高中数学椭圆与双曲线经典性质五十条

1、优秀学习资料欢迎下载椭圆与双曲线的对偶性质- （必背的经典结论）高三数学备课组椭圆1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1 F2 在点 P 处的 外角 .2.PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角， 则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .5.x2y2x0 xy0 y1.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆b21上，则过 P0 的椭圆的切线方程是b2a2a26.x2y21外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、 P2，则切若

2、 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 22ab点弦 P1P2 的直线方程是x0 xy0 y1.a2b27.椭圆x2y21(a b 0) 的左右焦点分别为F1 ， F 2，点 P 为椭圆上任意一点22abF1 PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S FPF2b2 tan .128.x2y21（ a b 0）的焦半径公式：椭圆 a2b2| MF1 | aex0 , | MF2 |a ex0 ( F1 (c,0), F2 (c,0)M (x0 , y0 ) ).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于 M 、N 两

3、点，则 MF NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、 Q, A 1、 A 2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和A2Q 交于点 M ， A 2P 和 A 1Q 交于点 N，则 MF NF.11.AB是 椭圆 x2y21 的不 平 行 于 对 称轴 的 弦 ， M (x0 , y0 ) 为 AB的中点，则a2b2kOMkABb2a2 ，即KABb2 x0。a2 y012.若 P0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆x2y21内，则被Po所平分的中点弦的方程是a2b2x02y0 2x0 x y0 ya2b2a2b2 .优秀学习资料欢迎下载13. 若 P0 ( x0x2y21内，则过Po

4、 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是, y0 ) 在 椭 圆2b2ax2y2x0 xy0 ya2b2a2b2 .双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角 .2.PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角， 则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相交 .4. 以焦点半径1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切： P 在右支；外切：PFP 在左支）5.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（ a 0,b 0）上，则过 P0 的双曲线的切线方程a2b2是

5、x0 xy0 y1.a2b2x2y26.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线1（ a 0,b 0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切a2b2x0 xy0 y1.线切点为 P1、 P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是x2y2a2b27.双曲线1（ a 0,b o）的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为双曲线上任意a2b2一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为S F1 PF2 b2co t .x2y228.双曲线1（ a 0,b o）的焦半径公式： ( F1 (c,0), F2 (c,0)a2b2当 M (x0 , y0 ) 在右支上时，|MF1|ex0a , | MF2 |ex0a

6、 .当 M (x0 , y0 ) 在左支上时，|MF1|ex0a , | MF 2 |ex0a9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则 MF NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、 Q, A1、 A 2 为双曲线实轴上的顶点， A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11.x2y21 （a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦， M ( x0 , y0 ) 为 ABAB 是双曲线b2a2b 2 x0 ，即 K ABb2 x0

7、 。的中点，则 K OMK ABa 2 y0a 2 y0优秀学习资料欢迎下载12.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（ a0,b 0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方a22b程是x0 x y0 y x02y02a2b2a2b2 .13.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（ a0,b 0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程a2b2x2y2是x0 xy0 ya2b2a2b2 .椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）高三数学备课组椭圆1.椭圆x2y21（ a b o）的两个顶点为 A1 (a,0) , A2 ( a,0)，与 y 轴平行的直a2b2x2y

8、2线交椭圆于P1、P2 时 A 1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方程是1.a2b22.过椭圆x2y21 (a 0,b 0)上任一点 A(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线a2b2b2 x0 （常数） .交椭圆于 B,C 两点，则直线BC 有定向且 kBCa2 y03.若 P为椭圆x2y21 （ a b 0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,a2b2PF1 F2,PF2 F1accot .，则atan2c24.设椭圆x2y21（ ab 0）的两个焦点为F1、 F2,P（异于长轴端点）为椭圆上a2b2任意一点，在PF1F2 中，记F1 PF2,PF1F2,F1F2 P，则有s

9、ince.sinsina5.若椭圆x2y21（ a b0）的左、右焦点分别为F1、 F2，左准线为L，则当 0a2b2 e2 1时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 .6.P 为椭圆x2y21（ ab 0）上任一点 ,F1,F2 为二焦点， A 为椭圆内一定点，a2b2优秀学习资料欢迎下载则 2a| AF2 | | PA | PF1 |2a| AF1 | ,当且仅当A, F2 , P 三点共线时，等号成立 .7.椭圆(x x0 ) 2( y y0 ) 21 与直线 AxByC0 有公共点的充要条件是a2b22a222( Ax0By0C )2AB

