电磁场与电磁波第四版PPT课件

1、1 本章内容本章内容 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法镜像法 3.6 分离变量法分离变量法 静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第1页/共152页

2、23.1 静电场分析静电场分析 学习内容学习内容 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 电位函数电位函数 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 静电场的能量静电场的能量 静电力静电力第2页/共152页32. 边界条件边界条件0ED微分形式：微分形式：ED本构关系：本构关系：1. 基本方程基本方程0)()(2121EEeDDenSn0ddlEqSDCS积分形式：积分形式：0)(0)(2121EEeDDenn02121ttSnnEEDD或或若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即S S0 0，则，则ttnnEEDD2121或或静电场的基本方程和边界条件静电场

3、的基本方程和边界条件第3页/共152页4介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene212211221121/tantannnntntDDEEEE 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为，则导体表面的边界条件为 0EeDenSn0tSnED或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件 介质介质1 1111Ene导体第4页/共152页50E由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静电场的标量电位或简称为静电场的标量电位或简称电位。称电位

4、。1. 电位函数的定义电位函数的定义E 电位函数电位函数第5页/共152页62. 电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由面电荷的电位：面电荷的电位： 1( )( )d4VrrVCR故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：( )4qrCR( )1( )d4SSrrSCR( )1( )d4lCrrlCRd)1)(41d)1()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRR线电荷的电位：线电荷的电位：rrR第6页/共152页7 3. 电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有ldE将将d)ddd(ddyyyyxxllE上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿

5、任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处； 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示；表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。)()(ddQPlEQPQPP、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功第7页/共152页8 静电位不惟一，可以相差一个常数

6、，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即)(CC选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义；应使电位表达式有意义； 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点；限远作电位参考点； 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4. 电位参考点电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为使空间各点电位具有确定值，可以选

7、定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即第8页/共152页9在均匀介质中，有在均匀介质中，有5. 电位的微分方程电位的微分方程2在无源区域，在无源区域，0EED02标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第9页/共152页10 6. 静电位的边界条件 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为 1和和 2。当两点间当两点间距离距离l0时时 若介质分界面上无自由电荷，即

8、若介质分界面上无自由电荷，即导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：0dlim21021PPllESnDDe)(21D由由 和和12媒质媒质2媒质媒质121l2P1P0Snn1122常数，常数，Sn21Snn1122第10页/共152页11 例 求电偶极子的电位求电偶极子的电位. . 解 在球坐标系中在球坐标系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得dr ,cos21drr302020444cos)(rrpreprqdrr代入上式，得代入上式，得 表示

9、电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqp+q电偶极子电偶极子zodq2r1rr),(rP第11页/共152页12ErErrdd21sinCr 将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E线方程为线方程为ErE 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度)sincos2(430eerqr)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图电场线微分方程电场线微分方程：等位线方程等位线方程：第12页/共152页13 解 选定均匀电场空

10、间中的一点选定均匀电场空间中的一点o为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的位置矢量为的位置矢量为r，则，则000( )( )ddPPooPoElErE r rrrrrrggg若选择点若选择点o为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则( )0o0( )PE r rrg000( )coszPE re r EE r rrr rgg 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向一致，的方向一致，即即 ，则有，则有00zEe E0Ezree z000( )()cosxzPE re E ee zE rrrrgg 在圆柱面坐标系中，取在圆柱面坐标系中，取 与与x轴方向一致，即轴方向一致，即

11、 ，而，而 ，故，故 00 xEe E0E0ExzoPr 例 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。第13页/共152页14xyzL-L( , , ) z zddlzRz 解 采用圆柱面坐标系，令线电荷与采用圆柱面坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与称性，电位与 无关。无关。在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它到点到点 的距离的距离 ，则则22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz220220()()ln4()()lzLzLzL

12、zL 例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。0l第14页/共152页152222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为时，上式可写为 LRL 当当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有L

13、002( )ln2lLrC并选择有限远处为电位参考点。例如，选择并选择有限远处为电位参考点。例如，选择= a 的点为电位参的点为电位参考点，则有考点，则有002ln2lLCa 00( )ln2lar第15页/共152页16 例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于x = 0和和 x = a 处，在两板之间的处，在两板之间的 x = b 处处有一面密度为有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。0S 解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b

14、 处有均匀面电荷分布外，其余空间处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S1( )x2( ) x第16页/共152页170110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 1221122021000SDC aD

