弹性力学-第三章_应变状态

1、第三章第三章 应变状态应变状态物体变形位移与应变的基本关系几何方程应变状态分析位移的单值连续性质-变形协调方程 目录目录3.1 3.1 变形与应变概念变形与应变概念3.2 3.2 主应变与主应变方向主应变与主应变方向3.3 3.3 应变协调方程应变协调方程3.1 变形与应变概念变形与应变概念 由于外部因素载荷或温度变化 位移位移物体内部各点空间位置发生变化 位移形式_位置的改变与弹性体形状的变化 刚体位移刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。 形状改变（变形）位移形状改变（变形）位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。p位移与位移分量位移与位移分

2、量根据连续性假设，弹性体在根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连变形前和变形后仍保持为连续体。续体。那么弹性体中某点在变形过那么弹性体中某点在变形过程中由程中由M M（ （x x， ，y y， ，z z） ）移动至移动至M M （ （ x x， ，y y， ，z z ），），这一过程也将这一过程也将是连续的。是连续的。在数学上在数学上，x x， ，y y， ，z z 必为必为x x， ，y y， ，z z的单值连续函数。的单值连续函数。3.1 变形变形2设设MM=SMM=S为为位移矢量位移矢量，位移矢量位移矢量的三个分量的三个分量u u， ，v v， ，w w为为位移分量，位移分量，

3、则则U =x （x，y，z）-x = u（x，y，z） V =y（x，y，z）-y = v（x，y，z） W =z（x，y，z）-z = w（x，y，z） 位移分量位移分量u u，v v，ww也是也是x x，y y，z z的单值连续函数。的单值连续函数。以后的分析将进一步假定位移以后的分析将进一步假定位移函数具有函数具有三阶连续导数三阶连续导数。 3.1 变形变形3p变形与应变分量变形与应变分量 为进一步研究弹性体的变形情为进一步研究弹性体的变形情况，假设从弹性体中分割出一个微况，假设从弹性体中分割出一个微分六面体单元，其六个面分别与三分六面体单元，其六个面分别与三个坐标轴垂。个坐标轴垂。 对

4、于微分单元体的变形，将分对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。为两个部分讨论。一是微分单元体一是微分单元体棱边的伸长和缩短；棱边的伸长和缩短；二是棱边之间二是棱边之间夹角的变化。夹角的变化。弹性力学分别使用弹性力学分别使用正正应变和切应变应变和切应变表示这两种变形的。表示这两种变形的。 3.1 变形变形4 对于微分平行六面体单对于微分平行六面体单元，设其变形前与元，设其变形前与x，y，z坐标轴平行的棱边分别为坐标轴平行的棱边分别为MA，MB，MC，变形后分别变为变形后分别变为MA，MB，MC。正应变正应变_x, y, z表示表示x，y，z轴方向棱边的轴方向棱边的相对伸长相对伸长度；度； 切

5、应变切应变_ xy, yz, zx 表示表示x和和y，y和和z，z和和x轴之间轴之间的的夹角变化。夹角变化。xyzyxzzxyM AMAMAC M BM BMBMBC M AM CMCMCA M B ,.2223.1 变形变形5 对于小变形问题，为了简化分析，对于小变形问题，为了简化分析，将微分单元体分别投影到将微分单元体分别投影到OxyOxy，OyzOyz，OzxOzx平面来讨论。平面来讨论。 显然，单元体变形前各棱边是与坐标显然，单元体变形前各棱边是与坐标面平行的，变形后棱边将有相应的转动；面平行的，变形后棱边将有相应的转动；但我们讨论的是小变形问题，这种转动所但我们讨论的是小变形问题，这

6、种转动所带来的影响较小。带来的影响较小。 特别是物体位移中不影响变形的计算，特别是物体位移中不影响变形的计算，假设各点的位移仅为自身的大小和形状的假设各点的位移仅为自身的大小和形状的变化所确定，则这种微分线段的转动的误变化所确定，则这种微分线段的转动的误差是十分微小的，不会导致微分单元体的差是十分微小的，不会导致微分单元体的变形有明显的变化。变形有明显的变化。 3.1 变形变形6 正应变正应变 微分单元体的棱边长为微分单元体的棱边长为dxdx，dydy，dzdz M M点的坐标：（点的坐标：（x x，y y，z z） M M点的位移分量：点的位移分量：u u（x,y,zx,y,z）,v(x,y

