山东省临沂市2021届新高考数学一模考试卷含解析

1、山东省临沂市2021届新高考数学一模考试卷、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1.将函数y Sin 3x的图象沿X轴向左平移个单位长度后，得到函数f X的图象，则“ 一96是“f X是偶函数”的（）A .充分不必要条件B 必要不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出函数y f X的解析式，由函数y f X为偶函数得出 的表达式，然后利用充分条件和必要条件 的定义判断即可.【详解】将函数y Sin 3x的图象沿X轴向左平移 一个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为9f Xsin 3 X

2、 9Sin 3x3若函数y f X为偶函数,则-k2 k Z '解得k6 k z，当k0 时，-.6因此，CC ,是y fX是偶函数”的充分不必要条件6故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题22.若复数Z ,其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）1 iA. Z的虚部为i B. Z 2C. Z的共轭复数为 1 i D. z2为纯虚数【答案】D【解析】【分析】将复数Z整理为1 i的形式，分别判断四个选项即可得到结果【详解】1 i 1 i 1 iZ的虚部为 1 , A错误

3、；IZ 疔 2 , B错误；Z 1 i , C错误；z21 i 2 2i ,为纯虚数,D正确本题正确选项：D【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题323.若函数f(x) X ax 3x 9在X3时取得极值，则 a ()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】对函数求导，根据函数在 X3时取得极值，得到 f 3 0,即可求出结果【详解】3 2 2因为 f X X ax 3x 9 ,所以 f X 3x 2ax 3,32又函数f X X ax 3x 9在X 3时取得极值，所以f 3 27 6a 3 0 ,解得a 5.故选D【点睛】本题主要考查

4、导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型4.若复数Z12 i ,Z2CoS isinR),其中i是虚数单位，则I Zi Z21的最大值为()【答案】C【解析】【分析】C.51由复数的几何意义可得Z2表示复数Z12 i , Z2 CoSisin 对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.【详解】COS ,sin,所以Z 引2 cos 21 Sin 玄1 2s in 4 4cos 1 .6 2 5sin6 2 5.5 1，其中tan 2 ,故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将 属于基础题型.Z1 Z2转化为两复数所对应点的距离求值即可,D5.某几何体的三视

5、图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（D. 2.2【答案】D【解析】【分析】 先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度【详解】 根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示:由三视图知:AD2 , CE 3 SD 2,所以SC DC 2,所以 SA Jsq2 AD2 2忑,sb Jsq2 I Bq2 2罷,所以该几何体的最长棱的长为 2、2故选：D【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题21a0,b0的左、右焦点，过 F2作双曲线C的一条渐近2X6.已知Fi、F2分别是双曲线C:-a线的垂线，分别交两条渐近线于点B ,过点B作X

6、轴的垂线，垂足恰为F1 ,则双曲线C的离心率为【答案】B【解析】【分析】2.3设点B位于第二象限，可求得点B的坐标，再由直线BF2与直线yKX垂直，转化为两直线斜率之积为1ab2可得出b_的值，进而可求得双曲线aC的离心率.【详解】设点B位于第二象限，由于 BF1X轴，则点B的横坐标为XBC ,纵坐标为YbBXBbc ,即点a a2B c,bc , abc由题意可知，直线 BF2与直线y因此，双曲线的离心率为ea2 2BF2a2c1b2k-3.X垂直，a2a故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,解答的关键就是得出b、C的等量关系，考查计算能力，属于中等题7已知F为抛物线C : y8x的

7、焦点，点A 1,m在C上，若直线AF与C的另一个交点为B ,则AB ()A. 12B. 10C. 9D. 8【答案】C【解析】【分析】求得A点坐标，由此求得直线 AF的方程，联立直线 AF的方程和抛物线的方程，求得 B点坐标，进而 求得IAB【详解】抛物线焦点为F 2,0 ,令X 1，y2 8 ,解得y 2三，不妨设A 1,2 2 ,则直线AF的方程为 yx 22/2 X 2 ,由餐"* 2 ,解得 A 1,2,B 4, 4、2 ,所以1 2y 8xAB J 4 1 24血 2拭 9.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题2&复数（i为虚数单位）的共轭复

