高中概率与统计试题

1、概率与统计一、选择题42 粒发芽的概率是162(福建理 5) 某一批花生种子， 如果每 1 粒发牙的概率为, 那么播下 4 粒种子恰有A.5625B.96C.192D.256625625625B(4, 4) ，22解：独立重复实验P( k2)241965C4556253 （福建文 5) 某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4 ，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是512B.1648D.96A.C.1251251251254211B(3,2448解：这是独立重复实验，服从二项分布5)，P(X 2)C3551254（广东理 3）某校共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如表1已知在全校学生中

2、随机抽取1 名，抽到二年级女生的概率是 0.19 现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（C ）A24B 18一年级二年级三年级C16D 12女生373xy380 人，那么三年级的男生377370z解：依题意我们知道二年级的女生有学生的人数应该是500 ，即总体中各个年级的人数比例为3 : 3 : 2 ，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为2166486（江西理 11 文 11）电子钟一天显示的时间是从00:00 到 23:59 的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23 的概率为A111D1B C180288360480解：一天显示的时

3、间总共有 2460 1440种, 和为 23总共有 4 种, 故所求概率为1 .3607（辽宁理 7 文 7） 4 张卡片上分别写有数字1,2,3,4, 从这 4 张卡片中随机抽取2 张 , 则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 (1123) A.B.C.D.3234解：要使取出的2 张卡片上的数字之和为奇数，则取出的2 张卡片上的数字必须一奇一偶，取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率C21 C2142PC32.638（山东文 9）从某项综合能力测试中抽取100 人的成绩，统计如表，则这100 人成绩的标准差为（B）A 3B2 10C 3D 8分数5432155解：人数2010

4、30301013,210x)( x2x)( xnx) 02x100S( x1n1 202210 123012 10 221608 ,S210 .选 B.100100559（山东理 7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3， ，18的 18 名火炬手若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3 为公差的等差数列的概率为（）A 1B 1C 1D：古典概型问题，基本事件总数为C18317163 。能组成以 3 为公差的等差数列有（1，4， 7）（ 2， 5， 8），（ 12， 15， 18）共 12 组，因此概率 P171231 .166810（山东理 8）右图

5、是根据山东统计年鉴2007中的资料作成的 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字291158从图中可以得到1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（）A304.6B 303.6C302.6D 301.6302631024799522610121417解： x 30010303.611（陕西文 3）某林场有树苗 30000棵，其中松树苗4000 棵为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本，则样本中松树

6、苗的数量为（C）A 30B25C 20D15解：设样本中松树苗的数量为x ，则150xx 2030000400013( 重庆文 5) 某交高三年级有男生500 人，女生 400 人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25 人，从女生中任意抽取20 人进行调查 . 这种抽样方法是(A) 简单随机抽样法(B)抽签法(C)随机数表法(D) 分层抽样法解：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样。故选D。14( 重庆文9) 从编号为 1,2, ,10的 10个大小相同的球中任取4 个，则所取4 个球的最大号码是6 的概率为(A) 1(B)1(C) 2(D) 384215

7、5解：古典概型， PC531C104，故选 B。2115（四川延考理 8 文 8）在一次读书活动中，一同学从4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选 3 本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（A） 1（B） 1（C） 2（D） 45235解：因文艺书只有2本，所以选 3 本必有科技书。问题等价于选3 本书有文艺书的概率：P(A)1P( A)1 C43144C63205二、填空题16（广东文11） . 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20 位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为45,55 ， 55,65 , 65,75 ,75,85 ， 85,95 由此得到

8、频率分布直方图如图3，则这 20 名工人中一天生产该产品数量在55,75的人数是.解： 20(0.065 10)13 , 故答案为 13.17（湖北文11）一个公司共有1 000 名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为 50 的样本，已知某部门有 200 名员工，那么从该部门抽取的工人数是.解：由分层抽样方法可知从该部门抽取的工人数满足1000200 , x 1050x18（湖北文14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80 ，乙闹钟准时响的概率是0.90 ，则两个闹钟至少有一准时响的概率是.解：