15、C bDC bDCC 利用边界条件，有利用边界条件，有xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 处，处，最后得最后得0 x 处，处，1(0)0 xa2( )0a 处，处，所以所以0220( )( )SxbE xxea 由此解得由此解得第17页/共152页18电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中： 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用；路、选频等作用； 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路；电路；

16、 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率；减少电能的损失和提高电气设备的利用率； 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容第18页/共152页19 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量。储存电荷能力的物理量。 孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即qC 1. 电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的导的导 体组

17、成的电容器，其电容为体组成的电容器，其电容为12qqCU 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。第19页/共152页20 (1) 假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和 -q ； (2) 计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E； 计算电容的步骤：计算电容的步骤：UqC (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。21dlEU (3) 由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差；第20页/共15

18、2页21 解：设内导体的电荷为设内导体的电荷为q q，则由高斯定理可求得内外导体间的电场，则由高斯定理可求得内外导体间的电场44rr22qqDe,EerrababqbaqrEUba004)11(4d同心导体间的电压同心导体间的电压ababUqC04球形电容器的电容球形电容器的电容aC04当当 时，时，babo 例 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为，其间填充介电常数为的均的均匀介质。匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容第21页/共152页22 例 如图所示的平行双线传输线，

19、导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为，两导线的轴线距离为D，且，且D a，求传输线单位长度的电容。求传输线单位长度的电容。l 解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故，故可近似地认为电荷分可近似地认为电荷分别均匀分布在两别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为lDa011( )()2lxE xexDx两导线间的电位差两导线间的电位差210011d()dln2D allaDaUElx

20、xDxa故单位长度的电容为故单位长度的电容为001F/mln()ln()lCUDaaD axyzxDa第22页/共152页23 例 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a，外导体半径为为，外导体半径为为b，内外导体间填充的介电常数为，内外导体间填充的介电常数为 的均的均匀介质，匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。( )2lEe内外导体间的电位差内外导体间的电位差1( )dd2bblaaUEell 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为外导体间任一点的电场

21、强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为12F/mln( / )lCUb aab同轴线同轴线ln( / )2lb a第23页/共152页242 部份电容部份电容在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体 上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的 概念加以推广，引入部分电容的概念。概念加以推广，引入部分电容的概念。 在由在由N个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所以

22、，各导体的电位为以，各导体的电位为1(1, 2 ,)Nii jjjqiN式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自电位系数自电位系数()i jij 互电位系数互电位系数（1） 电位系数电位系数第24页/共152页25 i j 在数值上等于第在数值上等于第i 个导体上的总电量为一个单位、而其余个导体上的总电量为一个单位、而其余 导体上的总电量都为零时，第导体上的总电量都为零时，第 j 个导体上的电位，即个导体上的电位，即i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；参数有关，而与各导体的电位和

23、带电量无关；具有对称性，即具有对称性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNii jjqqqqi jNqi j 0 ； 电位系数的特点：电位系数的特点：第25页/共152页26若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为 1(1, 2 ,)Nii jjjqiN 式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自电容系数或自感应系数自电容系数或自感应系数 ()i jij 互电容系数或互感应系数互电容系数或互感应系数 （2） 电容系数电容系数第26页/共152页27 i j 在数值上等于第在数值上等于第 j个导体上的个导体上的电位为一个单位、而

24、其余导电位为一个单位、而其余导 体接地时，体接地时，第第 i 个导体上的电量，即个导体上的电量，即 i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即具有对称性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNiijjqi jNi i 0 、 ；0()ijij 电容系数的特点：电容系数的特点：第27页/共152页28将各导体的电量表示为将各导体的电量表示为 式中：式中：（3） 部分电容部分电容(1, 2 ,)iN()Nijiji

25、iij iCC111()()NNNNii jjijjijiijiijijijijjj ijq 导体导体 i 与导体与导体 j 之间的部分电容之间的部分电容()ijijCij 导体导体 i 与地之间的部分电容与地之间的部分电容 NjjiiiC1第28页/共152页29 Ci i 在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，第第 i 个导个导 体上的电量；体上的电量； Ci j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；

26、具有对称性，即具有对称性，即Ci j = Cj i 。Ci j 0 ； Ci j 在数值上等于第在数值上等于第 j 个导体的电位为一个单位、其余个导体的电位为一个单位、其余 导体都接地时，导体都接地时，第第 i 个导体上的电量；个导体上的电量；()ij 部分电容的特点：部分电容的特点：第29页/共152页30 在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U，极，极板上所带电荷分别为板上所带电荷分别为 ，则比值，则比值 称为这两称为这两个导体间的等效电容。个导体间的等效电容。q/q

