广义相对论第五章球对称的引力场

1、15.1 球对称度规场的一般结构第五章 球对称的引力场 球对称：能找到三个两两正交的对称轴绕其中任一轴的无穷小转动都保持度规场不变。 等度规映射 转动映射的生成元是凯林矢量场。32(1 )2313( 2 )3121( 3 )12xxxxxx无穷小映射绕三个轴转动的生成元满足凯林方程,0ggg xx2球对称度规场的一般形式2( , )2( , )22222(sin)r tr tdsedtedrr dd 5.2 席瓦西尔(Schwarzschild)外部解真空场方程:采用球坐标:0R,3210rtxxxx其余为零22331122200sin,rgegrgeg引力源静止（与t无关）122222222

2、211sinGMGMdsdtdrrddrr 3 5.3 伯克霍夫(Birkhoff)定理 如果球对称的引力源不是静止而是在作径向运动，且在运动中保持球对称性，如收缩,膨胀或径向振荡，则它的外引力场仍可用席瓦西尔解描述.trtr, Birkhoff定理的意义: Schwarzschild解描述的是球对称源的外引力场，但这源不必是静止的，因此当观测到一个席瓦西尔引力场时,我们无法判明它的源是一个稳定的恒星,还是一个膨胀的，收缩，振荡的恒星。12( )2222222211sintkkdsedtdrrddrr 45.4 席瓦西尔坐标的物理意义席瓦西尔解中所用的坐标 的意义., rt1. 在席瓦西尔度规

3、中00igijjiijijgggggh0000因此相邻点的固有距离 是(无交叉项)LjiijdxdxhL 222222212sin21drdrdrrGML2. 度规与t无关, 所以积分性的有限测量是有意义的。“静态”观者53. 等r面上的几何与三维欧氏空间球面几何相同.测量等r面上任一大圆的周长s将有:rs2测量等r面的总面积A将有:24 rA4. r的大小不反映等r面上任一点至坐标中心r=0的固有距离.时， 坐标非物理GMr20rrg22222212sin21drdrdrrGML因为径向相邻点的固有距离不仅与径向坐标差(dr)成比例，而且比例系数与 r 有关(1)(2)6时间坐标与时间测量的

4、关系00ig：席瓦西尔坐标时是全空间对准了的即不同地点的同时事件是用同样的时间坐标标志的在 的区域，坐标系是物理的，可以有静观测者GMr2 距离公式 的导出是以存在局域静止观测者为前提的jiijdxdxhL 若 则 是一个正定的二次型GMr2jiijdxdxh7 静止观测者用他携带的钟所测到的时间差T与坐标时差t的关系0000000000000000011121(,0,0,0)Tgu dxgdx ugu ug dx ug u ugdxugGMTtuur 由 T为静观测者用他携带的钟所测到的空间某一点 的两事件之间的时间差，而t为这两事件之间的坐标时差0idx0dx静止观测者8坐标时t对不同地点

5、是对准了的因此空间不同地点时钟的快慢(固有时)是不一样的！r 越小(但必须比2GM大)，引力场越强，时钟走的越慢，若 r 趋于2GM, T0 ，即时钟的指针趋于凝固，这就是黑洞视界表面的情形。21GMTtr21GMTtr坐标时t 是无穷远处观测者的时钟记录的时间921GMTtrtT远场处近场处Pound & Rebka Experiment (1959)10When the Light is Trapped22sGMRc221TtGMrc Black Hole!Schwarzschild半径1122 3kmsGMRc太阳Schwarzschild半径天体的致密程度用/sRR表示天体 太

6、阳 白矮星 中子星 黑洞/sRR5.4104101101在越致密的天体附近，光线弯曲的程度越大12时间延迟在黑洞附近的时钟比远处的时钟走得慢。在视界处的时钟看上去完全停止。From Jacks point of view:Sees the ship getting further away. Flashes the laser every second by his watch.Sees a blue beam leave the laser. From Jills point of view:Each flash takes longer to arrive, and is redder a

7、nd fainter than the one before it. 13Near the Event Horizon.Jack Sees: Laser flashes blue every second by his watch The outside world looks distorted Jill Sees: Laser flashes come 1 hour apart Flashes are shifted to radio wavelengths and are getting fainter with each flash. Down the hole.Jack: Universe vanishes as he crosses the horizon Gets shredded by strong tides near the singularity and crushed to infinite density. Jill: