人教版初中九年级上册数学《24.2.2 直线和圆的位置关系》课件

1、第一课时第一课时第二课时第二课时第三课时第三课时人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册第一课时第一课时返回返回 如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们几种位置关系？我们把太阳看作一个圆，把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和由此你能得出直线和圆的位置关系吗？圆的位置关系吗？导入新知导入新知2. 会从会从公共点的个数公共点的个数或或d和和r的数量关系的数量关系判定判定直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系.1. 知道知道直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系及有关概念及有关概念.素养目标素养

2、目标问题问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？一下，直线和圆有几种位置关系吗？探究新知探究新知知识点 1问题问题2 如图，在纸上画一条直线如图，在纸上画一条直线 l，把钥匙环看作一，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线的过程中，它与直线l的公共点的个数吗？的公共点的个数吗？探究新知探究新知问题问题3 请同学在纸上画一条直线请同学在纸上画一条直线l，把硬

3、币的边缘看，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？时有几个？l02探究新知探究新知探究新知探究新知直线与圆的直线与圆的位置关系位置关系 图形图形 公共点个数公共点个数 公共点名称公共点名称 直线名称直线名称2个交点1个切点切线0个相离相切相交位置关系位置关系公共点个数公共点个数填一填填一填探究新知探究新知 直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做时，这条直线叫做圆的切线（

4、如图直线圆的切线（如图直线l），这个唯，这个唯一的公共点叫做一的公共点叫做切点（如图点切点（如图点A）.AlO探究新知探究新知（1）直线与圆最多有两个公共点直线与圆最多有两个公共点.（2）若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. （3）若若A是是 O上一点，则直线上一点，则直线AB与与 O相切相切. （4）若若C为为 O外一点，则过点外一点，则过点C的直线与的直线与 O相交或相交或相离相离. （5）直线直线a 和和 O有公共点，则直线有公共点，则直线a与与 O相交相交.练一练：判断正误。练一练：判断正误。探究新知探究新知问题问题1 同学们用直尺在圆上移动的过程

5、中，除了发现同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？探究新知探究新知知识点 2知识链接： 点到直线的距离是指从直线外一点（点到直线的距离是指从直线外一点（A）到直线）到直线（l）的垂线段（）的垂线段（OA）的长度）的长度.lAO问题问题2 怎样用怎样用d(圆心与直线的距离圆心与直线的距离)来判别直线来判别直线与圆的位置关系呢？与圆的位置关系呢？Od探究新知探究新知 直线和直线和 O相交相交 直线和直线和 O相离相离直线和直线和

6、O相切相切dr；d = r.dr； 根据直线和圆相交、相切、相离的定义：根据直线和圆相交、相切、相离的定义：根据直线和圆相切的定义，经过点根据直线和圆相切的定义，经过点A用直尺近用直尺近似地画出似地画出 O的切线的切线.O探究新知探究新知A直线和圆相交直线和圆相交d r数形结合：数形结合：位置关系位置关系数量关系数量关系合作探究rdrdrd（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）ooo公共点个数公共点个数要要点点归归纳纳两个两个一个一个0个个探究新知探究新知BCA43例例1 在在RtABC中，中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以，以C为为圆心，圆心，r为半径的圆与为半径的圆与

7、AB有怎样的位置关系？为什么？有怎样的位置关系？为什么？(1) r=2cm；(2) r=2.4cm； (3) r=3cm分析：分析：要要了解了解AB与与 C的位置关系，只的位置关系，只要知道圆心要知道圆心C到到AB的距离的距离d与与r的关的关系已知系已知r，只需求出，只需求出C到到AB的距离的距离d.D利用利用r和和d的大小关系识别直线与圆的位置关系的大小关系识别直线与圆的位置关系素养考点素养考点探究新知探究新知解：解：过过C作作CDAB，垂足为，垂足为D.在在ABC中，中，AB=22ACBC22345.根据三角形的面积公式有根据三角形的面积公式有11.22CDABACBC342.4(cm),

