高中数学必修⑤《不等关系与不等式》教学设计

1、课题：必修不等关系与不等式三维目标：1、 知识与技能（1）通过具体情景，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容；（2）通过理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质.2、过程与方法（ 1）用形象地、直观的问题（最好是实际问题）代替例题，引领学习如何利用不等的关系研究不等式、 表示不等式，从而较清楚地认识不等式的有关基本性质， 并利用性质准确地、 简练地表达不等关系；在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。（ 2）通过解决具体问题， 使学生逐步学会依据具体问

2、题的实际背景分析问题、 解决问题的方法； 通过不等式内容在实际生活中的初步应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活， 从生活中发现问题， 并运用数学知识和方法科学地解决问题 .（3）培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。3、情态与价值观(1) 通过对不等式知识的进一步学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（2）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心， 产生热爱数学的情感 , 形成学数学、用数

3、学的思维和意识，培养学好数学的信心，体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。教学重点：（ 1）从实际问题中找出不等关系；（ 2）用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。教学难点：正确理解现实生活中存在的不等关系，用不等式（组）正确表示出不等关系。教具：多媒体、实物投影仪教学方法： 合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：前面，我们学习了数列的知识，并解决了许多的实际问题，进一步感受了数学的博大与精神以及广泛的应用价值同学们，都学过辩证法，明白“相对”与“绝对”的关系。在在现实世界

4、和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。而相等是相对的，不等是绝对的。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、 高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用怎样的式子来表示不等关系？大家可能会马上想到不等式今天我们就来研究如何利用不等式来表示不等关系。二、 创设情境合作探究：【引领学生合作探究、科学准确地用不等式表达实际生活中的不等关系】限速 40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40km/h，写成不等式就是：（ v40 ）某品牌酸奶的质量检查规定，酸

5、奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是用不f2.5%等式组来表示p2.3%设点A 与平面的距离为d,B 为平面上的任意一点，则（ d | AB | ）某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售， 可以售出 8 万本。据市场调查，若单价每提高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？解 ： 设 杂 志 社 的 定 价 为 x元，则销售的总收入为x2.520 万(80.2) x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于0.1元”可以表示为不等式(8x 2.50.2)

6、 x 200.1某钢铁厂要把长度为 4000mm的钢管截成 500mm和 600mm两种。按照生产的要求， 600mm的数量不能超过 500mm钢管的 3 倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？解：假设截得 500 mm的钢管 x 根，截得 600mm的钢管 y 根。根据题意，应有如下的不等关系：（ 1）截得两种钢管的总长度不超过 4000mm ;（ 2）截得 600mm钢管的数量不能超过 500mm钢管数量的 3 倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负。要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示500x600y4000;3xy;x 0; y 0.【点评】 （1）从上述问题

7、可看出，现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；准确地表达出这些不等的关系是很重要也是非常必要的（ 2）文字语言与数学符号之间的转换.文字语言数学符号文字语言数学符号大于>至多小于<至少大于等于不少于小于等于不多于【引领学生合作探究或推证不等式的基本性质】性质 1： abba ( 等价性 )性质 2： ab,bcac （传递性）性质 3： abacbc （可加性）性质 4： ab, c0acbca b,c 0 ac bc （条件可乘性）性质 5： ab,cdacbd （同向相加）性质 6： ab0, cd0acbd （同向相乘）性质 7： a b 0a nbn ,( n N ,

8、n 2)性质 8： ab0nanb ,(nN ,n 2)【小试牛刀 】1 用不等式表示下面的不等关系：（ 1）a 与 b 的和是非负数 _（ 2）某公路立交桥对通过车辆的高度 h“限高 4m”_(3) 如图 ( 见课本 74 页) ，在一个面积为 350m2 的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L大于宽 W的 4倍。 2 有一个两位数大于 50 而小于 60，其个位数字比十位数大 2试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数 ( 用 a 和 b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字 ) 三、互动达标巩固所学：问题 .1 已知ab0, c0, 求证cc。ab【分析】可考虑两种思路：一是

9、利用不等式的基本性质层层推证； 二是运用作差法来逐步论述。【方法一】【证明】 因为 ab0 ，所以 ab>0,10 。ab于是a1b1，即 11ababba由 c<0 ，得 ccab【方法二】【证明】 ccbcacc(ba)ababab因为 a b0 ， ba0又因为 c<0所以 c(ba) 0所以 c(ba)0得 ccabab【点评】此题的解决展现了两种常用的证明不等式的基本方法：综合法与比较法。问题 .2对于实数 a,b,c，有下列命题：（1） a b acbc （2）ac 2bc 2a b（ 3）a b0a 2ab b2（ ）c a b 0ab4ac bb, 11c（5

10、） aa 0, b0 其中正确的是ab【分析】首先应根据性质分析一下那些是明显的正确或错误（可结合试值），然后对于不能肯定的，进行一番推证【解析】 经过分析推证：正确地为：(2) 、（3）、（4）、（5）其中， (3) a 0, a b 0a 0a2ab 同理可证出 ab b2a b 0【点评】关于不等式的判断问题， 较全面地考查了不等式的基本知识、基本性质和基本方法，应重视此种问题，并做好相应的训练。四、思悟小结：知识线：（ 1）不等式的概念；（ 2）不等式的基本性质。思想方法线：（ 1）公式法；（ 2）综合法；（ 3）比较法；（ 4）等价转化思想。题目线：（1）利用不等式的概念和基本性质从实际问题中找出不等关系，用不等式（组）正确表示出不等关系；（2）利用不等式的概念和基本性质证明简单的不等式。五、针对训练巩固提高：1.用>或 <填空（1） ab,cdacb d(2) a.b 0 , cd0acbd(3)(4)a.b03a3ba.b011a2b 22.比较下面两组数的大小23747103143.比较两个代数式的大小（1）x25x 6与 2x 25x 9（ ）(x3) 2 与 (x 2)(x 4)2（3） x1 时， x 3与 x 2x1（4） x 2y 21 与2( xy1)x4.已知 x0，求证：1x125. 某夏令营有 48 人，出发前要从 A、B两种型号的