作业分析弹性力学

1、作业1,3作业中作业中1,3两题主要问题符号写法不规两题主要问题符号写法不规范。范。希腊字母写法如下，箭头中箭尾为发笔希腊字母写法如下，箭头中箭尾为发笔处，按箭头指向书写：处，按箭头指向书写：作业2以及相同题型例题矩形截面的柱体受到顶部的集中力 和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数求解其应力分量。F2332DyCxyBxyAyMF245qqhyxo b/2 b/2 ) 1,(bh书中课后题坐标轴与此处不同。课后题中由于坐标不同导致将第3步边界条件代入第2步方程时，除了A，B，C，D四个未知量以外，还有y没有消去，因此无法计算结果。 解：应用上述应力函数求解： (2) 求应力分量，在无体力下，

2、。)3(, 0,662CyBDyCxyAxyyx（1 1）相容条件：将应力函数代入相容）相容条件：将应力函数代入相容方程方程.（写出具体形式），写出每项（写出具体形式），写出每项结果结果.，得出结论，得出结论.(3)考察边界条件，在主要边界主要边界),2/(by2/ 2, 0, 3 , .(a)4yxyybqBCbq 满足；. ,)3( d)(b/2b/2-202/2/bFAFDyAyFyxhhx得，在小边界小边界（ x= 0）与第二步结论一致。左边界为y的正面，在这个面上的切应力方向与x轴正反向相反，因此等于-q。正应力的方向就是应力主矢量的正方向。上表面为x的负面，分力的反向与x轴正方向一

3、致，因此此处符号为-/20/22b/233-b/2()d,2 (2),;2hxxhyyMyMADyMDb 得/20/2b/232-b/2()d 1 ()(b)4hxyxhyFFByCyFBCbb ，得。正应力乘以正的力臂，得出力矩反向就是应力主矩的正方向。上表面正应力向上，力臂正方向向左。因此，应力主矩正方向顺时针。再由(a),(b)式解出).3(21 ),(22bFqBbFqbC代入，得应力解答，。2232)(6)3(21,0,12)(12ybFqbbFqybMxybFqbbFxyyx例题1 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计， 图3-5，试用应力函数 求解应力分量

4、。hl 332DxyCyByAxy图3-5xxyMsFNFydyyxl h/2 h/2o) 1,(hl解： 本题是较典型的例题，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解。1. 将 代入相容方程， 显然是满足的。2. 将 代入式(2-24)，求出应力分量。)3( ,0,6622DyADxyCyBxyyx.04 3. 考察边界条件： 主要边界 上应精确满足式(2-15),2/hy/22/2()0, 3()0, 0 . (a) 4yyhxyyhADh满足；得 在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的 的正方

5、向，由此得：xyx 和/20/2( )d, ;2hNxxNhFyFBh 得/203/22( )d, ;hxxhMy yMCh得/230/21( )d, . (b)4hxYxsshyFAhDhF得由(a),(b) 解出332 , . 2ssFFADhh 最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。代入应力公式，得33221212 , 0,3(14).2NsxysxyFFMyxyhhhFyhh 例题2 挡水墙的密度为 ，厚度为b,图示,水的密度为 ，试求应力分量。12yox2b2bg1g2解：用半逆解法半逆解法求解。1. 假设应力分量

6、的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上， y=b/2 边界上， ，所以可假设在区域内 沿x 向 也是一次式变化，即 ; 0ygxy2y。)(yxfy2. 按应力函数的形式，由 推测 的形式，2221312(), ()( ) , 2()( )( ).6yxfyxx fyfyxxfyxfyfyy所以3. 由相容方程求应力函数。代入 得, 04 .0dd2dddddd622424414443yfxyfyfxyfx要使上式在任意的x处都成立，必须 43244254321142432224d0 , ;ddd20, ;dd106d0, .dffAyByCyDyffABfyyGyHyIyyyf fEyFy

7、y得得得 代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。 4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24) ,注意 ， 体力求得应力分量为0 ,1yxfgf232321 (3 (2262)(62),xxBxfxAyyxAyByGyHEyFgx2322 (),yyyfx AyByCyDx222432(32)22 (32).23xyxA yB yCxyAByyG yH yI 5. 考察边界条件：主要边界主要边界 上,有2/by/22( ), yy bgx/2( )0,yyb/2( )0, xyyb322(); (a)842bbbx ABCDgx32()0;(b)842bbbxAB

8、CD224323 ( )243 ()0.32124xbABb CbbbABGHb I得得得由上式得到23 0 (c,d)4bABbC43230 (e,f )32124bbbABGHbI求解各系数，由(a)+ (b )(a)-(b)321 , 822bbACg 23C0 4bA。221 , 42bBDg 321 , 822bbACg (c)-(d )(c)+ (d )得得得得由此得22323, .2AgCgbb 又有. 04332 )()(0 )()(24IbGbAfeHfe得，得代入A,得223 . (g)164bbIgG 在次要边界次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：/20/

9、2/20/22/202/2( )d0, 0 ;( )d0, 0 ;( )d0, . (h)804bxxbbxxbbxyxbyFyyEbbyIgG得得得由式(g),(h)解出 . 101 ,8022gbGgbI代入应力分量的表达式得最后的应力解答：332221333232322233234 , 521 (2);3233 (3)()41080 xyxygggx yxyxygxbbbyygxbbyyybgxgybbbby。例题3已知, )();()( )(42223422222EyDxyyCxyBxAxbyxCBxyxaAya试问它们能否作为平面问题的应力函数？解： 作为应力函数，必须首先满足相容方