8、5ACBCCDAB即圆心即圆心C到到AB的距离的距离d=2.4cm.所以所以 (1)当当r=2cm时时,有有d r,因此因此 C和和AB相离相离.BCA43Dd记住：斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边.探究新知探究新知（2）当）当r=2.4cm时时,有有d=r.因此因此 C和和AB相切相切.BCA43Dd（3）当）当r=3cm时，有时，有dr，因此，因此， C和和AB相交相交.BCA43Dd探究新知探究新知ABCAD453 1. RtABC,C=90AC=3cm，BC=4cm，以，以C为圆心画圆，当半径为圆心画圆，当半径r为何值时，圆为何值时，圆C与直线与直线AB没没有公共点？有公共点？当当

9、0cmr2.4cm或或r4cm时时, C与线段与线段AB没有公共点没有公共点.巩固练习巩固练习解解: : 2. RtABC,C=90，AC=3cm，BC=4cm，以，以C为圆心画圆，当半径为圆心画圆，当半径r为何值时，圆为何值时，圆C与线段与线段AB有一个公共点？当半径有一个公共点？当半径r为何值时，圆为何值时，圆C与线段与线段AB有两个公共点？有两个公共点？ABCAD453当当r=2.4cm或或3cm r4cm时时, C与与线段线段AB有一个公共点有一个公共点.当当2.4cmr3cm 时时, C与线段与线段AB有两公共点有两公共点.巩固练习巩固练习解解: :3. 圆的直径是圆的直径是13cm

10、，如果直线与圆心的距离分别是，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ；（；（2） 6.5cm ；（；（3） 8cm； 那么直线与圆分别是什么位置关系？那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？有几个公共点？（3）圆心距）圆心距 d=8cmr = 6.5cm 直线与圆相离，直线与圆相离，有两个公共点；有两个公共点；有一个公共点；有一个公共点；没有公共点没有公共点.AB6.5cmd=4.5cmOM（2）圆心距圆心距d=6.5cm = r = 6.5cm 直线与圆相切，直线与圆相切，NO6.5cmd=6.5cm解解:（1） 圆心距圆心距d=4.5cm r = 6.5cm 直线与圆相交，

11、直线与圆相交， DO6.5cmd=8cm巩固练习巩固练习例例2 如图，如图，RtABC的斜边的斜边AB=10cm,A=30. 以点以点C为圆心，当半径为多少时，为圆心，当半径为多少时，AB与与C相切？相切？ACB解：解：过点过点C作边作边AB上的高上的高CD.DA=30，AB=10cm,15cm.2BCAB在在RtBCD中，有中，有22152.5cm,3cm.22BDBCCDBCBD当半径为当半径为 时，时，AB与与C相切相切.53cm2探究新知探究新知4. 如图，已知如图，已知AOB=300，M为为OB上一点，且上一点，且 OM=5cm，以以M为圆心、为圆心、r为半径的圆与直线为半径的圆与直

12、线OA 有怎样的位置关系？有怎样的位置关系？为什么？为什么？(1) r=2cm(2) r=4cm(3) r=2.5cmOABD答案答案： (1)相离相离(2)相交相交(3)相切相切巩固练习巩固练习1.已知已知 O的半径为的半径为5cm，圆心，圆心O到直线到直线l的距离为的距离为5cm，则直线，则直线l与与 O的位置关系为（）的位置关系为（）A相交相交 B相切相切C相离相离 D无法确定无法确定巩固练习巩固练习连 接 中 考连 接 中 考B连接中考连接中考2.已知直线已知直线y=kx（k0）经过点（）经过点（12，5），将直），将直线向上平移线向上平移m（m0）个单位，若平移后得到的直）个单位，若

13、平移后得到的直线与半径为线与半径为6的的 O相交（点相交（点O为坐标原点），则为坐标原点），则m的的取值范围为取值范围为 巩固练习巩固练习连 接 中 考连 接 中 考130 2m.O.O.O.O .O1.看图判断直线看图判断直线l与与O的位置关系？的位置关系？(1)(2)(3)(4)(5) 相离相离 相交相交 相切相切 相交相交?注意：注意：直线是可以无直线是可以无限延伸的限延伸的 相交相交课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2直线和圆相交，圆的半径为直线和圆相交，圆的半径为r, 且且圆心圆心到到直线直线的距离的距离为为5，则有（，则有（ ） A. r 5 C. r = 5 D