27、 U（4）等效电容等效电容如图所示，有三个部分电容如图所示，有三个部分电容112212CCC、导线导线 1 和和 2 间的等效电容为间的等效电容为11221121122C CCCCC导线导线 1 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为12222111222C CCCCC导线导线 2 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为12113221211C CCCCC1 12 212C22C11C大地大地大地上空的平行双导线大地上空的平行双导线第30页/共152页31 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所作的如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源

28、所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。作的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充或充电电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作

29、功。过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。静电场的能量静电场的能量 第31页/共152页321. 静电场的能量静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为、电位为 。 充电过程中某一时刻的电荷量为充电过程中某一时刻的电荷量为q、电位为、电位为 。 (01) 当当增加为增加为(+ d)时，外电源做功为时，外电源做功为: (q d)。 对对从从0 到到 1 积分，即得到外电源所做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为101d2qq 根据能量守恒定律，此功也就是电量为根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电场能量

30、的带电体具有的电场能量We ，即，即12eWq 对于电荷体密度对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元为的体分布电荷，体积元dV中的电荷中的电荷dV具有的电场能量为具有的电场能量为1dd2eWV第32页/共152页33VWVed21SWSSed21故体分布电荷的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，对于面分布电荷，电场能量为电场能量为111dd222iiiieSiiSiiSSiiiWSSq 对于多导体组成的带电系统，则有对于多导体组成的带电系统，则有iq 第第i个导体所带的电荷个导体所带的电荷i 第第i个导体的电位个导体的电位式中：式中：第33页/共152页342. 电场能量密度电场能

31、量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。EDwe21电场能量密度：电场能量密度：1d2eVWD E V电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间2111ddd222eVVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有2111222ewD EE EE 第34页/共152页35由于体积由于体积V外的电荷密度外的电荷密度0，若将上式中的积分区，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要

32、电荷分布在有限区域内，当闭合面在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有无限扩大时，则有211 O( O()DRR) 、2111d O(.d ) O()0SSDSSR RR故故11dd22SVDSE D V 推证：推证：()DDD ()ddVSD VDSE D R0S11dd22eVVWVDV1()d2VDDV第35页/共152页36 例 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电场能量。的电荷，试求静电场能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解： 方法一方法一，利用利

33、用 计算计算 VeVEDWd21 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVed21d21d2121220210第36页/共152页37)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 计算计算 VeVWd21 先求出电位分布先求出电位分布 故故5202022021154d4)3(221d21arrraVWaVe第37页/共152页38 已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场

34、力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来计算静电力。此通常采用虚位移法来计算静电力。 虚位移法虚位移法：假设第假设第i个带电个带电导体在电场力导体在电场力Fi的作用下发生位移的作用下发生位移dgi，则电场力做功，则电场力做功dAFidgi，系统的静电能量改变为，系统的静电能量改变为dWe。根据能量守恒定律，该系统的功能关系为根据能量守恒定律，该系统的功能关系为dddSiieWF gW其中其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。是与各带电体相连接的外电源所

35、提供的能量。 具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。静电力第38页/共152页391. 各带电导体的电位不变各带电导体的电位不变 此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量11dd()dNNSiiiiiiWqq1111dd()d22NNeiiiiiiWqq系统所改变的静电能量系统所改变的静电能量即即d2dSeWW此时，所有带电体都不和外电源相连接，则此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS0，因此，因此2. 各

36、带电导体的电荷不变各带电导体的电荷不变ddiieF gW 式中的式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。ddiieF gWeiiWFg 不变不变eiiWFg q不变不变第39页/共152页40例 有一平行金属板电容器，极板面积为有一平行金属板电容器，极板面积为lb，板间距离为板间距离为d，用一块介质片（宽度为，用一块介质片（宽度为b、厚度为、厚度为d，介，介电常数为电常数为）部分填充在两极板之间，如图所示。设极）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为板间外加电压为U0，忽略边缘效应，求介质片所受的，忽略边缘效应，求介

37、质片所受的静电力。静电力。0()lx bbxCdd所以电容器内的电场能量为所以电容器内的电场能量为220001()22ebUWCUlxxd0200()2exUWbUFxd不变由由 可求得介质片受到的静电力为可求得介质片受到的静电力为eiiWFg不变 解 平行板电容器的电容为平行板电容器的电容为部分填充介质的平行板电容器部分填充介质的平行板电容器dbU0lx由于由于0，所以介质片所，所以介质片所受到的力有将其拉受到的力有将其拉进电容器的趋势进电容器的趋势第40页/共152页4122022 ()eqdqWCblxx2020()2 ()exqWdqFxblxx 不变000()bUqCUlxxd200