10、程，.04 将 代入，(a) 其中A= 0，才可能成为应力函数；(b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。例题4图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩 的作用，试用应力函数求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。2FbM ,23BxAxbbAyxhOFFb/2) 1,(bh解： 应用应力函数求解：(1) 校核 相容方程 ，满足.04 (2) 求应力分量 ，在无体力时，得. 0 ,26xyxyBAx(3) 考察主要边界条件主要边界条件， , 0, 0 ,xxyxb均已满足考察次要边界条件次要边界条件，在y=0上，0()0, xyy0()d,byybxF 0

11、()d,2byybFbxx 满足。;2FBb 28FAb 。得得 上述应力已满足了 和全部边界条件，因而是上述问题的解。04 代入，得应力的解答，.0 ),231 (2xyxybxbF(4) 求应变分量，。0 ),231 (2),231 (2xyyxbxEbFbxEbF(5) 求位移分量，3(1), 22xuFxxxE bb由对积 分 得3 (1), 22yvFxyyEbb 由对积 分 得213()();24FxuxfyEbb23()( ).22FxyvyfxEbb 将u,v代入几何方程的第三式，。0 xyyuxv两边分离变量，并全都等于 常数，即212d( )d( )3,dd4fxfyFyx

12、yEb 从上式分别积分，求出20(),fxxv21023( )8FfyyyuEb。代入u,v, 得2202033(),2483().22FxFuxyyuEbbEbFxyvyxvEbb 再由刚体约束条件，0,()0,xyhuy0,( )0,xyhu0,( )0,xyhv234FhE b；2038FhE bu；0.2FvhE b得得得22233()()2483()(1)22FxFuxhyEbbEbFxvhyEbb，。代入u,v,得到位移分量的解答在顶点x=y=0，0( ).2xyFhvEb例题5 图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数, 333533FxyExDxyyCxB

13、xyyAx求解应力分量。yx6ql3qllxqo h/2 h/2l) 1,(lh 解：应用上述应力函数求解：(1) 将 代入相容方程，。得B35ABA , 012072 , 04由此，。FxyExDxyyCxBxyyBx33353335(2) 代入应力公式，在无体力下，得。，)33515(66106201022422333FDyCxByyBxExCxyBxyDxyBxyyBxxyyx(3) 考察主要边界条件主要边界条件),2/(hy得 , 0 , 2/xyhy。0)43165()4153(2422FDhBhBhCx对于任意的x值，上式均满足，由此得,041532BhC。04316524FDhB

14、h(a)(b),0)6345( ,0 ,2/3EChBhxhyy.)6345(, 2/3lxqEChBhxlxqhyy(c)(d)由(3)+(4)得。lqE12由(3)-(4)得。lhqCBh23452由(5)-(1)得(e)。lhqClhqB4 ,53(4) 考察小边界小边界上的边界条件(x=0),由,6d)(02/2/qlyxhhxy得53.1646hhqlBDFh 由式(2)和(6)解出).480(),1013(3hllhqFlhhlqD（f）另两个积分的边界条件，.0d)(,0d)(02/2/02/2/yyyxhhxxhhx显然是满足的。 于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。

15、222222323222232(2),10(134),2(14)(3).420 xyxyxy lxyqlhhhxyyqlhhqylxhyhhlhllh 读者试校核在x=l的小边界上，下列条件是满足的，.3d)(,0d)( 0d)(2/2/2/2/2/2/qlyyyylxhhxylxhhxlxhhx， 现以如图所示的混凝土深梁为例，应用应力函数的差分解求出应力分量。已知混凝土深梁上边受有均布向下的铅直荷载q，并由下角点处的反力维持平衡。作业4类似题型 解：本题具有的两个对称轴，为了反映对称性，在 y 向外荷载作用下，取 网格结点编号如图所示。 ()()0.AAAxy作业第一个错误：没有说作业第一

16、个错误：没有说明对称性！这一步一定要明对称性！这一步一定要有，因为对称，因此可以有，因为对称，因此可以只分析一半。只分析一半。（其中 即AB之间面力对B点的力矩，图中以顺 时针方向为正）。()d ,()d ,()d()d ,BBBBBxyBBAABBxyAAfsfsyxyy fsxxfs B作业第二个错误：没有给出公作业第二个错误：没有给出公式！给出公式表中错误可认为式！给出公式表中错误可认为计算错误，没有公式表示物理计算错误，没有公式表示物理意义不清楚，计算也不正确意义不清楚，计算也不正确 然后由面力的矩及面力之和算出边界上所有各结点处 的值，以及所必需的一些 及 值，即即垂直于边界方向的导数值垂直于边界方向的导数值，公式如下：xy由上面公式所得的计算结果见下表。作业中第三个错误：1. 应力函数（题中指出：应用应力函数的差分解求出应力分量）是每个点都需要求解，因此第三行每个点都要求。求解公式见上页。 2. 都可称为的一阶偏导，它们的作用是一样的，因此，只需要计算其中一个或者都不需计算。不需计算处划横杠，计算不需计算处划横杠，计算