14、. r 5B课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题3. O的最大弦长为的最大弦长为8，若圆心，若圆心O到直线到直线l的距离为的距离为d=5，则直线则直线l与与O .相离相离4. O的半径为的半径为5,直线直线l上的一点到圆心上的一点到圆心O的距离是的距离是5，则直线则直线l与与O的位置关系是（的位置关系是（ ）A. 相交或相切相交或相切 B. 相交或相离相交或相离 C. 相切或相离相切或相离 D. 上三种情况都有可能上三种情况都有可能A课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中， A与与y轴相切于原点轴相切于原点O，平

15、，平行于行于x轴的直线交轴的直线交 A于于M、N两点若点两点若点M的坐标是的坐标是(4，2)，则点，则点N的坐标为的坐标为( () )A(1，2) B(1，2)C(1.5，2) D(1.5，2)A课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题 已知已知O的半径的半径r=7cm,直线直线l1 / l2,且且l1与与O相切相切,圆心圆心O到到l2的距离为的距离为9cm.求求l1与与l2的距离的距离.ol1l2ABCl2解：解：（1） l2与与l1在圆的在圆的同一侧同一侧： m=9-7=2 cm（2）l2与与l1在圆的在圆的两侧两侧： m=9+7=16 cm课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓

16、 广 探 索 题直线与直线与圆的位圆的位置关系置关系定 义定 义性 质性 质判 定判 定相 离相 离相 切相 切相 交相 交公 共 点 的 个 数公 共 点 的 个 数d与与r的数量关系的数量关系定义法定义法性质法性质法相离相离:0个个; ;相切：相切：1个个; ;相交：相交：2个个相离相离:dr;相切相切:d=r相交相交:dr：相离：相离; ;d=r: :相切相切dr：相交：相交课堂小结课堂小结第二课时返回返回 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？出的火花，都是沿着什么方向飞出的？导入新知导入新知都是沿着圆的切线的方向飞出

17、的都是沿着圆的切线的方向飞出的3. 能运用圆的切线的判定定理和性质定理解能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题决问题.1. 会判定一条直线是否是会判定一条直线是否是圆的切线圆的切线并会过圆并会过圆上一点上一点作圆的切线作圆的切线.2. 理解并掌握圆的理解并掌握圆的切线的判定定理切线的判定定理及及性质性质定理定理.素养目标素养目标 如图，在如图，在 O中经过半径中经过半径OA的的外端点外端点A作直线作直线lOA,则圆心则圆心O到到直线直线 l 的距离是多少？的距离是多少？ 这时圆心这时圆心O到直线到直线 l 的距离就是的距离就是 O的半径的半径Alo 直线直线 l 和和 O有什么位置关系有什

18、么位置关系? 由由d=r 直线直线 l 是是 O的切线的切线探究新知探究新知知识点 1ABC问题：问题：已知圆已知圆O上一点上一点A，怎样根据圆的切线定，怎样根据圆的切线定义过点义过点A作圆作圆O的切线？的切线？观察观察：（1） 圆心圆心O到直线到直线AB的距的距离和圆的半径有什么数量关系离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？二者位置有什么关系？为什么？O探究新知探究新知经过半径的外端并且垂直于这条半经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的径的直线是圆的切线切线. .OA为为 O的半径的半径BC OA于ABC为为 O的切线的切线ABC 切线的判定定理切线的判定定理应

19、用格式应用格式O探究新知探究新知 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？说明为什么？O.lAO.lABAOl(1)(2)(3)(1)(1)不是，因为没有垂直不是，因为没有垂直. .(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点不是，因为没有经过半径的外端点A. 在切线的判定定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.注意探究新知探究新知判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线我们说这条直线是圆的切线; ;2.数量关系法：

