河北省石家庄市高二数学下学期期末试卷理(含解析)(二)

1、2015-2016学年河北省石家庄市复兴中学高二（下）期末数学试卷（理科）、选择题（每个 5分，共60分）1 . i?z=i - 1 （i为虚数单位），则 z=（）A. 1 - iB. - 1+iC. 1+i D . T - i2 .设 xC R,贝U “x>3" 是“2x2+x 1>0” 的（）A.充分而不必'要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3 .从5名学生中选2名学生参加周日社会实验活动，学生甲被选中而学生乙没有被选中的方法种数是（）A. 10 B. 6C. 4D. 34 .一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别

2、用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取人数为（）A. 6B. 7C. 8D. 95.设f （x）是一个三次函数，f ' （ x）为其导函数，如图所示的是y=x?f ' （ x）的图象的部分，则f （x）的极大值与极小值分别是（A. £(1)与£(1) B.f( 1)与 f(1)C. f (- 2)与 f (2)D. f (2)与 f (-2）6.用三段论推理：“任何实数的平方大于0,因为a是实数，所以a2>0"，你认为这个推理（）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.是正确的7.雾霾天气对我们身体

3、影响巨大，据统计我市2015年12月份某8天的空气质量指数（AQI）茎叶统计图如图，则该组数据的中位数为（）A.360 B. 361 C. 362 D. 363 8.已知函数f （x） =-x3+ax2-x-1在（-巴 +oo）上是单调函数，则实数 a的取值范围A. (-8,-6U LV3* 48)B.-仃，6C. .D彦;9 .根据如下样本数据x34567y4.02.50.50.52.0得到的回归方程为 产b“a/若a=79,则x每增加1个单位，丫就（）A.增加1.4个单位 B.减少1.4个单位C.增加1.2个单位 D,减少1.2个单位10 .设复数二六且（a, bE R）,贝U a+b=（

4、）HiA. 1B. 2C. - 1 D. - 211 .下列说法正确的是（）A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为：“若 x2=1,则xw 1”B.若命题 p： ?xCR, x22x1>0,贝U命题？p： ?xCR x2- 2x- 1< 0C.命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题D. “x=-1”是“x 2-5x-6=0”的必要不充分条件值为（）12 .如图，在长方体 ABCD- ABCDi中，AB=BC=2 AA=1,贝U BC与平面BBDD所成角的正弦二、填空题(每个 5分，共20分)13 .若 f (x)在 R上可导，f (x) =x2+2f'

5、; (2) x+3,贝U f (1) =.14 .已知随机变量 X服从正态分布 N (0, b 2),且P(- 2WXW 0) =0.4,则P (X> 2)15 .图中阴影部分的面积等于16.观察下列式子:2223152343-9 - / 16规律，第n个不等式应该为三、解答题(本题共 6道小题，17题10分,18-22每个12分，共70分)17.求实数m取什么值时，复平面内表示复数z= (nf-8m+15)+ (nf-5m- 14) i 的点位于第四象限.公+ 皿#I-a一218 . 已知 a、 b、c者B是正数，右 a+b+c=1, 求证： +> 6.a b c19 .某重点大

6、学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核.规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校234的自主招生考试.学生甲三轮考试通过的概率分别为二，二，三，且各轮考核通过与否uj相互独立.(1)求甲通过该高校自主招生考试的概率；(2)若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金.记学生甲得到教育基金的金额为 X,求X的分布列和数学期望.20 .已知极坐标系的原点在直角坐标系的原点处，极轴为 x轴正半轴，直线l的参数方程为彳(t为参数)，曲线 C的极坐标方程为p=4cos。.(1)写出C的直角坐标方程，并说明 C

7、是什么曲线？(2)设直线l与曲线C相交于P, Q两点，求|PQ| .21 .以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线1的参数方程为(t为参产-而当数)，圆C的极坐标方程为 p =4cos ( 0。).(I)求直线1和圆C的直角坐标方程；(n)若点P (x, y)在圆C上，求x+J y的取值范围.22 .已知函数 f (x) =x3- 2ax2+bx,(1) f (x)在点P (1, 3)处的切线为y=x+2,求a, b的值；(n)在(I )的条件下求 f (x)在上的值域.2015-2016学年河北省石家庄市复兴中学高二（下）期末

