高中数学经典错因正解汇总第十一章数系的扩大与双数

1、第十一章数系的扩充与复数§ 11.1数系的扩充与复数的概念一、知识导学1.复数：形如 abi 的数（ a, b R ），复数通常有小写字母z 表示，即 z a bi , 其中 a 叫做复数的实部、b 叫做复数的虚部，i 称做虚数单位 .2.分类：复数 abi ( a,b R ) 中，当 b 0 时，就是实数；除了实数以外的数，即当b0 时， a bi 叫做虚数；当 a0 ,b0 时，叫做纯虚数 .3.复数集：全体复数所构成的集合.4.复 数 相 等 ： 如 果 两 个 复 数 abi 与 cdi 的 实 部 与 虚 部 分 别 相 等 ， 记 作 ：abi = c di . 在复平面

2、内， x 轴叫做实5.复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面轴， y轴叫做虚轴 .6.复数的模：设 oz = abi , 则向量 oz 的长度叫做复数 abi 的模（或绝对值） ，记作abi .(1)za bia 2b2 ；(2) z1 z2 = z2 z1 ；(3)z1z1；z 2z27共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数 .二、疑难知识1两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2 zR, 则 z20，而 zC，则 z20 不一定成立，如 z i 时 i 21 0 ；3 z2z 2 ，而 z2z2 不一定成立；R, zC 则

3、 z4若 z1 , z2 , z3C , ( z1z2 ) 2( z2z3 ) 20 不一定能推出 z1z2z3 ；5若 z1 , z2 R ，则 z1z2 =( z1z2 ) 24z1 z2 ，但若 z1 , z2C, 则上式不一定成立 .三、经典例题 例 1 两个共扼复数的差是（）A. 实数B.纯虚数C . 零D . 零或纯虚数错解 : 当得到 zz2bi 时就错误的选B，忽略了b 可以为零的条件.正解： 设互为共扼的两复数分别为zabi 及 zabi ( a,bR) 则 zz2bi或zz2bi当 b0 时， zz ， zz 为纯虚数当 b0 时， zz0 ， zz0 ，因此应选D.注：

4、要认真审题，看清题设条件，结论.学会全面辩证的思考问题，准确记忆有关概念性质. 例 2 判断下列命题是否正确(1)若 zC , 则 z20(2)若 z1, z2C , 且 z1z20 ，则 z1z2(3)若 ab ，则 aibi错解： (1) 认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1) 是正确的(2) 认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来 . 认为两复数差为实数则这两个复数也为实数. 而认为命题 (2) 是正确的 .(3) 把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件 .正解： (1) 错，反例设 z i 则 z2i 210(2)

5、错，反例设 z1 2i ， z21 i ，满足 z1z2 1 0 ，但 z1 z2不能比较大小 .(3)错， a b ，a, bR ，故 ai ， bi 都是虚数，不能比较大小 .例 3实数 a 分别取什么值时，复数za 2a6(a22a15)i 是 (1)实数；a3(2) 虚数 ;(3) 纯虚数 .解：实部 a2a6( a 2)(a 3) ，虚部a22 15(a3)(a5).a3a 3a（1）当时， z 是实数；（2）当，且时， z 是虚数；（3） 当或时是纯虚数 例 4 设 z1( m22m3)(m 24m3)i (m R), z2 5 3i ，当 m 取何值时，(1) z1z2 ;(2)

6、z10 .分析 ：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法， 这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数的方程，求出的值解： (1) 由可得：m22m354 ，m24m3解之得 m3即：当时(2) 当可得：或，即时 z10 .例5z1 , z2 是两个不为零的复数， 它们在复平面上分别对应点P和 Q，且 4z122z1 z2 z220 ，证明 OPQ为直角三角形（ O是坐标原点），并求两锐角的度数分析本题起步的关键在于对条件4z122 z1 z2 z220 的处理等式左边是关于z1 ,z2 的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方解：由 4

7、z12 2z1 z2z220 （，不为零），得z12 2 3i z21 3i z284z11i s i nz2c o s233即向量 OP 与向量 OQ 的夹角为，3在图中，POQ，又 | z1 |1 | z2 | ，设 | z1 | r,| z2| 2r ，32在 OPQ中，由余弦定理OPQ为直角三角形，四、典型习题1.设复数 z 满足关系 z| z |2i ，那么z 等于（）ABCD2.复数系方程 (1 i )x 2(1i ) x2 6i0 有实数根，则这个实数是_.3.实数 m取何值时， 复数是 (1) 纯虚数； (2) 在复平面上的对应点位于第二象限4.已知 f ( z)1zz 且 f

