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1、首届微课教学比赛首届微课教学比赛秦秦 婧婧山东科技大学理学院山东科技大学理学院第七节第七节平面曲线的曲率平面曲线的曲率 第三三章 切线的转角越大切线的转角越大曲线弯曲程度越大曲线弯曲程度越大曲线的弧长越短曲线的弧长越短曲线弯曲程度越大曲线弯曲程度越大一、曲率的定义一、曲率的定义1 1、引例：弯曲程度与哪些因素有关？、引例：弯曲程度与哪些因素有关？1M2M3MPMQN2 2、曲率的定义、曲率的定义设曲线弧设曲线弧C是光滑的，是光滑的，,s 是基点，是基点，.定义定义平均曲率平均曲率点点 M 处的处的曲率曲率0limsKs 转角为转角为0 xyMMsC0MMMMMKsMM弧段弧段0Mdsd例如：求

2、半径为例如：求半径为R 的圆上任意点处的曲率。的圆上任意点处的曲率。思考：思考：直线任意点处的曲率是多少直线任意点处的曲率是多少?sRM注注: 直线上任意点处的曲率为直线上任意点处的曲率为 0 !Md21yy2d1dsyx故曲率计算公式为故曲率计算公式为322(1)yKy已知已知二二、曲率的曲率的计算公式计算公式( )yf x设曲线弧设曲线弧xy:( )Cyf x0M()dx.dsdK 例例1解解:显然显然,当当2yaxb 2yaxbxc2ya 33222221 (2)1yaKaxby,2bxa 24(,)24bbacaa2Ka抛物线抛物线在哪个点曲率最大？在哪个点曲率最大？曲率最大。曲率最大

3、。所以，抛物线在顶点所以，抛物线在顶点的曲率最大，且的曲率最大，且 例例2、设工件表面的截线为抛物线、设工件表面的截线为抛物线 y0.4x2. . 现在要用砂轮磨削其内表面现在要用砂轮磨削其内表面. .问用直径多大的砂问用直径多大的砂轮才比较合适？轮才比较合适？ 解解: 设设砂轮的直径为砂轮的直径为2r. . 因此因此, 选用砂轮的半径不得超过选用砂轮的半径不得超过1.25单位长单位长 即直径即直径不得超过不得超过2.50单位长单位长. . 砂轮的曲率应不小于抛砂轮的曲率应不小于抛物线顶点的曲率物线顶点的曲率0.8，即，即10.8,r11.250.8r 内容小结内容小结2. 曲率计算公式曲率计算公式ddKs322(1)yy曲率表征曲线局部性质（弯曲程度）的量曲率表征曲线局部性质（弯曲程度）的量1. 曲率的定义曲率的定义平均曲率平均曲率 曲率曲率Ks0lim=sdKsds 3. 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲

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