电磁场理论课件：第五章恒定磁场

1、2021-11-16Copy right By Dr.Fang1第五章第五章 恒定磁场恒定磁场2021-11-16Copy right By Dr.Fang2一、基本方程一、基本方程5-1 5-1 恒定磁场方程恒定磁场方程VVttqSJddddddtJddVVSDdd0dSBStBlELddddStDSJlHLddddd0ddddBDtDJHtBE0BJH恒定磁场基本方程：恒定磁场基本方程： 0dSBSJlHLdd2021-11-16Copy right By Dr.Fang3静电场是无旋场，而恒定磁场是有旋场；恒定磁场与静电场区别恒定磁场与静电场区别DE0静电场0HJB恒定磁场在电荷和电流分

2、布以外区域，两种场的方程就变得相似了。电位移矢量散度等于，说明讨论：讨论：00DE无电流无电荷00BH磁感应强度散度等于零，说明静电场由电荷产生。不存在磁荷。2021-11-16Copy right By Dr.Fang4 二、边界条件二、边界条件SJHHn)(21SttJHH21120nBB21nnB= B标量形式矢量形式在不同磁介质分界面上，磁感应强度的法向分量永远是连续的，而磁场强度的切向分量仅在分界面上不存在面传导电流密度时才是连续的。物理解释：物理解释：2021-11-16Copy right By Dr.Fang5Bd5-2 5-2 应用毕奥萨伐尔定律解恒定磁场应用毕奥萨伐尔定律解

3、恒定磁场毕奥萨伐尔定律：LRRlI30d4LBBdLrrrrlI30)(d42021-11-16Copy right By Dr.Fang6例例 直流电流I流过长度为2l空气中的直导线，求在直导线垂直平分面内的磁感应强度矢量。解：解：zed) (ddzeezeR lzz,ddze lzze rzer ,zeerrRz ,LrrrrlIB30)(d4llzzIe23)(d422030d4LRR lIBllzzIe2220)(42202ll Ie当l 时，上式就变成：02IBeCaxaxaxx2222322d查积分公式：PllZOzRI ld源区场点er r2021-11-16Copy right

4、 By Dr.Fang75-3 5-3 应用矢量磁位解恒定磁场应用矢量磁位解恒定磁场磁场求解方法磁场求解方法有旋无散： 0)(A0B麦克斯韦方程： 总可以找到矢量 ，使其旋度为磁感应强度矢量： AAB满足上式的场矢量不止一个。例如， CAA毕奥萨伐尔定律,亥姆霍兹定理：亥姆霍兹定理：选取0A寻求第三种方法寻求第三种方法若矢量的散度和旋度确定，该矢量就被唯一确定。 但被积函数是矢量乘积形式，运算难度大；只能求解具有对称分布的恒定磁场。安培环路定律 ，dLBlI2021-11-16Copy right By Dr.Fang80 ()AJ 矢量公式： AAA2)()(则有 JA02展开成三个标量方程

5、： 2Ax= 0 Jx，2Ay= 0 Jy，2Az = 0 Jz泊松方程：02其解为：xA 将前面三个标量方程与泊松方程比较，可得： 基本方程 JHJB0 JB0因此VRd41VzzVyyRJARJAd4 d4 00， d VR0 xJ的解是什么？的解是什么？ A42021-11-16Copy right By Dr.Fang9rrRR式中d是 的体积元， V rrRR 的微分方程及解与静电场标量电位 相似，故称为磁矢量位磁矢量位。 A若电流分布在面或线上，则： 磁通量与磁矢量位 的关系：ASBdVzzVyyRJARJAd4 d4 00，VxRAd 40 xJRsJAd400d4LI lAR或

6、或zzyyxxAeAeAeAVzzyyxxRJeJeJed) (40VRrJd)(40SAdLlAd2021-11-16Copy right By Dr.Fang10解：解：直导线沿z轴，观察点P(,0)B先求单根直导线周围的A例例 平行双线长2l ，电流分别为I和 I 。通过磁矢量位 分别求单根直导线和平行双线周围的磁感应强度矢量。两线相距2a。 I2aIRZPOzderze rz IzLRlIAd4)0 ,(02021-11-16Copy right By Dr.Fang1122)(zRLRlIAd4)0 ,(0 源点到观察点的位移矢量为 llzzzIe220)(d4llzzzIe220l

7、n4llllIez22220ln4RZPOzderze rz Iz22220ln4llIez220ln2llIezzeerrRz源点到场点的距离为 Caxxaxx2222lnd查积分公式：2021-11-16Copy right By Dr.Fang12若l ，上式近似为 zzzAelIeA2ln2)0 ,(0220ln2)0 ,(llIeAz3322113213322113211hAhAhAuuuuhuhuhhhhA柱坐标系： zuuu321，1 ,3h11h2 , hzzAAAzeeeA1AAeAzAezAAezzz2021-11-16Copy right By Dr.Fang13zzzA

8、elIeA2ln2)0 ,(0AAeAzAezAAeAzzzzAeABln)2ln(20lIe20Ie求平行双线磁场单根直导线产生的磁场RZPOzderze rz Iz利用单根导线求出平行双线的，然后再求AAB利用单根导线,通过叠加求出平行双线的BB2021-11-16Copy right By Dr.Fang14,2ln201RlIeAzRlIeAz2ln202两根平行导线在z=0平面上，交于(a,0,0)和(-a,0,0)两点。，22)(yaxR22)(yaxRRZPOzderze rz Iz IIRRraa仿照单根的表达式可得：AXYZAlIeAz2ln2)0 ,(0单根直导线：求平行双