8、数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每个 5分，共60分）1 . i?z=i - 1 （i为虚数单位），则 z=（）A. 1 - iB. - 1+iC. 1+i D . T - i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数方程化简求解即可.【解答】解：i?z=i - 1,可得-i?i?z= （ i - 1） （ - i ）,解得z=1+i .故选：C.2 .设 xC R,贝U ax> ” 是 “2x2+x 1>0” 的（）A.充分而不必'要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】求出

9、二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可.【解答】解：由2x2+x- 1 > 0,可知xv T 或x>-1-;所以当 “x> ” ? “2x2+x- 1>0” ；2,1但是 “2x2+x- 1 >0” 推不出 “ x> ” . 1所以“x>芯”是“2x2+x-1>0”的充分而不必要条件.故选A.3 .从5名学生中选2名学生参加周日社会实验活动，学生甲被选中而学生乙没有被选中的方法种数是（）A. 10 B. 6C. 4 D. 3【考点】排列、组合及简单计数问题.【分析】从5名学生中选2名学生参加周日社会实验活动，其中一名是学生甲，另一

10、名从不 含乙的三名选一名即可.【解答】解：从5名学生中选2名学生参加周日社会实验活动，其中一名是学生甲，另一名从不含乙的三名选一名，故有3种，故选：D.4 .一支田径队有男运动员 28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取人数为()A. 6 B. 7C. 8 D. 9【考点】分层抽样方法.【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果.【解答】解：二.有男运动员28人，女运动员21人，总体个数是 29+21=49,从全体队员中抽出一个容量为14人

11、的样本每个个体被抽到的概率是 二二 =-一2，男运动员应抽 28 X- =8；故选：C.5.设f (x)是一个三次函数，f ' ( x)为其导函数，如图所示的是y=x?f ' ( x)的图象的部分，则f (x)的极大值与极小值分别是()A. f (1)与 f ( 1) B. f ( 1)与 f (1) C. f ( 2)与 f (2) D. f (2)与 f (一2)【考点】函数的单调性与导数的关系；函数最值的应用.【分析】当XV0时，f' ( x)的符号与x?f' (x)的符号相反；当x>0时，f' (x)的符 号与x?f' (x)的符号

12、相同，由y=x?f' ( x)的图象得f' (x)的符号；判断出函数的单 调性得函数的极值.【解答】解：由y=x?f' ( x)的图象知，xC ( 8, 2)时，f ' ( x) >0; xC ( 2, 2)时，f ' ( x) W 0； xC ( 2, +8)时, f ' ( x) >0当x=-2时，f (x)有极大值f (-2);当x=2时，f (x)有极小值f (2)故选项为C6.用三段论推理：“任何实数的平方大于0,因为a是实数，所以a2>0"，你认为这个推理()A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误

13、D.是正确的【考点】演绎推理的基本方法.【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论.【解答】解：二任何实数的平方大于0,因为a是实数，所以a2>0,大前提：任何实数的平方大于 0是不正确的，0的平方就不大于0.故选A.7.雾霾天气对我们身体影响巨大，据统计我市2015年12月份某8天的空气质量指数(AQI)茎叶统计图如图，则该组数据的中位数为A. 360 B. 361 C. 362 D. 363【考点】众数、中位数、平均数.【分析】先写出这组数据，从而求出数据的中位数即可.【解答】解：由茎叶图得，该组数据为：259, 3

14、00, 306, 360, 362, 364, 375, 430,故+ 2=361,故选：B.8.已知函数f （x） =-x3+ax2-x-1在（-8, +oo）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A.（一%正支除，+00）B 门旧C一寸3 tD f31W【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】由f （x）的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在 R上为单调函数，所以导函数与 x轴没有交点或只有一个交点，即小于等于0,列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围.【解答】解：由 f （x） =- x3+ax2- x - 1,得到 f' （x） = -