7、,z), w,v(x,y,z), w（x,y,zx,y,z） 首先讨论首先讨论OxyOxy面上投影面上投影 的变形。的变形。 设设mama，mbmb分别为分别为MAMA，MBMB的投影，的投影，mama，mbmb分别为分别为MAMA，MBMB，即变形后的，即变形后的MAMA，MBMB的投影的投影 A A点的位移：点的位移：u(x+dxu(x+dx，y y，z z），），v(x+dxv(x+dx，y y，z z） B B点的位移：点的位移：u(xu(x，y+dyy+dy，z z），），v(xv(x，y+dyy+dy，z z） 将将A A，B B两点的位移按泰勒级数展开，略去二阶以上的小两点的位移

8、按泰勒级数展开，略去二阶以上的小量，则有量，则有 A点的位移为点的位移为B点的位移为点的位移为,uvudyvdyyy,uvudxvdxxx3.1 变形变形7因为所以同理可得这些正应变表示了任意一点微分线段的相对这些正应变表示了任意一点微分线段的相对伸长度。微分线段伸长，则正应变大于零，伸长度。微分线段伸长，则正应变大于零，反之则小于零。反之则小于零。uuMAmadxudxudxdxxx 3.1 变形变形8以下讨论切应变表达关系。以下讨论切应变表达关系。 因为因为 上式的推导中，利用了小变形条件下位移的导数上式的推导中，利用了小变形条件下位移的导数是高阶小量的结论。同理可得是高阶小量的结论。同理

9、可得 yx和和 xy可为正或为负，其正负号的几何意义为：可为正或为负，其正负号的几何意义为： yx大大于零，表示位移于零，表示位移v随坐标随坐标x而增加，即而增加，即x方向的微分线段方向的微分线段正向向正向向y轴旋转。将上述两式代入切应变表达式，轴旋转。将上述两式代入切应变表达式， 同理同理 切应变分量大于零，表示微分切应变分量大于零，表示微分线段的夹角缩小，反之则增大。线段的夹角缩小，反之则增大。 3.1 变形变形9综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为 上述公式称为几何方程，又称柯西方程上述公式称为几何方程，又称柯西方程（Augustin-Loui

10、s Cauchy于1828年提出） 。 柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。如果已柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。如果已知位移，由位移函数的偏导数即可求得应变；知位移，由位移函数的偏导数即可求得应变；但是如果已知但是如果已知应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相对复杂。对复杂。 这个问题以后作专门讨论。这个问题以后作专门讨论。 几何方程给出的应变通常称为几何方程给出的应变通常称为工程应变工程应变。 使用张量符号，几何方程可以表达为：使用张量符号，几何方程可以表达为：3.1 变形变形10 xyzxyyzzxuv

11、wxyzvuwvuwxyyzzx,12iji jj iuu上式表明应变分量上式表明应变分量 ij 将满足二阶张量的坐将满足二阶张量的坐标变换关系，应变张量分量与工程应变分标变换关系，应变张量分量与工程应变分量的关系可表示为量的关系可表示为 3.1 变形变形11111213212223313233112211221122xxyxzijxyyyzxzyzz 几何方程位移导数表示的应变 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形 原因是没有考虑单元体位置的改变 单元体的刚体转动 刚性位移可以分解为平动与转动 刚性转动变形位移的一部分，但是不产生变形。3.1 变形变形12 通过分析弹性体内无限

12、邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。3.1 变形变形13 设设M点的坐标为（点的坐标为（x，y，z）与与M点邻近的点邻近的 位移（位移（u，v，w） N点的坐标为（点的坐标为（x+dx，y+dy，z+dz） 位移（位移（u+du，v+dv，w+dw） 则则MN两点的相对位移为（两点的相对位移为（du，dv，dw） 因为位移为坐标的函数，所以因为位移为坐标的函数，所以uyuyududxdydzxvdvdxdydzxwdwdxdyduzzzxwwzyv3.1 变形变形13111122221122xxyzxzyvvxududxdydzxudxdydzdydzxdxdyd

13、uzuuzzdywwxuyuuyzyxxzduyuyududxdydzxvdvdxdydzxwdwdxdyduzzzxwwzyv)(21, )(21, )(21yuxvxwzuzvywzyx转动矢量描述微分单元体的刚性转动3.1 变形变形14同理可得同理可得 111122221122xyyyzzxvdvdxdydzyvdxdydzdxdzydxdydzdxdzuuvzvvzzyvxvvyyyxxww111122221122xzyzzyxwywwdwdxdydzzwdxdydzdxdzzdxdydzdwxwwxxxvvzwzduyyzuzz 转动分量 zyxzyxwvuzzyzxyzyyxxzx