38、()2xbUFd 此题也可用式此题也可用式 来计算来计算eiiWFg q不变不变设极板上保持总电荷设极板上保持总电荷q不变，则不变，则由此可得由此可得由于由于同样得到同样得到第41页/共152页423.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 由由J J E E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。恒定分布

39、电荷产生的电场称为恒定电场。 恒定电场与静电场重要区别：恒定电场与静电场重要区别： （1 1）恒定电场可以存在导体内部。）恒定电场可以存在导体内部。 （2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。来不断补充被损耗的电场能量。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 第42页/共152页43EJ0d0dlESJCS00EJE0)(恒定电场的基本方程和边界条件1. 1. 基本方程基本方程 恒定电场的基本方程为恒

40、定电场的基本方程为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：0 J)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度)(rE 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系0)(EEJ0 E 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数0E02由由若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电荷没有体分布电荷第43页/共152页442. 恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件0d lEC0dSJS媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Ene0)(21JJen0)(21EEen 场矢量的边界条件场矢量的边界条件nnJ

41、J21即即ttEE21即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度nnnSJJJeDDe)()()(221122211121场矢量的折射关系场矢量的折射关系212211221121/tantannnntntJJEEEE第44页/共152页45 电位的边界条件电位的边界条件nn221121, 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；而导体表面不是等位面；ab11、 说明：说明：第45页/

42、共152页46媒质媒质2 2媒质媒质1 12122E1E)(12媒质媒质2 2媒质媒质1 12012Ene1E)0(1 如如 21、且、且 290，则则 10， 即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面； 若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 10，则则 J1=0，故故J2n=0 且且 E2n=0，即导体中，即导体中 的电流和电场与分界面平行的电流和电场与分界面平行。第46页/共152页47恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等如果两

43、种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。方法称为比拟法。第47页/共152页48恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程ED,EEJ0202nnttDDEE2121 nnttJJEE2121 静电场（静电场（ 区域）区域） 00d, 0dlESJCS0

44、, 0EJ,Ed0,d0SCDSEl0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场GC第48页/共152页49 例一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 1、 1和和 2、 2，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。 解：极板是理想导体，为等位面，：极板是理想导体，为等位面，电流沿电流沿z方向。方向。1212nnJJJJJ 由由12121122,JJJJEE1212121

45、1221212()()ddddUUUE dE dJJU12nnSDD 由由121212,SSDJDJ 下下上上21122121212112()SDDJUdd 介介U1d2d11, 22, zo第49页/共152页50 例例 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为，外导体半径为c，介质的分界面，介质的分界面半径为半径为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为 1和和 2 、电导率为、电导率为 1和和 2 。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0 ，外，外导体接地。求：（导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（）两导体之

46、间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自）介质分界面上的自由电荷面密度。由电荷面密度。J1212I外导体内导体内导体介质介质2 2介质介质1abc11、22、0U第50页/共152页51 （1 1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,I,则由则由 可得电流密度可得电流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介质中的电场：介质中的电场：222()2JIEebc 解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为分布。可先假设电

47、流为I，由求出电流密度由求出电流密度 的表达式，然后求出的表达式，然后求出 和和 ，再由，再由 确定出电流确定出电流 I。J012ddbcabUEE1E2E第51页/共152页5212021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为故两种介质中的电流密度和电场强度分别为120212ln()ln()UIb ac bps sss=+01212ddlnln22bcabIbIcUEEab由于由于于是得到于是得到第52页/共152页5312011121ln(

48、)ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b Sne D （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面的电荷面密度为外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为J2112I第53页/共152页54 工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的

49、电导率，但毕竟不为零，因而当电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流时，必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。 漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即UIG 其倒数称为绝缘电阻，即其倒数称为绝缘电阻，即IUGR1漏电导漏电导第54页/共152页55(1) 假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I；(2) 计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度 矢量矢量J；(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差；(5) 求比值求比

50、值 ，即得出，即得出 所求电导。所求电导。21dlEUUIG/ 计算电导的方法一计算电导的方法一： 计算电导的方法二计算电导的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U； (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ； (3) 由由 得到得到E; (4) 由由 J = E 得到得到J; (5) 由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。ESSJIdUIG/ 计算电导的方法三计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：CG第55页/共152页56 例 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电