10、 b.8.已知椭圆x2y21 （ a b 0）， O 为坐标原点，P、 Q为椭圆上两动点，且a2b2OPOQ .（ 1）111122的最大值为4a2b222a2b2;（ 2）|OP| +|OQ|a22 ;|OP |OQ |b（ 3） S OPQ 的最小值是a2b22 .a2bx229.y1（ a b0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦过椭圆ba22|PF |eMN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|MN |.210.已知椭圆x2y21（ ab 0） ,A 、 B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平a2b2分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0), 则a2b2x0a2b2aa.1

11、1.设 P 点是椭圆 x2y 21（ a b 0）上异于长轴端点的任一点,F1、 F2 为其焦点a2b2记F1PF2，则 (1)| PF1 | PF2 |2b2.(2)SPFFb2 tan .1cos12212.设 A、B是椭圆x2y21（ a b 0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，a2b2PAB,PBA,BPA， c、 e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)| PA|2ab2 | cos|tantan12S PAB2a2 b2a2c22.(2)e .(3)2a2 cot .co sb13.已知椭圆x2y21（ a b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 Fa2b2的

12、直线与椭圆相交于A 、B 两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC 经过线段 EF的中点 .14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.优秀学习资料欢迎下载15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e( 离心率 ).（注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、 外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . ）17. 椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三

13、角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线1.x2y21 （ a 0,b 0）的两个顶点为 A1 (a,0) , A2 (a,0) ，与 y 轴双曲线b2a2平行的直线交双曲线于P1、 P2 时 A 1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方程是x2y21 .a2b22.x2y21（ a 0,b o）上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补过双曲线2b2ab2 x0 （常数） .的直线交双曲线于B,C 两点，则直线 BC 有定向且 kBCa2 y03.若 P 为双曲线x2y21（ a 0,b 0）右（或左）

14、支上除顶点外的任一点,F1,a2b2F 2 是焦点,PF1 F2,PF2 F1cat an co t（ 或， 则acac22cot ） .ct ana224.x2y21（ a 0,b 0）的两个焦点为F1、 F2,P（异于长轴端点）设双曲线2b2a为双曲线上任意一点，在PF1F2中 ， 记 F1PF2,PF1F2,F1F2 Psince.，则有sin)a(sin优秀学习资料欢迎下载x2y21（ a 0,b 0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L ，5. 若双曲线b2a2则当 1 e2 1时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 .6.P

15、 为双曲线 x2y21（ a 0,b 0）上任一点 ,F1 ,F2 为二焦点， A 为双曲线内a2b2一定点，则|AF2|2a|PA| PF1 | ,当且仅当A, F2, P 三点共线且 P 和A, F2 在 y 轴同侧时，等号成立 .7.双曲线x2y21（ a 0,b0）与直线AxByC0有公共点的充要条a2b2件是 A2 a2B 2b2C 2 .8.已知双曲线x2y21（ b a 0）， O 为坐标原点， P、 Q 为双曲线上两动a2b2点，且 OPOQ .（ 1）1111224a2b2|OP |22a22 ;（ 2）|OP| +|OQ|的最小值为b2a2 ;（3）S OPQ|OQ|b的最

16、小值是a2b2b2a2 .9.x2y21（ a 0,b 0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于过双曲线b2a2|PF |eM,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交.x 轴于 P，则2|MN |x2y21（ a 0,b 0） ,A 、 B 是双曲线上的两点，线段10. 已知双曲线2b2aa2b2a2x 轴相交于点P( x0 ,0)垂直平分线与, 则 x0a或 x0ax2y211. 设 P 点是双曲线 a221 （ a 0,b 0）上异于实轴端点的任一点b为其焦点记 F1PF2，则 (1) | PF1 | PF2 |2b2.(2) S PF1F21cosAB 的b2.,F1、 F22b cot.12. 设 A、B 是双曲线x2y21（ a 0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的a2b2PAB一点，,PBA,BPA，c、 e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有 (1) | PA |2ab 2 | cos|222.| a c co s|(2) tantan12S PAB2a2b2e .(3)b2a2 cot .优秀学习资料欢迎下载13.x2y21（ a 0,b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过双曲已知双曲线b2a2线右焦点 F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BC x轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点 .14.过