9、两个闹钟都不准时响的概率是(10.8)(10.9)0.02，所以至少有一准时响的概率是0.9819（海南宁夏理 16 文 16）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25 根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：甲品种： 271273280285285287292294295301303303307308310314319323325325328331334337352乙品种： 284292295304306307312313315315316318318320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图甲乙3127755028454229258733

10、1304679403123556888553320224797413313673432356根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：；解： 1乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度） 2甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定） 甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）3甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm4乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在

11、中间（均值附近）甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（ 352）外，也大致对称，其分布较均匀20（江苏 2）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1， 2，3，4， 5， 6 个点的正方体玩具） ，先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是解：基本事件共 6×6 个，点数和为4 的有 (1,3) 、 (2,2)、(3,1)31共3个，故 P612621（江苏 6）在平面直角坐标系xoy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是解：如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内

12、部（含边界），12区域 E 表示单位圆及其内部，因此P441622（湖南文12）从某地区15000 位老人中随机抽取500 人，其生活能否自理的情况如下表所示：性人别数男女生活能否自理能178278不能2321则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_人。解：由上表得 (2321)1500023060.50023（上海理 7）在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0) 、B(2,0)、C(1,1) 、D(0,2)、E(2,2) 、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示） .解：已知A、C、E、F 共线； B、C、D 共线；C6 ；六个无共线的点生成三角形总数为：3

13、可构成三角形的个数为：C63C43C3315，所以所求概率为：C63 C43 C333 ；C63424上海文 8在平面直角坐标系中，从五个点：A(0，0)， B(2，0)， C (11)， D (0，2)， E(2，2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示） 解： 由已知得 A、C、E三点共线 , B、C、D 三点共线 ,所以五点中任选三点能构成三角形的概率为C535.C332425（上海文 10）已知总体的各个体的值由小到大依次为2， 3， 3，7，a， b，12，13.7 ，18.3 ，20 ，且总体的中位数为10.5 若要使该总体的方差最小，则a、b 的取值分别解：中位

14、数为 10.5ab21, 根据均值不等式知，只需 ab 10.5 时，总体方差最小 .26（天津文11）一个单位共有职工200 人，其中不超过45 岁的有 120 人，超过45 岁的有 80 人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工 _10_人解：依题意知抽取超过45 岁的职工为 258010200三、解答题27( 安徽理 19) 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望 E3，标准差为6 。2（）求 n,p的

15、值并写出的分布列；（）若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率解：(1) 由 Enp3,()2np(1p)3 , 得 1 p1, 从而 n 6, p1，222的分布列为0123456P161520156164646464646464(2) 记”需要补种沙柳”为事件A,则P(A)P(3),得16152021P( A)64,32或 P(A)1P(3)115 6121643228（安徽文 18）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10 张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.（）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测

16、试者从这10 张卡片总随机抽取1 张，测试后放回，余下2 位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。（）若某位被测试者从10 张卡片中一次随机抽取3 张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。解：（ 1）每次测试中，被测试者从10 张卡片中随机抽取1 张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概率为3 ，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为10333271010101000（2）设 Ai (i1,2,3)表示所抽取的三张卡片中，恰有 i 张卡片带有后鼻音 “ g”的事件， 且其相应的概率为P( Ai

17、 ),则C71C327,C331P(A2)40P( A3)120C 3C31010因而所求概率为7111P( A2 A3 ) P( A2) P( A3)120604029（北京理 17）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A， B， C， D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求的分布列解：（）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E ，那么 P(E )A331，AAC52 A4440即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是140（）记甲、乙两人

18、同时参加同一岗位服务为事件E，那么 P(E)A441，C52 A4410所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)1 P(E)910（）随机变量可能取的值为1，2事件“2”是指有两人同时参加 A 岗位服务，则 P(2)C52 A331C53 A444所以 P(1)1 P(2)3， 的分布列是41331P4430. （北京文 18）（本小题共 13 分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A， B， C， D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率解：（）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件EA ，那