20、圆心到这条直线的距圆心到这条直线的距离等于半径离等于半径( (即即d=r) )时，直线与圆相切；时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线于这条半径的直线是圆的切线. .lAlOlrd要要点点归归纳纳探究新知探究新知例例1 如图如图,ABC=45，直线直线AB是是O上上的直径，点的直径，点A,且且AB=AC.求证：求证：AC是是O的切线的切线. 分析：分析：直线直线AC经过半径的一端，因此只要证经过半径的一端，因此只要证OA垂直于垂直于AB即可即可.证明：证明： AB=AC，ABC45，ACBABC45. BAC=180-ABC- ACB

21、=90. AB是是O的直径，的直径， AC是是O的切线的切线.AOCB通过证明角是通过证明角是9090判断圆的切线判断圆的切线素养考点素养考点 1探究新知探究新知 1. 如图如图 所示，线段所示，线段 AB 经过圆心经过圆心 O，交，交 O 于于点点 A、C，BADB30，边，边 BD 交圆于交圆于点点 D.BD 是是 O 的切线吗？为什么？的切线吗？为什么？图图 24-2-11巩固练习巩固练习解：解：BD 是是 O 的切线的切线连接连接 OD, ODOA，A30， DOB60.B30，ODB90.BD 是是 O 的切线的切线例例2 已知：直线已知：直线AB经过经过 O上的点上的点C，并且，并

22、且OA=OB，CA=CB.求证：直线求证：直线AB是是 O的切线的切线.证明证明：连接连接OC(如图如图). OAOB,CACB, OC是等腰三角形是等腰三角形OAB底边底边AB上的中线上的中线. ABOC. OC是是 O的半径的半径, AB是是 O的切线的切线.通过证明垂直判断圆的切线通过证明垂直判断圆的切线素养考点素养考点 2探究新知探究新知2. 如图如图,ABC 中，中，AB AC ，O 是是BC的中点，的中点， O 与与AB 相切于相切于E. 求证：求证：AC 是是 O 的切线的切线BOCEA分析：分析：根据切线的判定定理，要证明根据切线的判定定理，要证明AC是是 O的切线，只要证明由

23、点的切线，只要证明由点O向向AC所作的垂线段所作的垂线段OF是是 O的半径就的半径就可以了，而可以了，而OE是是 O的半径，因此的半径，因此只只需要证明需要证明OF=OE.F巩固练习巩固练习证明：证明：连接连接OE ，OA, 过过O 作作OF AC. O 与与AB 相切于相切于E ， OE AB.又又ABC 中，中，AB AC ，O 是是BC 的中点的中点AO 平分平分BAC，FBOCEAOE OF.OE 是是 O 半径，半径，OF OE，OF AC.AC 是是 O 的切线的切线又又OE AB ，OFAC.巩固练习巩固练习如图，已知直线如图，已知直线AB经过经过 O上的上的点点C，并且，并且O

24、AOB，CACB求证：直线求证：直线AB是是 O的切线的切线.CBAO如图，如图，OAOB=5，AB8, O的直径为的直径为6.求证：直线求证：直线AB是是 O的切线的切线.CBAO对比思考作垂直作垂直连接连接方法归纳探究新知探究新知(1) 有交点，连半径,证垂直;(2) 无交点，作垂直,证半径.证切线时辅助线的添加方法证切线时辅助线的添加方法例1例2有切线时常用辅助线添加方法有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直.切线的其他重要结论切线的其他重要结论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.要要点点归归纳纳探究新知探究新知思考：思考：

25、如图，如果直线如图，如果直线l是是 O 的切线，点的切线，点A为切为切点，那么点，那么OA与与l垂直吗？垂直吗？AlO直线直线l是是 O 的切线，的切线，A是切点是切点.直线直线l OA. 切线性质切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径 应用格式应用格式探究新知探究新知知识点 2证明：证明：假设假设AB与与CD不垂直不垂直,过点过点O作一条直径垂直于作一条直径垂直于CD,垂垂足为足为M. 则则OMOA,即圆心到直线即圆心到直线CD的距离的距离小于小于 O的半径的半径, 因此因此,CD与与 O相交相交. 这与已知条件这与已知条件“直线与直线与 O相切相切”相矛盾相矛盾.CDBOA所以所以AB与与

