七年级数学全等三角形模型

1、个性化辅导教案教师版（第讲）学科:数学教师:学生:年级:七年级授课时间:课题全等三角形模型教学目标1掌握一线三直角、手拉手的三角形全等模型，并会运用解决相关的几何证明问题；2掌握角平分线定理和线段垂直平分线定理，并会应用定理解决相关的几何证明问题教学过程说明：根据上次课的预习内容（一线三直角），要求学生相互讨论图1的解题过程和答案，再根据图1的解题思路独立完成图2和图3。在平面直角坐标系中，a（0 ， 3），点b的纵坐标为2，点c的纵坐标为0，当a、b、c三点围成等腰直角三角形时，求点b的坐标；（1）如图1，当点c为直角顶点：b（，）；（2）如图2，当点b为直角顶点：b（，）；（3）如图3，当

2、点a为直角顶点：b（，） 图1 图2 图3案例1：如图，abc与ade是等边三角形，（1）观察图1，ce与bd的数量关系是：，直线ce与直线bd的所夹的角度大小为：；（填锐角）（2）如图2和图3，（1）中的结论是否还成立？如果成立，请选择一个图形说明理由；如果不成立，请写出此时的结论，答案：（1）ce=bd，60°（2）图2和图3时，（1）中结论仍成立；选择图2证明如下:abc与ade是等边三角形，ab=ac，ad=ae ，bac=dae=60°bac+cad=dae+cad 即：bad=cae在abd与ace中，ab=ac，bad=cae，ad=aeabdace（sas）

3、 bd=ce延长bd交ce延长线于f，abdaceabd=acebfc=180°-cbf-bcf=180°-cbf-bac-ace=180°-cbf-bac-abd=60°思考：本题可以理解为ade绕点a旋转，有2种特殊情况（点d在ac和ab上时）需要学生掌握。案例2：如图甲，在abc中，ab=ac，ab的垂直平分线交ab于n，交bc的延长线于m，问题1：若a=40°，求nmb的大小问题2：如图乙，如果将问题1中a的度数改为70°，其余条件不变，再求nmb的大小问题3：根据问题1，2的计算，你能发现其中的蕴涵的规律吗？请写出你的猜想并

4、证明问题4：如图丙，将问题1中的a改为钝角，其余条件不变，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？请你把a代入一个钝角度数验证你的结论答案：问题1: nmb =20°问题2：nmb=35°问题3：等腰三角形腰上的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半；证明如下：设a=，则有b=（180°-）nmb=90°-（180°-）=问题4：不需修改，当a=120°时，nmb=60°，结论成立案例3：如图，abc外角mac与nca的平分线相交于点p，求证：bp为abc的平分线。问题1：如图，过p作pdba于d，peac于e，pfbc

5、于f.pa平分macpd=pe同理可得pe=pfpd=pf. 又pdbm，pfbc， 点p在abc的平分线上，即bp为abc的平分线. 1在平面直角坐标系中，点p（1，2），当pao是等腰直角三角形，点a的坐标为（至少写出4个）2如图，点c是线段ae上的一点，在ae同侧作等边三角形abc和cde，联结ad、be，分别交bc、cd于点p、q，be与ad交于点o，联结pq；下列结论：acdbce；ap=bq；pqae；aob=60°；dp=qe其中正确的结论有，说明理由；3已知在abc中，cab的平分线ad与bc的垂直平分线de交于点d，dmab与m，dnac交ac的延长线于n，你认为b

6、m与cn之间有什么关系？试证明你的发现答案：1（3，1）或（-1，3）或（2，-1）或（-2，1）或或2；3答案：bm=cn理由：联结bd，cd，ad平分bac，dmab，dnac，dm=dn，de垂直平分bc，bd=cd，在rtbmd与rtcnd中bdcd，dmdnrtbdmrtcdn（hl），bm=cn补充类提高题1已知man=120°，ac平分man， （1）如图1，若abc=adc=90°，请你探索线段ad、ab、ac之间的数量关系，并证明之； （2）如图2，若abc+adc=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由

7、（3）如图3，如果d在am的反向延长线上，abc=adc，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论，直接写出你的结论（图1）（图2）（图3）答案：（1）关系是：ad+ab=ac证明：ac平分man，man=120° cad=cab=60°又adc=abc=90°， acd=acb=30°则ad=ab=ac ad+ab=ac（2）仍成立证明：过点c分别作am、an的垂线，垂足分别为e、fac平分man ce=cfabc+adc=180°，adc+cde=180°cde=abc又ced=cfb=90&#

8、176;，cedcfb（aas）ed=fb，ad+ab=ae-ed+af+fb=ae+af由（1）知：ae+af=ac ad+ab=ac（3）不成立，ab-ad=ac让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾一线三直角模型：图形旋转模型：线段垂直平分线模型：角平分线模型：课后作业【30分钟】1如图，在abc中，ad为bac的平分线，fe垂直平分ad，交ad于e，交bc的延长线于f，b=35°，bda=120°，,则caf的度数为（ ）a、25° b、35° c、45° d、60°答案：

9、b2如图，e是ab延长线上一点，分别以ab、be为一边在直线ae同侧作正方形abcd和正方形befg，联结ag、ce（1）试探究线段ag与ce的数量关系与位置关系：；（2）将正方形befg绕点b逆时针旋转一个锐角后，如图，问（1）中结论是否仍然成立，说明理由答案：2.（1）ag=ce，agce（2）ag=ce，agce仍然成立理由如下：在正方形abcd和正方形befg中，ab=cb，bg=be，abc=ebg=90°，abg=abc-cbg，cbe=ebg-cbg， abg=cbe，在abg和cbe中， abcb，abgcbe，bgbeabgcbe（sas）， ag=ce延长ag交c

10、e于p，延长ce交ab延长线于q，abgcbebag=bcebce+cqb=90°bag +cqb=90°apq=90° 即agce3如图，已知bc > ab，a+c=180º，bd平分abc。求证：点d在线段ac的垂直平分线上。（要求使用角平分线定理）解析：根据角平分线定理来作辅助线，过点d作ba、bc的垂线预习思考：1等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两底角；（2）等腰三角形底边上的高，底边上的，顶角的互相重合（三线合一）；2等边三角形的性质：等边三角形每个角都等于，同样具有“三线合一”的性质；3直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角；（2）直角三角形中30°