15、 3x2+2ax - 1,因为函数在（-°°,+OO）上是单调函数，所以 f ' （ x） = - 3x2+2ax - K 0 在（-+°0）恒成立，则 = 4相-Q= -，所以实数a的取值范围是：.故选B9 .根据如下样本数据x34567y4.02.5 0.50.52.0得到的回归方程为 广匕工+庄若a=7.9,则x每增加1个单位，丫就（）A.增加1.4个单位B.减少1.4个单位C.增加1.2个单位 D,减少1.2个单位【考点】线性回归方程.【分析】首先，根据所给数据，计算样本中心点（5, 0.9）,然后，将改点代人回归方程,得到b=- 1.4 ,从而得

16、到答案.【解答】解：设变量 x, y的平均值为：7 , 土， 11 T（3十4十5十6+7）二5，5 一。.计0. 5 - 2）=0.9 ,5，样本中心点（5, 0.9）, .0.9=5 X b+7.9 b= -1.4,，x每增加1个单位，y就减少1.4 .故选：B.i - Q,则 a+b=()a、b的值，从而可10 .设复数=a+bi Q, LER)HiA. 1 B. 2 C. - 1 D. 2【考点】复数相等的充要条件.【分析】利用两个复数相等的充要条件，先利用复数的除法化简，得到求 a+b.【解答】解:故选A.11 .下列说法正确的是（）A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为：“若

17、x2=1,则xw 1”B.若命题 p： ?xCR, x22x1>0,贝U命题？p： ?xCR x2- 2x- 1< 0C.命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题D. “x=-1”是“x 2-5x-6=0”的必要不充分条件【考点】四种命题.【分析】A,写出它的否命题，即可判定真假；B,写出命题p的否定p；C,判定原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性；D,由“x=-1”得出“x 2-5x-6=0”成立，判定命题是否正确.【解答】解：对于 A,否命题是“若X2W1,则xwl"，. A错误；对于B,命题p的否定p： ? xC R x2-2x-K0,B错

18、误；对于C,命题“若x=y,则sinx=siny "是真命题，它的逆否命题是真命题，C正确;对于D, “x=-1”时，“x 2-5x-6=0"，.是充分条件，D错误；故选：C.12 .如图，在长方体 ABCD- ABCDi中，AB=BC=2 AA=1,贝U BC与平面BBDD所成角的正弦值为()【考点】直线与平面所成的角.D.【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法 求解直线与平面所成的夹角.【解答】解：以 D点为坐标原点，以DA、DC DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则 A (2, 0, 0) , B

19、(2, 2, 0) , C (0,2, 0) , C (0, 2, 1)BC = (- 2, 0, 1),菽=(-2, 2, 0),屏 .cosvBC , AC 一且为平面 BBDD的一个法向量. BC与平面BB D D所成角的正弦值为故答案为D.二、填空题(每个 5分，共20分)13.若 f(x)在R上可导，f(x)=x2+2f' (2)x+3,贝Uf (1) = 4【考点】导数的运算.【分析】根据导数的公式求函数导数，令 x=2,先求出f (2),然后令x=1即可得到结论.【解答】解： f (x) =x2+2f ' ( 2) x+3,.f (x) =2x+2f (2),当

20、x=2,则 f (2) =4+2f (2),即 f (2) =-4,1. f ( x) =x2+2xf ' (2) +3=x2 - 8x+3, .f (1) =1 - 8+3=-4,故答案为：-4.14 .已知随机变量 X服从正态分布 N (0, b 2),且P(- 2WXW 0) =0.4,则P (X> 2)=0.1.【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【分析】本题考查正态分布曲线的性质，随机变量 七服从正态分布NI (0, b2),由此知曲线的对称轴为 Y轴，可得P (0WXW2) =0.4,即可得出结论.【解答】解：二.随机变量士服从正态分布NI (0, J),且