26、CD垂直垂直.M证法1：反证法.u 性质定理的证明性质定理的证明探究新知探究新知CDOA证法2：构造法.探究新知探究新知 作出小作出小 O的同心圆大的同心圆大 O，CD切小切小 O于点于点A,且且A点为点为CD的中点的中点. 连接连接OA,根据垂径定理，则根据垂径定理，则CD OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径即圆的切线垂直于经过切点的半径 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.探究新知探究新知 方法点拨例例3 如图，如图，PA为为 O的切线，的切线，A为切点直线为切点直线PO与与 O交于交于B、C两点，两点，P30，连接，

27、连接AO、AB、AC.(1)求证：求证：ACB APO；(2)若若AP ，求，求 O的半径的半径3分析分析：(1)根据已知条件我们易得根据已知条件我们易得CAB=PAO=90，由由P=30可得出可得出AOP=60，则则C=30=P，即即AC=AP；这样就这样就凑齐了角边角，可证得凑齐了角边角，可证得ACB APO；OABPC(2)由已知条件可得由已知条件可得AOP为为直角三角形，因此可以通过解直角直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径三角形求出半径OA的长的长.切线性质的应用切线性质的应用素养考点素养考点 3探究新知探究新知(1)求证：求证：ACB APO；OABPC在在ACB和和APO

28、中，中，BACOAP，ABAO，ABOAOB，ACB APO（ASA）.证明：证明：PA为为 O的切线，的切线，A为切点，为切点，又又P30，AOB60，又又OAOB，AOB为等边三角形为等边三角形 ABAO，ABO60.又又BC为为 O的直径，的直径，BAC90.OAP90.探究新知探究新知(2)若若AP ，求，求 O的半径的半径OABPC3AO1，CBOP2，OB1，即即 O的半径为的半径为1.解：解：在在RtAOP中，中，P30，AP = ，3探究新知探究新知3. 如图所示，点如图所示，点 A 是是 O 外一点，外一点，OA 交交 O 于点于点 B，AC 是是 O 的切线，切点是的切线，

29、切点是 C，且，且A30，BC1.求求 O 的半径的半径巩固练习巩固练习解：解：连接连接 OC. 因为因为AC 是是 O 的切线的切线，所以所以OCA 90. 又又 A30， COB60 OBC 是等边三角形是等边三角形 OBBC1，即即 O 的半径为的半径为 1. 如图，在如图，在 O中，中，AB为直径，为直径，AC为弦过为弦过BC延延长线上一点长线上一点G，作，作GDAO于点于点D，交，交AC于点于点E，交，交 O于点于点F，M是是GE的中点，连接的中点，连接CF、CM判断判断CM与与 O的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由；连 接 中 考连 接 中 考巩固练习巩固练习解：解：C

30、M与与 O相切相切理由如下：连接理由如下：连接OC，如图，如图，GDAO于点于点D，G+GBD=90，AB为直径，为直径，ACB=90，M点为点为GE的中点，的中点，MC=MG=ME，G=1，OB=OC，B=2，1+2=90，OCM=90，OCCM，CM为为 O的切线；的切线；连 接 中 考连 接 中 考巩固练习巩固练习 1. 判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确. 经过半径外端的直线是圆的切线经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） 垂直于半径的直线是圆的切线垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.

31、 （ ） 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） 过直径一端过直径一端点点且垂直于直径的直线是圆的切线且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ） 课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2. 如图所示，如图所示，A是是O上一点，且上一点，且AO=5, PO=13, AP=12,则则PA与与O的位置关系是的位置关系是 .APO第2题相切相切课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题3. 如图，在如图，在O的内接四边形的内接四边形ABCD中，中，AB是直径，是直径，BCD=120，过，过D点的切线点的切线PD与直线与直线AB交于点交于点P，

