而 y1(t)，y2(t) 是对应的输出，即是对应的输出，即 1.3.13y1(t)x1(t)h1(t)H1(j)y2(t)x2(t)h2(t)H2(j)图图2-10 2-10 两个单输入两个单输入- -输出系统输出系统NoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析将第一式乘以将第一式乘以 y2*(t -)，第二式的复共轭乘以，第二式的复共轭乘以 x1

59、(t +),那么那么有有对这两式取期望值，得到对这两式取期望值，得到1.3.14上式的傅立叶变换为上式的傅立叶变换为NoImageNoImageNoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析故有故有 1.3.15 这相当于两个系统这相当于两个系统h2*(-)和和h1()串联成一个系统，并串联成一个系统，并用用Rx1x2()作为系统的输入。作为系统的输入。 6分别系统分别系统 假设两个系统的幅频特性或频带不假设两个系统的幅频特性或频带不重重叠，如图叠，如图1-10所示，那么有所示，那么有那么，式那么，式1.3.15阐明，对于阐明，对于恣意的恣意的x1(t) 和和x2(t)，经过分别系，经

60、过分别系统得到的输出统得到的输出 y1(t) 和和 y2(t) 是正是正交的。交的。 )(j)(j)()(*212121HHSSxxyy 0|H1(j)|H2(j)|图图2-10 2-10 分别系统分别系统NoImage12/30/13波形、频谱与随机信号分析 利用该结论，只须把单个过程利用该结论，只须把单个过程 x(t)作为两个分别系统作为两个分别系统的公共输入，就可以产生两个正交过程的公共输入，就可以产生两个正交过程 y1(t) 和和 y2(t) 。假设。假设Ex(t)=0, 那么两个输出的期望值也是零，且不相关的。那么两个输出的期望值也是零，且不相关的。1.3.2 线性系统的随机鼓励线性