14、yxxyxzyzddd212121212121ddd000ddd微分单元体的刚性转动与协调相关刚体转动位移增量变形位移增量位移增量是由两部分组成的3.1 变形变形15 必须指出，这里讨论的是必须指出，这里讨论的是单元体的刚性转动单元体的刚性转动。对。对变形体来说，是随点而异，是坐标的函数。但对整个变形体来说，是随点而异，是坐标的函数。但对整个物体，它们属于变形的一部分；这三个转动分量和六物体，它们属于变形的一部分；这三个转动分量和六个应变分量合在一起，不仅定出了一点邻近的单元体个应变分量合在一起，不仅定出了一点邻近的单元体形状的变化，而且定出了该单元体方位的改变，因此形状的变化，而且定出了该单

15、元体方位的改变，因此这九个量全面正确地反映了物体这九个量全面正确地反映了物体内点的位置改变内点的位置改变。物。物体内所有点的位置改变构成了整个物体的变形。体内所有点的位置改变构成了整个物体的变形。 从研究点的变形角度考察，说明应变张量是相对从研究点的变形角度考察，说明应变张量是相对位移张量扣除转动张量后，表示单元体纯变形的部分。位移张量扣除转动张量后，表示单元体纯变形的部分。它是一个对称的二阶张量，有六个独立分量。它表示它是一个对称的二阶张量，有六个独立分量。它表示单元体变形对称于对角线，即垂直棱边互相转角相等。单元体变形对称于对角线，即垂直棱边互相转角相等。 应变张量决定了一点的应变状态，它

16、具有张量的应变张量决定了一点的应变状态，它具有张量的所有特性。它与载荷引起的应力具有对应关系。下面所有特性。它与载荷引起的应力具有对应关系。下面将对应变张量做进一步探讨。将对应变张量做进一步探讨。3.1 变形变形16 变形通过应变描述 坐标变换时，应变分量是随之坐标改变而变化。 应变分量的转轴公式 应变张量3.2 主应变与主应变方向主应变与主应变方向应变状态应变状态ijjjiijinn333231232221131211212121212121zzyzxyzyyxxzxyxij应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个

17、整体，所描述的应变状态并未改变。主应变与应变主轴 切应变为0的方向 应变主轴方向的正应变应变主轴主应变3.2 主应变主应变20)(2121021)(2102121)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx应变状态特征方程l，m，n齐次线性方程组非零解的条件为方程系数行列式的值为零 0212121212121zzyzxyzyyxxzxyx032213JJJ展开展开 3.2 主应变主应变3主应变确定应变主轴方向变形应变不变量ijzxyzxyxzxyyxzyxiiJJJ322221)(41第一，第二和第三应变不变量 一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐标变换不影响应变状态是确定的。 应变

18、不变量就是应变状态性质的表现3.2 主应变主应变4应力张量应变张量应力不变量应变不变量主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性类似各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的公式比较公式比较3.2 主应变主应变5 体积应变 弹性体一点体积的改变量 引入体积应变有助于 简化公式3.2 主应变主应变6*.VVuvwVxyzzyxVVV*三种情况三种情况 0：微分单元体膨胀 0：微分单元体受压缩 =0：体积是不变3.3 应变协调方程应变协调方程 数学意义： 几何方程6个应变分量通过3个位移分量描述 力学意义变形连续 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束例例3-1 设 x 3x, y 2y,

19、 xy xy, z xz yz 0,求其位移。解解：)(232yfxu显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。xxux3yyvy2)(2xgyvxyxgyfyuxvxy)( )( 3.3 应变协调应变协调2 出现以上问题的物理解释出现以上问题的物理解释 假如物体分割成无数个微分六面体单元，变形后每假如物体分割成无数个微分六面体单元，变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象间将产生缝隙或

20、嵌入现象 物体变形前后都应保持整体和连续，不应该出现空物体变形前后都应保持整体和连续，不应该出现空隙和折叠隙和折叠 空隙：位移空隙：位移u，v，w不是连续函数不是连续函数 折叠：位移折叠：位移u，v，w不是单值函数不是单值函数 为使变形后的微分单元体仍能重新组合成为使变形后的微分单元体仍能重新组合成连续体，应变分量必须满足一定的关系连续体，应变分量必须满足一定的关系 应变协调方程应变协调方程3.3 应变协调应变协调3 应变协调方程将几何方程 中的第 1，2，4 式：作如下求偏导运算： 23222322223322xyxyuyx yvxxyuvuvx yy xyxx yxy ,zyxyxyzxz