21、P(- 2WXW 0) =0.4,P (0W X< 2) =0.4P (X>2) =0.5 - 0.4=0.1故答案为：0.1 .15 .图中阴影部分的面积等于1 .【分析】根据题意，所求面积为函数3x2在区间上的定积分值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案.【解答】解：根据题意，该阴影部分的面积为J故答案为：1=x3 | J = (13 03) =116 .观察下列式子：亨 2, 1 22 3222 W 4，根据上述规律，第 n个不等式1应该为1 +N+3+1)2n+l-13 -/ 16【考点】归纳推理.【分析】根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分

22、母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以 3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论.【解答】解：根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第 n个不等式应该为1 +22+ 32故答案为:11+7T+ Cn+L)21+5"+o32Cn+1)22"1:不一2nHn+1三、解答题(本题共 6道小题，17题10分，18-22每个12分，共70分)17 .求实数 m取什么值时，复平面内表示复数z= (mf-8m+15)+ (mi - 5m- 14) i的点位于第四象限.【考点】复数的

23、代数表示法及其几何意义.【分析】复平面内表示复数z= (m2-8m+15)+ (m2-5m- 14) i的点位于第四象限，可得 m2-8m+15>0, m2 - 5m- 14<0,利用一元二次不等式的解法即可得出.【解答】解：,复平面内表示复数z= (m2-8m+15 + (mf-5mT4) i的点位于第四象限， .m2-8m+15>0, m2-5m- 14v0,联立分别解得：m> 5或mx 3, - 2<mK 7.1- - 2<mx 3,或 5V mK 7.，当-2v mx 3,或5Vm<7时，复平面内表示复数 z= (mi- 8m+15)+ (mf

24、- 5m- 14) i的点 位于第四象限.18.已知a、b、c都是正数，若 a+b+c=1,求证： a.6.【考点】不等式的证明.【分析】由a、b、c都是正数,a+b+c=1,得到【解答】证明：: a、b、c都是正数，a+b+c=1,仅当a=b=c=l取得等号19 .某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核.规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校234的自主招生考试.学生甲三轮考试通过的概率分别为二，二，亳，且各轮考核通过与否Q'3R-J相互独立.(1)求甲通过该高校自主招生考试的概率；(2)若学生甲每通过一轮

25、考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金.记学生甲得到教育基金的金额为 X,求X的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)由题意利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲通过该高校自主招生考试的概率.(2)由题意得X的可能取值为0, 100, 200, 300,分别求出相应的概率，由此能求出 X的分布列和EX【解答】解：(1)由题意得甲通过该高校自主招生考试的概率：尸二3 x445(2)由题意得X的可能取值为0100200300,(X=0) =1 (X=100)二二一(X=200)二二二二J心110(X=300)X的分布列为:100

26、20030010EX=0X京加X芬2O0X青融对0703x轴正半轴，直线l的参数方程为20 .已知极坐标系的原点在直角坐标系的原点处，极轴为Ly=t(t为参数)，曲线 C的极坐标方程为p=4cos。.(1)写出C的直角坐标方程，并说明 C是什么曲线?(2)设直线l与曲线C相交于P, Q两点，求|PQ| .【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.【分析】(1)把曲线C的极坐标方程利用 x= p cos 0 , y= p sin 0化为直角坐标方程，可得它表示的曲线.(2)把直线l的参数方程消去参数，化为普通方程为x-/3 y+1=0,求出弦心距d的值，再利用弦长公式求得弦长【解答】解

27、：(1)曲线C的极坐标方程为 p=4cos。，即 p2=4p cos。，化为直角坐标方程为(x - 2) 2+y2=4,表示以(2, 0)为圆心、半径等于 2的圆.r«= - H-1/31（2）把直线i的参数方程为'口（t为参数），消去参数，化为普1尸土通方程为x-y+i=0,II2- 0+11q弦心距d=2±_LJ±旦,故弦长为V1+322&2 _ （=2>-总=21 .以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系r , vsk-5 " t中取相同的长度单位，已知直线 l的参数方程为（t为参产一 元数），圆C的极坐标方程为 p =4cos （ 0 -）.（I）求直线l和圆C的直角坐标方程；（n）若点P （x, y）在圆C上，求x+J y的取值范围.【考点】