8、数是1 iA . 1+iB . 1-iC. - 1+iD. -1-i【答案】B【解析】分析：化简已知复数 乙由共轭复数的定义可得.22 1+i详解：化简可得Z= =1 i1 i 1 i 1 i Z的共轭复数为1- i.故选B.点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题.9某个小区住户共 200户，为调查小区居民的 7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量（单位：m3）的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m3的住户的户数为（）A. 10B . 50C . 60D . 140【答案】C【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m3的住户的

9、频率为(0.050.01) 5 0.3 ,即分层抽样的50户中有0.3 ×0=15户住户的用水量超过15立方米15所以小区内用水量超过 15立方米的住户户数为 -5020060 ,故选C10 执行如图所示的程序框图，输出的结果为2'15B 8311615 D.16【答案】【解析】【分析】由程序框图确定程序功能后可得出结论.【详解】111执行该程序可得 S0-1pn2 222。1241516故选：D 【点睛】本题考查程序框图解题可模拟程序运行,观察变量值的变化,然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解.211.已知AB是过抛物线y 4x焦点UJU ULjnF的弦，O

10、是原点，则OAoB （）D. 3【答案】D【解析】2【分析】2设A-4,y1 ，2y,Y2 ,设 AB : X4my 1 ,联立方程得到y1y24 ,计算JLJJ JJJOA OB2y1 y216y1 y2得到答案.2【详解】,y1 ，2Y2,y2 ,JJJ JJJ 故 OA OB16yy.易知直线斜率不为O ,设 AB :my 1 ,联立方程X my 12y4x，得到y2 4my 4O,故y2JJJ4 ,故 OAIlJUOB2 2y1 y216y23.故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积,设直线为my 1可以简化运算，是解题的关键12. sin80 cos50 cos140s

11、in101D.2【答案】D【解析】【分析】利用 109080 ,140o 9050根据诱导公式进行化简,可得 sin80 cos50 cos80 Sin 50后利用两角差的正弦定理,可得结果由809010 ,140o 9()50所以 Sin 10 sin 9080cos10cos140cos 9050sin50 ,所以原式Sin80 cos50cos80 sin50所以原式o1Sin 3021Sin 10故 sin80cos50 cos140【详解】Sin 8050故选：D【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。

12、13. 九章算术卷 5商功记载一个问题 今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一 ”，这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为 周一 一 一 一 1自相乘，以咼乘之，十二而一 ”，就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为V（底面圆的周长的平方咼），12则由此可推得圆周率的取值为.【答案】3【解析】【分析】112 2根据圆堡瑽（圆柱体）的体积为 V（底面圆的周长的平方高），可得2 r h r h ,进而1212可求出 的值【详解】解:设圆柱底面圆的半径为 r,圆柱的高为h,由题意知1 2 22 r h r h ,解得3.12故答案为:3.【点睛

13、】本题主要考查了圆柱的体积公式 只要能看懂题目意思，结合方程的思想即可求出结果2 214. 双曲线y X 1的焦点坐标是 ,渐近线方程是 .【答案】（O, V）Y X【解析】【分析】通过双曲线的标准方程，求解 C , b ,即可得到所求的结果.a【详解】由双曲线y2 X21 ,可得a 1 , b 1 ,则C 2，所以双曲线的焦点坐标是 （0,.,2）,渐近线方程为：Y X 故答案为：（0, X 2） ; Y X .【点睛】 本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查了运算能力，属于容易题 15.如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M , N分别在线段AB , AC上，将 AMN沿线段MN进

14、行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段 AM的最小值为 【解析】【分析】设 AM X,AMN,在ABM中利用正弦定理得出X关于的函数，从而可得 X的最小值.【详解】解：设AMX , AMN,则 BM 1X, AMB180 2BAM 260 ,在 ABM 中,由正弦定理可得Sin 21 x60AMSin ABM32-Sin 2602BMSin BAM '当 26090即75时，X取得最小值3彳122,3 3故答案为2 . 3【点睛】本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题.16.关于函数f X ln 2 X ln 4 X有下列四个命题: 函数y f X在 2,4上是

15、增函数； 函数y f X的图象关于1,0中心对称；2 不存在斜率小于且与函数y f X的图象相切的直线；3 函数y f X的导函数y f X不存在极小值.其中正确的命题有 .（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】【分析】由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断.f'(X)62 T-X 2x8，设 g(X)f'(X)，则 g'(X)( X2"；XI)8)2，显然 X 1 是 g(X)【详解】函数f XIn 2 X In 4 X的定义域是(2,4),由于f XIn2 X In4 XIn2 X In( 16),4 X4XU1-6在(2,4)