21、wuvzwvuwyzxyvuxyzx以下我们将着手建立各应变分量之间应满足的条件。 3.3 应变协调应变协调4从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数然后相加可得)(22222yuxvyxyxxyyxxy23.3 应变协调应变协调5yxxyxyyx22222zyuzyxxyxzyz22对x求一阶偏导数，则 zyzyxxxxyxzyz22)(分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式 3.3 应变协调应变协调6u将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数u前后两式相加并减去中间一式，则,zyxyxyzxzwuvzwvuwyzxyvuxyzxyxzyxzzxzyx

22、yzyzyxxzxxzzyzyyxyxzxyxzyzyxyxzyzxxyxzyzxzzxyzyzxyxy2222222222222222222)(2)(2)(3.3 应变协调应变协调7该关系式由圣维南该关系式由圣维南（Saint VenantSaint Venant）于）于18641864年提出。年提出。在推导过程中，仅用了在推导过程中，仅用了连续函数的求导顺序无连续函数的求导顺序无关性，所以这组方程的关性，所以这组方程的本质是变形连续条件。本质是变形连续条件。称为：称为：圣维南方程圣维南方程应变协调方程应变协调方程变形协调方程变形协调方程相容方程相容方程变形一致条件变形一致条件变形协调方程的

23、数学意义使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。 3.3 应变协调应变协调8证明证明应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。从几何上讲若某一初始连续的物体按给定的应变状态变形时，能始终保持连续，既不开裂，又不重叠；则所给的应变是协调的，是满足圣维南方程圣维南方程的。从数学上说，圣维南方程圣维南方程是由几何方程积分出单值连续位移场的必要条件。下面来证明：如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连

24、通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量；因而圣维南方程圣维南方程也是几何方程可积分的充分条件。3.3 应变协调应变协调9位移分量可通过积分它们分别对坐标的一阶偏导数求得，例如3.3 应变协调应变协调10a)uuxdxuydyuzdzuxuyuzx，但二、三项,式中， 不能直接由几何方程中给出。为将它们用应变分量表达，取它们对坐标x,y,z的一阶偏导数 xuyyuxyAx yuyyvxyxBxyxyy 112212xyxzxyyzxzuuuvwzyzyyzxyxCzyxb)上式右边已知，用A,B,C表示。如果能通过积分3.3 应变协调应变协调11c)AdxBdyCdz求得单值连续函数

25、uy,并按同理求得 uz则再利用式a)即可立即求得位移分量U(x,y,z) 。由积分式c) 求出单值连续的uy的充分且必要条件为 AzCxBxAyCyBz,d)21212xxxyyzxzxyyzxzAzzyy zCxxzyxxzyx 3.3 应变协调应变协调1222222xyyxyyxxBxxyxxyxAyyyy 22xyyzxzxxzyxy z 2212xyyzxzxyyxyyCyyzyxBzzyxz yz x 22222yxyxyxx y 222122xyyyyzxyxzxyyxzzz xyyzyxz yz xxzy 方程第四式方程第四式方程第一式方程第一式方程第五式方程第五式对3.3 应

26、变协调应变协调13uzvxvzwxwy, 进行同样的做法，则对每一个都能够得到三个条件，共18个条件。但其中只有六个是不同的，就是应变协调方程。 综上所述，对单连通物体，只要给定的应变分量满足变形协调方程，则就可得到单值连续的函数 uzvxvzwxwy,进而可求得u,v,w。至此，我们证明了，应变满足协调方程是通过几何方程，由应变场求出单值连续位移场的充分必要条件。 变形协调方程单连通域位移单值连续的必要和充分条件多连通域位移单值连续的必要条件3.3 应变协调应变协调14 zxyzx yyzzxxyz 22 yzxyx zxyzyxzy 22 xzyxy zxyzxyzx 22 2222222

27、22222222222yxxyzyyzzxxyx yvxuyx yyzz yvzwyz yxzx zwxuz zxx z 位移边界条件位移边界条件 q应变满足应变满足变形协调方程变形协调方程，保证弹性体内部，保证弹性体内部的变形单值连续。的变形单值连续。q边界变形协调要求边界位移满足边界变形协调要求边界位移满足位移边界位移边界条件。条件。 q位移边界条件位移边界条件临近表面的位移或和变临近表面的位移或和变形与已知边界位移或变形相等。形与已知边界位移或变形相等。3.3 应变协调应变协调15 如果物体表面的位移已知，称为位移边界 位移边界用Su表示。 如果物体表面的位移 已知 边界条件为,wvu 称为位移边界