32、则则ADP的度数为（的度数为（ ）A40 B35 C30 D45PO第3题DABCC课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题4.如图如图, O切切PB于点于点B,PB=4, PA=2,则则 O的半径多少？的半径多少？OPBA解解：连接连接OB，则，则OBP=90.设设 O的的半径为半径为r,则则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r. 在在RtOBP中，中，OB2+PB2=PO2，即，即r2+42=(2+r)2.解得解得 r=3， 即即 O的半径为的半径为3.课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题证明：证明：连接连接OP. AB=AC,B=C. OB=OP，B=O

33、PB OBP=C. OPAC. PEAC， PEOP. PE为为 O的切线的切线. 1. 如图如图,ABC中，中，AB=AC，以，以AB为直径的为直径的 O交边交边BC于于P， PEAC于于E. 求证求证:PE是是 O的切线的切线.课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题ABCPEO2. 如如图，图，O为正方形为正方形ABCD对角线对角线AC上一点，以上一点，以O为圆心，为圆心，OA长为半径的长为半径的 O与与BC相切于点相切于点M.求证：求证：CD与与 O相切相切证明：证明：连接连接OM，过点，过点O作作ONCD于点于点N， O与与BC相切于点相切于点M，OMBC.又又ONCD，

34、O为正方形为正方形ABCD对角线对角线AC上一点，上一点，OMON，CD与与 O相切相切MN课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题已知：已知：ABC内接于内接于O，过点，过点A作直线作直线EF.（1）如图）如图1，AB为直径，要使为直径，要使EF为为O的切线，还需添加的条的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：件是（只需写出两种情况）： _ ； _ .（2）如图）如图2，AB是非直径的弦，是非直径的弦，CAE=B，求证：，求证：EF是是O的切线的切线.BAEFCAE=BAFEOAFEOBCBC图图1图图2课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题证明：证明：连接连

35、接AO并延长交并延长交O于于D,连接连接CD,则则AD为为O的直径的直径. D+ DAC=90 , D与与B同对同对 , D= B,又又 CAE= B, D= CAE, DAC+ EAC=90,EF是是O的切线的切线.AFEOBC图2D课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题切线的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切则相切经过圆的半径的外端且垂直于经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线这条半径的直线是圆的切线. .证切线时常用辅助线添加方法：证切线时常用辅助线添加方法： 有公共点，连半径，证垂直；有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证

36、半径无公共点，作垂直，证半径. .课堂小结课堂小结切线的性质有1个公共点d=r性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直.课堂小结课堂小结第三课时返回返回 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？形？导入新知导入新知2. 初步学会运用初步学会运用切线长定理切线长定理进行计算与证明进行计算与证明.1. 掌握掌握切线长的定义切线长的定义及及切线长定理切线长定理. 素养目标素养目标问题问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知

37、圆的切线上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如如左图所示左图所示)，如果点，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？作圆的切线，可以作几条？POBAO.PA B 探究新知探究新知知识点 1P1.切线长的定义： 切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长切线长AO切线是直线，不能度量切线是直线，不能度量. .切线长是线段的长，这条线段的两个切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外端点分别是圆外一点一点和切点，可以度量和切点，可以度量2.切线长与切线的

38、区别在哪里？切线长与切线的区别在哪里？探究新知探究新知问题问题2 PA为为O的一条切线，沿着直线的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点对折，设圆上与点A重合的点为重合的点为B OB是是O的一条半径吗？的一条半径吗？ PB是是O的切线吗？的切线吗？（利用图形轴对称性解释） PA、PB有何关系？有何关系？ APO和和BPO有何关系？有何关系？O.PAB探究新知探究新知PO切线长定理 过圆外一点作圆的两条切过圆外一点作圆的两条切线，线，两条切线长相等两条切线长相等. .圆心与圆心与这一点这一点的连线的连线平分两条切线的平分两条切线的夹角夹角. .PA、PB分别切分别切O于于A、BPA = PBOP