8、 ( z)103i, 求复数 z5.设复数 z 满足 z5且 (34i ) z 在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，2z m5 2(mR), 求 z和 m 的值§11.2复数的运算一、知识导学1. 复数加、减法的几何意义(1) 加法的几何意义复数 z1z2是以 oz1 、 oz2 为两邻边的平行四边形对角线oz 所对应的复数 .(2) 复数减法的几何意义复数 z1z2 是连接向量 OZ 1 、 OZ 2 的终点，并指向被减数的向量z1z2 所对应的复数 .2. 重要结论（1）对复数 z 、 z1 、 z2 和自然数m、 n，有zmznzm n ， (zm ) nz mn

9、 ， ( z1z2 ) nz1 nz2 n(2)i 1i ， i21 ， i 3i ， i 41；i 4 n 11 ， i 4n 21 ， i 4n 3i ， i 4n1 .(3)(1i ) 22i ， 1ii ， 1ii .1i1i(4)设13i2，2， 120 ，3n3n，2nn 1n 20二、疑难知识1. 对于 z z22zz ，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.2. 在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论 .当 z C 时，不总是成立的 .(1) ( zm ) n zmn (

10、m, n为分数时不成立 ) ；(2)zmznmn( z 1时不成立 ) ；(3)z 2z20zz20(z , z 是虚数时不成立 ) ；12112(4)z 2z2 (z为虚数时不成立 ) ；(5) z aa z a(z为虚数时不成立 )三、经典例题 例 1 满足条件 z2i z 15 的点的轨迹是（）A. 椭圆B.直线C.线段D.圆错解：选 A或 B.错因 ：如果把 z2i看作动点Z 到定点（ 0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0， 2）与（ -1 ， 0）的距离之和为常数5动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.正解 ：点（ 0， 2）与（ -1 ， 0

11、）间的距离为5 ，动点在两定点（0， -2 ）与（ -1 ，0）之间，选 C评注 ：加强对概念的理解加深，认真审题.例 2求值： (1i ) n(1 i ) 6n .错解： 原式 = (1i ) 6 (1i ) n( 2i )3 i n8i n 11 i当 n 2时，原式8当 n3时，原式8错因 ：上面的解答错在没有真正理解nZ 的含义， 只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误. 另外还可以看出对虚数单位i 的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位i 整数幂的运算结果的周期性 .正解： 原式 = (1i ) 6 (1i ) n1i= ( 2i ) 3i n8i n 18(

12、n4k1),=8i(n4k2), (k为非负整数 )8 （ n 4k 3）,8i(n 4k ).评注：虚数单位i 整数幂的值具有以4 为周期的特点，根据n求 i n时，必须按被4 整除余数为0、1、 2、 3 四种情况进行分类讨论.例 3已知z2，求 1zz2z 2000 的值 .13ina1 (1q )分析 ：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式Sn，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简.z22(13i )133i42i12原式 =1z200113* 6671101z11评注： 由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立. 例 4 已知复数 w

13、满足 w4(32w) i( i为虚数单位），5| w2 | ，求一个以 z 为z根的实系数一元二次方程 .w解法一：w(12 i)43i ,w43i2i ，12i5|i |3i .z2iz3i ，则必有共轭虚根 z3i .若实系数一元二次方程有虚根z z6,z z10 ，所求的一个一元二次方程可以是x 26x10 0.解法二：设 wa bi( a、b R)ab i 43i2ai2b ，a42b,a2,得32a,b1,bw 2 i ，以下解法同解法一 . 例 5 设 z是虚数，z1 是实数，且 12.z求 z的值及 z的实部的取值范围 .解析z是虚数可设z1yi )1( xyizxxyixyi( xx) ( yy)ix 2y2x 2y22y 2x是实数，且 y 0,11y20,即 x2y 21x2z1,此时2x由 12得 12x 21x1,即 z的实部的范围是 (1 ,1)22四、典型习题1非空集合G 关于运算满足：（ 1）对任意 a,bG ，都有 abG