19、么 P( EA )A331C52 A44，40即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是1 40（）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么 P(E)A441，C52 A44109所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E) 1 P(E)1031（福建理 20）（本小题满分12 分）某项考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为 2 ，科目 B 每次考试成绩合格的概率均为1.假设各次考试成绩合格与否均互不影响。32（

20、）求他不需要补考就可获得证书的概率；（）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望 E .解：设“科目 A 第一次考试合格”为事件A ，“科目 A补考合格”为事件A ；“科目B 第一次考试合格”为事件B ，121“科目 B 补考合格”为事件 B2( ) 不需要补考就获得证书的事件为A1 B1 , 注意到 A1 与 B1 相互独立，211则 P( A1 B1) P( A1) P(B1)23.3答：该考生不需要补考就获得证书的概率为1 .3( ) 由已知得， 2，3， 4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得P(2)P( A1B1)P(A1 A2 )2111

21、114 .3233399P(3) P( A1 B1 B2) P(A1 B1 B2 ) P(A1 A2 B2)2112111211114 ,3223223326693P(4) P( A1 A2 B2 B2) P(A1 A2 B1 B2)12111211111 ,3322332218189故 E2434418，答：该考生参加考试次数的数学期望为8 .9993332（福建文（ 18）（本小题满分12 分）三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为1 , 1 , 1 , 且他们是否破译出密码互不影响。543( ) 求恰有二人破译出密码的概率；( ) “密码被破译”与“密码未被破译”的概

22、率哪个大？说明理由.解：记“第i 个人破译出密码”为事件Ai (i1,2,3) ，依题意有P(A1)1,P(A2)1 ,P(A3)1 , 且 A1, A2, A3相互独立 .54.3（）设“恰好二人破译出密码”为事件B ，则有B A1A2 A3A1 A2A3A1 A2 A3且A1 A2 A3, A1 A2 A3, A1 A2 A3 彼此互斥于是P(B)P(A1A2 A3 ) P(A1 A2 A3)P(A1A2 A3 ) 1 121314113.543543543203答：恰好二人破译出密码的概率为.20（）设“密码被破译”为事件C ，“密码未被破译”为事件D .D A1 A2 A3 ，且 A1

23、 ， A2 ， A3 互相独立，则有P(D) P( A1) P(A2) P( A3) 4322.5435而 P(C) 1 P(D)3，故 P(C) P(D ) .5答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.33（广东理 17（本小题满分 13 分）随机抽取某厂的某种产品200 件，经质检，其中有一等品126 件、二等品50 件、三等品20 件、次品4 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、 2 万元、 1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元设 1 件产品的利润（单位：万元）为 （1）求的分布列；（2）求 1 件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个

24、等级的产品，但次品率降为1%70%件产品的平，一等品率提高为如果此时要求 1均利润不小于 4.73万元，则三等品率最多是多少？6，2，1，-2 ； P(6)1260.63 ， P(2)50解：的所有可能取值有2000.25200P(1)200.1， P(2)42000.02200故 的分布列为：621-2P0.630.250.10.02（2） E6 0.63 20.2510.1( 2)0.024.34（3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1 件产品的平均利润为E( x)60.72 (10.70.01x)( 2)0.014.76 x(0 x 0.29)依题意， E( x)4.73 ，即4.7

25、6x4.73 ，解得 x0.03 所以三等品率最多为3%34（广东文 19）（本小题满分13 分）某初级中学共有学生2000 名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.（1） 求 x 的值；（2） 现用分层抽样的方法在全校抽取48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3） 已知 y245, z245, 求初三年级中女生比男生多的概率 .x0.19x 380解：（ 1）2000（ 2）初三年级人数为 yz 2000 373 377380370） 500 ，现用分层抽样的方法在全校抽取48