39、A=OPB几何语言几何语言: :探究新知探究新知O.P已知，如图已知，如图PA、PB是是O的两条切线，的两条切线，A、B为切点为切点.求证：求证：PA=PB，APO=BPO.证明：证明：PA切切O于点于点A， OAPA.同理可得同理可得OBPB. OA=OB，OP=OP，RtOAP RtOBP（HL），），PA=PB，APO=BPO.推理验证推理验证AB探究新知探究新知想一想：想一想：若连结两切点若连结两切点A、B，AB交交OP于点于点M.你又能得出你又能得出什么新的结论什么新的结论?并给出证明并给出证明.OP垂直平分AB.证明：证明：PA，PB是是 O的切线的切线,点点A，B是切点是切点 P

40、A = PB ，OPA=OPB PAB是等腰三角形，是等腰三角形，PM为顶角的平分线为顶角的平分线 OP垂直平分垂直平分AB.O.PABM探究新知探究新知想一想：想一想：若延长若延长PO交交 O于点于点C，连结，连结CA、CB，你又能得，你又能得出什么新的结论出什么新的结论?并给出证明并给出证明.证明：证明：PA，PB是是 O的切线的切线,点点A，B是切点是切点， PA = PB ，OPA=OPB. PC=PC. PCA PCB， AC=BC.CA=CBO.PABC探究新知探究新知例例1 已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD的边的边AB、BC、CD、DA与与 O分别相切于点分别相切于点

41、E、F、G、H.求证：求证：AB+CD=AD+BC.ABCDO证明：证明：AB、BC、CD、DA与与 O分别相切于点分别相切于点E、F、G、H，EFGH AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.AB+CD=AD+BC.切线长定理的应用切线长定理的应用素养考点素养考点 1探究新知探究新知P1. PA、PB是是O的两条切线，的两条切线，A,B是切点，是切点，OA=3.（1）若）若AP=4,则则OP= ;（2）若）若BPA=60 ,则则OP= .56巩固练习巩固练习例例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：为了测量一个圆形铁环

42、的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径，求铁环的半径分析：分析：欲求半径欲求半径OP，取圆的圆心为，取圆的圆心为O，连连OA、OP，由切线性质知，由切线性质知OPA为为直角三角形，从而在直角三角形，从而在RtOPA中由勾中由勾股定理易求得半径股定理易求得半径O切线长定理在生活中的应用切线长定理在生活中的应用素养考

43、点素养考点 2探究新知探究新知在在RtOPA中，中，PA5，POA30，OQ解：解：过过O作作OQAB于于Q，设铁环的圆心为，设铁环的圆心为O，连接，连接OP、OA.AP、AQ为为 O的切线，的切线，AO为为PAQ的平分线，即的平分线，即PAOQAO.又又BAC60，PAOQAOBAC180，PAOQAO60.=5 3cm.OP即铁环的半径为即铁环的半径为5 3cm.探究新知探究新知2. 如图如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美装修时为了美观观,准备用木板从准备用木板从AB处将水管密封起来处将水管密封起来,互相垂直的两墙面互相垂直的两墙面与水管分别相

44、切于与水管分别相切于D、E两点两点,经测量发现经测量发现AD和和BE的长恰的长恰是方程是方程x2-25x+150=0的两根的两根(单位单位:cm),则该自来水管的半则该自来水管的半径为径为 cm(ADBE). 解析：解析：设圆心为设圆心为O,连接连接OD、OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,解得解得:x1=10,x2=15,ADBE,AD=10,BE=15,设半径为设半径为r,又又AB=AD+BE=25,(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,(10+r)2+(15+r)2=252,解得解得r=5.巩固练习巩固练习5 小小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三明在一

45、家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？使裁下的圆的面积尽可能大呢？探究新知探究新知知识点知识点2问题问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？样的位置关系？ OOOO最大的圆与三角形最大的圆与三角形三边都相切三边都相切探究新知探究新知三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？问题问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为如果半径为r的的I与与ABC的三边都相切

46、，那么圆心的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？应满足什么条件？(2) 在在ABC的内部，如何找到满足条件的圆心的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？呢？ 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.为什么呢？探究新知探究新知已知：已知：ABC.求作：求作：和和ABC的各边都相切的圆的各边都相切的圆.ABCOMND作法：1.作B和C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作ODBC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.O就是所求的圆.探究新知探究新知做一做做一做1.与三角形三边都相切的圆叫作三角