51、缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为长度为l ，其间媒质的电导，其间媒质的电导率为率为、介电常数为、介电常数为。解：直接用恒定电场的计算方法直接用恒定电场的计算方法电导电导)/ln(2ablUIG绝缘电阻绝缘电阻ablGRln211baablIlIlEUln2d2dlba则则IlIJ2lIJE2设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I。第56页/共152页57012222000, 0U 方程通解为方程通解为21CC 例 在一块厚度在一块厚度h 的导电板上，的导电板上， 由两个半径为由两个半径为r1和和r2的圆弧和夹角为的圆弧和夹角为 0的两半径割的两半径割出的一段环

52、形导电媒质，如图所示。计算沿出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为电导率为。 解： 设在沿设在沿 方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿则电流沿 方向流动，而且电流密方向流动，而且电流密度是随度是随 变化的。但容易变化的。但容易判定电位判定电位 只是变量只是变量 的函数，因此电位函数的函数，因此电位函数 满足一维满足一维拉普拉普拉斯方程拉斯方程代入边界条件代入边界条件可以得到可以得到10020/,CUCU 环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 0J第57页/共152页58电流密度电流密度

53、00UJEe 两电极之间的两电极之间的电流电流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故故沿沿 方向的两电极之间的电阻方向的两电极之间的电阻为为0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以所以00UEee 第58页/共152页59恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 电感电感 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 磁场力磁场力 3.3 恒定磁场分析第59页/共152页600HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 边界条件边界条件本构关系：本构关系：SnnJ

54、HHeBBe)(0)(2121SttnnJHHBB21210或或若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即J JS S0 0，则，则积分形式积分形式: :0)(0)(2121HHeBBenn或或002121ttnnHHBB恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件第60页/共152页61 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量 的梯度以后，仍然的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即表示同一个磁场，即由由AA 0BBA 即恒定磁场可以用一个矢量函数

55、的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。 磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的的A，可以对，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。0A()AAA 1. 恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位第61页/共152页62 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在无源区：在无源区：ABHJ0A0J JA202 A矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程AJ

56、2()AAJ 磁矢位的表达式磁矢位的表达式3( )1( )d( )()d44VVJ rRB rVJ rVRR 1( )()d4VJ rVR ( )111()( )()( )( )()J rJ rJ rJ rRRRR31()RRR 第62页/共152页63 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件dddSSCBSASAl( )( )d4VJ rA rVR由此可得出由此可得出（可以证明满足（可以证明满足 ） 0A对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为( )( )d4SSJrA rSR面电流面电流：细线电流细线电流：d( )4CIlA rR 利用磁矢位计算磁通量：利

57、用磁矢位计算磁通量：ddCSAlBS12ttAA0Ad0SAS12nnAA12AA12()nSeHHJ/HA 121211()nSeAAJ第63页/共152页64 例 求求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为a，回路中的电，回路中的电流为流为I 。 解 如图所示，由于具有轴对称性，如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁矢量磁位和磁场均场均与与 无关，计算无关，计算xz平面上的矢量磁位与磁场平面上的矢量磁位与磁场将不失将不失一般性。一般性。(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eedd(

58、sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圆环电流小圆环电流aIxzyrRdlrIP第64页/共152页65对于远区，有对于远区，有r a ，所以，所以21 21 2112121 ( )sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001( )(1sincos)(sincos)d4xyIaaA reerrrrrr202sin4yI aer r由于在由于在 =0面上面上 ，所以上式可写成，所以上式可写成yeerr于是得到于是得到20022( )sinsin44I aISA ree

59、rr rrrr第65页/共152页6611(sin)()sinrBAeAerArrr rrrr03(2cossin )4rISeerrr式中式中S =a2是小圆环的面积。是小圆环的面积。 载流小圆环可看作为磁偶极子，载流小圆环可看作为磁偶极子， 为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则mpISrr02( )sin4mpA rerrrr或或 03( )4mA rprrrrrr03( )(2cossin )4mrpB reerrrrr第66页/共152页67 解：先长度为：先长度为2L的直线电流的磁矢位。的直线电流的磁矢位。电流元电流元 到点到点 的距的距离离 。则。则

60、22()RzzddzI le I z( , , )Pz 0221()d4()LzLIA rezzz220ln() 4LzLIezzzz 22022()()ln4()()zzLzLIezLzL 例 求无限长线电流求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿的磁矢位，设电流沿+z方向流动。方向流动。与计算无限长线电荷的电位一样，令与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电流的磁矢位可得到无限长线电流的磁矢位 L 01( )ln2zIA reCxyzL-L( , , ) z zddzI le I zR第67页/共152页682. 恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位 一般情况下，恒定磁场只能引入磁