26、名学生，应在初三年级抽取的人数为：48500 12 名2000（ 3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y ，z）；由（ 2）知 y z 500 ，且y, zN , 基本事件空间包含的基本事件有：（ 245 ，255）、（246 ，254）、（247，253 ）、（ 255 ，245）共 11 个事件 A 包含的基本事件有：（251 ，249）、（252 ，248）、（253，247 ）、 (254,246)、(255,245)共 5 个P( A)51135（海南宁夏理19）（本小题满分12 分）1 和 X2 根据市场分析，1 和2 的分布列分别为A， B 两个投资项

27、目的利润率分别为随机变量 XXXX 1510X 22812P0.80.2P0.20.50.3（）在 A， B 两个项目上各投资 100 万元， Y 和Y分别表示投资项目A 和 B 所获得的利润，求方差 DY，DY；1212（）将 x(0 x 100)万元投资 A项目， 100x 万元投资 B 项目， f ( x) 表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目 所得 利 润的方差的和 求 f(x) 的最小值，并指出 x为何值时，f (x) 取到最小值（注：D (aXb)a2 DX ）解：（）由题设可知Y1 和 Y2 的分布列分别为Y 1510P0.80.2Y 22812P0.20.50.3E

28、Y150.8100.26，DY1(56)20.8(106)20.24 ，EY220.280.5120.38 ，DY2(28)20.2(88)20.5(128)20.312 （） f ( x)Dx Y1D100x Y2100100x2100x24DYDYx23(100x) 21001100210024(4 x221002600x3100)，60075 时， f ( x)3为最小值当 x4236（海南宁夏文 19）（本小题满分12 分）为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况，调查部门对某校6 名学生进行问卷调查， 6 人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6 名学生的得分看

29、成一个总体。 （ 1）求该总体的平均数； （2）用简单随机抽样方法从这6 名学生中抽取2 名，他们的得分组成一个样本。 求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。156789107.5解：（）总体平均数为6（）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5 ”从总体中抽取个个体全部可能的基本结果有：(5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7),(6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10),共个基本结果。事件包含的基本结果有： (5,9), (5

30、,10), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9),共有个基本结果；所以所求的概率为 PA71537（湖北理 17）（本小题满分12 分）袋中有 20个大小相同的球，其中记上0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个（ n =1,2,3,4 ）. 现从袋中任取一球 .表示所取球的标号 .（）求的分布列，期望和方差； （）若ab ,E1, D11 , 试求 a,b 的值 .解：（）的分布列为：0123411131P22010205 E0 11121334 11.5.22010205(01.5) 21(11.5)21(21.5) 21(31.5)23(41.5)2

31、12.75. （）由22010205Da2 D ，得 a2× 2.75 11，即 a2.又 EaEb, 所以当 a=2 时，由 1 2×1.5+ b, 得 b=-2; 当 a=-2 时，由 1-2 ×1.5+ b，得 b=4.a2,a2,或b即为所求 .b2438（湖南理 16）（本小题满分12 分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约 . 乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约. 设每人面试合格的概率都是1，且2面试是否合格互不影响 . 求：（）至少有 1人面试合格的概率 ;（）签约人数的分布列

32、和数学期望 .解:用 A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格. 由题意知 A，B， C相互独立，且（）（）（）1.P APBP C2（）至少有 1人面试合格的概率是 1 P( ABC )1 P( A) P(B) P(C)1 (1)37 .28（）的可能取值为 0，1，2，3.P(0)P( ABC)P( ABC)P( ABC) P(A)P(B)P(C)P( A)P(B)P(C)P( A)P(B)P(C) ( 1) 3(1)2(1)33.2228P(1)P(ABC)P( ABC)P( ABC) P( A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)= (1 )3(1)3(1)33 .2228P(2)P( ABC)P( A) P( B)P(C)1 .8P(3)P( ABC )P(A) P( B)P(C)1 .8所以，的分布列是01233311P8888的期望 E0 3132 13 11.888839. （湖南文 16）（本小题满分 12 分）甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示