47、形的与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心内心.3.这个三角形叫做这个圆的这个三角形叫做这个圆的外切三角形外切三角形.BACI I是是ABC的内切圆，点的内切圆，点I是是ABC的内心，的内心，ABC是是I的外切三角形的外切三角形.探究新知探究新知例例3 已知已知:ABC(如图如图),(1)求作求作ABC的内切圆的内切圆I(要求要求:用尺规作图用尺规作图,保留作图痕迹保留作图痕迹,写出作法写出作法,不要求证明不要求证明).(2)在题在题(1)已经作好的图中已经作好的图中,若若BAC=88,求求BIC的度数的度数

48、.三角形的内切圆的作法三角形的内切圆的作法素养考点素养考点 3探究新知探究新知解析：解析：(1)以以A为圆心、任意长为半径画圆为圆心、任意长为半径画圆,分别交分别交AC、AB于点于点H、G;分别以分别以H、G为圆心为圆心,以大于以大于 HG的长为半的长为半径画圆径画圆,两圆相交于两圆相交于K点点,连接连接AK,则则AK即为即为BAC的平分线的平分线;同理作出同理作出ABC的平分线的平分线BF,交交AK于点于点I,则则I即为即为ABC内切圆的圆心内切圆的圆心;过过I作作IMBC于于M,以以I为圆心为圆心,IM为半径画圆为半径画圆,则则I即为即为所求圆所求圆.12探究新知探究新知(2)BAC=88

49、,ABC+ACB=180-88=92,IBC+ICB= (ABC+ACB)= 92=46,BIC=180-46=134.1212探究新知探究新知3. ABC的内切圆半径为的内切圆半径为r， ABC的周长为的周长为l，求求ABC的面积的面积.（提示：设内心为（提示：设内心为O，连接，连接OA、OB、OC.）解解： 设设AB = c，BC = a，AC = b.CABODMNrrr则则SOBC= ar, SOBA= cr, SOAC= br,212121SABC=SOBC +SOBA +SOAC= ar + cr + br= r（a+c+b）= lr2121212121巩固练习巩固练习BACI问题

50、问题1 如图，如图，I是是ABC的内切圆，那么线段的内切圆，那么线段IA，IB ,IC有什么特点？有什么特点？线段线段IA，IB ,IC 分分别是别是A，B，C的平分线的平分线.探究新知探究新知知识点知识点3BACI问题问题2 如图，分别过点作如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂的垂线，垂足分别为足分别为E、F，G，那么线段，那么线段IE、IF、IG之间有什之间有什么关系？么关系？EFGIE=IF=IG探究新知探究新知u三角形内心的性质三角形内心的性质三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.BACIEFG IA，IB，IC是是ABC的角的角平分线，平分线，I

51、E=IF=IG.探究新知探究新知例例4 如图，如图，ABC中，中， B=43，C=61 ，点，点I是是ABC的内心，求的内心，求 BIC的度数的度数.解：解：连接连接IB，IC.ABCI点点I是是ABC的内心的内心，IB，IC分别分别是是 B，C的平分线的平分线，在在IBC中中，180() BICIBCICB1180()2 BC1180(4361 )2128 .利用三角形内心的性质求角度利用三角形内心的性质求角度素养考点素养考点 4探究新知探究新知4.如图如图,在在ABC中中,点点P是是ABC的内心的内心,则则PBC+PCA+PAB= .解析：解析：点点P是是ABC的内心的内心,PB平分平分A

52、BC,PA平分平分BAC,PC平分平分ACB,PBC+PCA+PAB=90.巩固练习巩固练习90名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内部ABOABCO探究新知探究新知1.如图，一把直尺，如图，一把直尺，60的直角三角板和光盘如图的直角三角板和光盘如图摆放，摆放，A为为60角与直尺交点，角与直尺交点，AB=3，则光盘的，则光盘的直径是（）直径是（）A3 BC6 D解解析析：设三角板与圆的切点为设三角板与圆的切点为C，连接，连接OA、OB，由切线长定，由切线长定理知理知AB=AC=3，OA平分