人口的预测和控制

1、数学与计算科学学院实 验 报 告实验项目名称 人口的预测和控制 所属课程名称 数学模型 实 验 类 型 综合 实 验 日 期 2013-4-1 班 级 学 号 姓 名 成 绩 一、实验概述：【实验目的】【实验原理】【实验环境】Microsoft Windows XPIntel(R) Core（TM）I5-2400 CPU 3.10GHz3.09 GHz，3.16 GB的内存MATLAB6.5二、实验内容：【实验方案】一、指数增长模型 模型假设1 人口年增长率保持不变记今年人口为，年后人口为，则 (1) 为了利用微积分这一数学工具，将视为连续、可微函数。记初始时刻的人口为，即，则 （2）二、阻滞

2、增长模型-模型 模型假设2 人口增长到一定数量后增长率下降，且随着人口数量的增加而下降 若将表示为的函数，则它应是减函数，即。则 （3） 由这个方程解得 （4） 时，（3）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。 模型假设3 设为的线性函数，则 （5） 这里称固有增长率，表示人口很少时（理论上是）的增长率。为了确定系数的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，称人口容量。当时人口不再增长，即增长率，代入（5）式的，于是，将代入方程（4），得 ， （6） 方程（6）右端的因子体现人口自身的增长趋势，因子则体现了环境和资源对人口增长的阻滞作用。显然，越大，前一因子越大，

3、后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果，（6）称为阻滞增长模型。三、模型的参数估计、检验和预报 用指数增长模型或阻滞增长模型进行人口预报，先要作参数估计。除了初始人口外，指数增长模型要估计，阻滞增长模型则要估计和。它们可以用人口统计数据拟合得到，也可以辅之以专家的估计。 为了估计指数增长模型（2）或（3）中的参数和，需将（3）式取对数，得 （8） 以美国人口实际数据为例（将表3数据列为表4第1，2列），对(8)式作数据拟合，如用1790年至1900年的数据，得到=0.2743/(10年)，=4.1884；如用全部数据可得=0.2022/（10年），=6.0450。也可以令=3.9（17

4、90年实际人口），只计算。 用得到的和代入（3）式，将计算结果与实际数据作比较。表4中计算人口是用1790年至1900年数据拟合的结果，是用全部数据拟合的结果，图3和图3是它们的图形表示（+号是实际数据，曲线是计算结果）。表4 指数增长模型和阻滞增长模型对美国人口数据拟合的结果年实际人口/百万计算人口（指数增长模型）计算人口（指数增长模型）计算人口（阻滞增长摸型）17903.94.26.03918005.35.57.45.018107.27.29.16.518209.69.511.18.3183012.912.513.610.7184017.116.516.613.7185023.221.72

5、0.317.5186031.228.624.922.3187038.637.630.528.3188050.249.537.335.8189062.965.145.745.0190076.085.655.956.2191092.068.469.71920106.583.785.51930123.2102.5103.91940131.7125.5124.51950150.7153.6147.21960179.3188.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.32000281.4422.1 为了估计阻滞增长模型（6

6、）或（7）中的参数和，我们不用（7）式而将方程（6）表为 （9） （9）式左端可以从实际人口数据用数值微分算出，右端对参数是线性的。为了简单起见，可利用和方程（6）作如下计算： （10） 得到百万，与实际数据281.4百万的误差约2.5%，可以认为该模型是相当满意的。 为了预报美国2010年的人口，应将2000年的实际数据加进去重新估计参数，可得/（10年），。然后再用模型检验中的计算方法进行预报，得到百万。据美国人口普查局2010年12月21日公布，截止到2010年4月1日，美国总人口为3.087亿，预报误差不到1%。【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）实验步骤 对于阻滞增长模型： 为

7、了用数据进行线形最小二乘法的计算，故将方程（4）两边取对数得到，即，令，所以可得。 根据所提供的数据用函数拟合一次多项式，然后用画图函数，画出实际数据与计算结果之间的图形，看结果如何。 【实验结论】（结果）1、指数增长模型 历史上，指数增长模型与19世纪有以前欧洲一些地区人口统计数据可以很好的吻合，迁往加拿大的欧洲居民后代人口也大致符合这个模型。另外，用它作短期人口预测可以得到较好的结果。显然，这是因为在这些情况下，人口增长率是常数这个基本假设大致成立。 但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程。这是因为，人口增长率事实上是在不断地变化

8、着。排除灾难、战争等特殊时期，一般说来，当人口较少时，增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小。如果根据表4的第一列的数据据算一下美国人口的年增长率，可以看到增长率从19世纪开始就基本上在缓慢下降。如果用一个平均的年增长率作为，用指数增长模型描述美国人口的变化，会发现结果与表4的实际数据相差很大。2、阻滞增长模型 它不仅能够大体上描述人口及许多物种数量（如森林中的树木、鱼塘中的鱼群等）的变化规律，而且在社会经济领域也有广泛的应用，例如耐用消费品的售量就可以用它来描述。 【实验小结】（收获体会）认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人

9、口增长的前提。三、指导教师评语及成绩：评 语评语等级优良中及格不及格1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强2.实验方案设计合理3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）4实验结论正确. 成 绩： 指导教师签名： 批阅日期：附录1：源 程 序1、利用1790-1900年的数据进行试验，程序如下： 2、利用1790-2000年的数据进行试验，程序如下： 参考文献 1、 2、数学模型第四版 姜启源、谢金星、叶俊编写附录2：实验报告填写说明 1实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。2实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。3实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。4实验环境：实验用的软、硬件环境。5实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。对于创新性实验，还应注明其创新点