9、线的磁矢量位2021-11-16Copy right By Dr.Fang15总磁矢量位：22220)(ln)(ln4yaxyaxIRRIAzln201222022()ln2()Ixayxay21AAA,2ln201RlIeAzRlIeAz2ln202，22)(yaxR22)(yaxRzzzAeRRIeln20求平行双线的磁矢量位（续） IIRRraa2021-11-16Copy right By Dr.Fang16zyxzyxAAAzyxeeeAByyxxzyzxBeBexAeyAeyABzxxABzy22220)(2)(24yaxyyaxyI22220)()(2)()(24yaxaxyax

10、axI220112RRIy2202RaxRaxI22220)(ln)(ln4yaxyaxIAz, zzAeA 2021-11-16Copy right By Dr.Fang170112IBeR，RIeB202221BBBRZPOzderze rz Iz问题：问题：两个单位矢量的方向不统一，方向怎么叠加？ IIRRraa仿照单根，可得：B利用单根导线,叠加求出平行双线的BBXYZB20IeB2021-11-16Copy right By Dr.Fang1820IeB首先分析单根导线的情况：是否可以将 用直角坐标系的单位矢量 , , 表示出来？e ye xe ze 因此yxebeae规定：a 0,

11、 b 0, 值均与有关。yebe xea显然可以用 和表示出来。e ye xe 注意：，1e则, sinacosbyxeeecossin所以e XYZ2021-11-16Copy right By Dr.Fang19, cossin111yxeeeRIeB2011RIeB2022,22cossin2yxeeeRZPOzderze rz Izyxeeecossine XYZ IIRRraa仿照，有：e 20IeB2021-11-16Copy right By Dr.Fang2011cossin1yxeee,2011RIeBRIeB202222cossin2yxeeeRaxeyeyx1Raxeye

12、yx1观察图中所示可知：, sin1Ry, sin2RyRax1cosRax2cos IIRRraa, 2201RIaxeyeByx2022RIaxeyeByx220220212112RaxRaxIeRRyIeBBByx022112xyIBRR，0222yIxaxaBRR （与P16相同）2021-11-16Copy right By Dr.Fang21上次课回顾上次课回顾0BJH恒定磁场基本方程：恒定磁场基本方程： 0dSBSJlHLdd4-4 弛豫时间SJHHn)(21120nBBSttJHH2121nnB= B恒定磁场边界条件：恒定磁场边界条件： 2021-11-16Copy right

13、 By Dr.Fang22例题：平行双线磁感应强度矢量引入磁矢量位：A0( )d4VJ rARAB选取0A毕奥萨伐尔定律：03d()4LIlrrBrr02IBe无限长直导线磁感应强度矢量上次课回顾（续）上次课回顾（续）2021-11-16Copy right By Dr.Fang23例例 圆形电流环位于z = 0平面内，中心在坐标原点O，半径为a。求电流环在远处(r a)观察点P(r, , )产生的磁场。 解：解：sin cossin sincossincosrxyzxyeeeeeee LRlIrAd4),(0源点用柱坐标(0, , )，参照教材28页式（1.4.23），有：cossin si

14、ncosxyxyeeeeee ，场点用(r, , )；查教材28页(1.4.27)式，有：2021-11-16Copy right By Dr.Fang24sincoscossinsincossinyxzyxreeeeeeerrRsincoscossinsincossinaeaererereyxzyxcossinsinsincoscossinrearearezyx2122)cos(sin2raarRR212)cos(sin2rarLRlIrAd4),(0aerer2021-11-16Copy right By Dr.Fang25121121sincos()aRrr212)cos(sin2rar

15、R21)cos(sin21rar 001f xf 3200101sincos()sincos()2xfxfx 泰勒展开式： 200000! 21xxxfxxxfxfxf令有rax212( )1sincos()f xx将f (x) 在 x0 = 0处作泰勒展开，取前两项:sincos()2sincos()( )12f xx 1( )f xr2021-11-16Copy right By Dr.Fang26代入 ：rax2)cos(sin111rarRddle a LRlIrAd4),(01211211sincos()( )af xRrrr)cos(sin1)cos(sin211221rarrar

16、200dcossin1cossin4raeerIayx1sincos()2xrrLRlIrAd4),(0sincosdxyaee212)cos(sin2rarRsincos()( )12f xx 2021-11-16Copy right By Dr.Fang2720dcossin20220dsinsindcossincos20dcoscos20202dcossinsindcoscoscossinsin4220yxeerIaA2020220dcoscosdcossinsin4yxeerIa20dsinsincoscossin20dcos21sin21sin20dsinsincoscoscos20

17、dcos21cos21cossin420rSIeAS = a2cossinyxeee2000dcossin1cossin4d4raeerIaRlIAyxLdcossincossindcossin420200raeeeerIayxyx=0=02021-11-16Copy right By Dr.Fang28比较sin420rSIeAAe rzeerSIA420rzeermA420SI= msineeerz考虑204remArmemz204repr其中qlel qpz204remAr其中ISeSImz比较的目的：便于记忆，加深理解。电偶极子的标量电位 磁偶极子的磁矢量位 发现电磁场具有“对称美”。

18、2021-11-16Copy right By Dr.Fang29sin420rSIeAAe ArrAArrereerArrsinsinsin123322113213322113211hAhAhAuuuuhuhuhhhhA球坐标系： 321uuru，sin ,3rhh11rhhrhh2 ,代入可得：rArreArrersinsin1sinsin12Arrrereerrsin00sinsin122021-11-16Copy right By Dr.Fang30302cossin4rpEeer对比：sin420rSIeAsin420rme电偶极子的电场矢量： 磁偶极子的磁感应强度矢量： sincos2430eermBrrArr