16、上递增，.函数y f X在2,4上是递增，正确；4Xf(2 X)ln(4X) In(2X)f(X) ,函数 yfX的图象关于1,0中心对称，正确;116662f'(X),X 1时取等号，正确；2X4x82x X2(X 1)2 993即f '(X)的极小值点，错误.故答案为：【点睛】 本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属 于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知圆M : X 2.3y2 64及定点N 2'.3,0 ,点A是圆M上的动点，点B在NA上，点GUJUUJU IUn

17、uuu在MA上，且满足 NA 2NB， GB NA 0 ,点G的轨迹为曲线 C.(1)求曲线C的方程;1 、X分别交于P、Q2一 一 1(2)设斜率为k的动直线I与曲线C有且只有一个公共点，与直线 y X和y21两点当k §时，求 OPQ (O为坐标原点)面积的取值范围.2 2【答案】(1) X /1 ；( 2)8,.164【解析】【分析】(1)根据题意得到GB是线段AN的中垂线，从而 GM GN为定值，根据椭圆定义可知点G的轨迹是以M , N为焦点的椭圆，即可求出曲线 C的方程；(2)联立直线方程和椭圆方程，表示处OPQ的面积代入韦达定理化简即可求范围【详解】UUV UlIVNA

18、2NB(1) UUV UUVB为AN的中点，且GB AN GB是线段 AN的中垂线,GB NA 0AGl IGN ,又GM GN GM GAAM8 4/3 MN ,点G的轨迹是以M ,N为焦点的椭圆,2 2设椭圆方程为冷4a b(a b 0),则 a 4 , C 2、3 ,C22，所以曲线C的方程为X161.(2)设直线I:y kx m(k1)，2y kx m 由 x2 4y216消去y，可得4k2 X8kmx24m 160.因为直线I总与椭圆C有且只有一个公共点,所以64k2m2 4224k2 4m2 160 , m216k2 4.又由yXkx2ym可得02m m1 2k'1 2k

19、'同理可得小 2m mQ 1 2k,1 2k .由原点OPQk2XPXQ，将代入得当k24时,1I 11PQdmXPXQm222S OPQ可得S OPQ2m1 2km到直线PQ的距离为和.1 k22m21 4k24k214k218S OPQ8 4kP4k212m1 2k2m2 I1 4k2 *综上，OPQ面积的取值范围是 8,【点睛】此题考查了轨迹和直线与曲线相交问题,轨迹通过已知条件找到几何关系从而判断轨迹,直线与曲线相交般联立设而不求韦达定理进行求解即可，属于一般性题目18 .设等差数列 an满足39 , a105.(1)求数列 an的通项公式;(2)求an的前n项和Sn及使得Sn

20、最小的n的值.【答案】(1) an 2n 15(2) Sn (n 7)249 ； n 7时，Sn取得最小值【解析】【分析】(1) 设等差数列 an的公差为d ,由an印(n 1)d ,结合已知，联立方程组，即可求得答案(2) 由(1)知Sn n2 14n ,故可得Sn (n 7)2 49 ,即可求得答案.【详解】(1) 设等差数列 an的公差为d ,由an印(n 1)d及a39，a® 5C1 2d 9得a 9d 5a 13解得d 2数列an的通项公式为an 2n 15(2) 由(1)知 Sn n2 14nQ Sn(n 7)2 49n 7时，Sn取得最小值【点睛】本题解题关键是掌握等差

21、数列通项公式和前n项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题19.在直角坐标系中,2 2已知圆 M : (X a) (y 1)2a 1 ,以原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线Sin 42平分圆M的周长.(1)求圆M的半径和圆 M的极坐标方程;(2)过原点作两条互相垂直的直线1,12 ,其中I1与圆M交于O, A两点，I2与圆M交于0, B两点，求VOAB面积的最大值.【答案】(1),2 , 2(sin COS )(2) 2【解析】【分析】先求出a 1 ,再求圆的半径和极坐标方程；(2)设1,:,l2 :2,QA “IoBl 2 求出2(sincos ), 22(cos Si

22、n ),再求出SVOHB2COS 2 , 2 得解.【详解】(1)将 Sin2化成直角坐标方程，得 x y 24则 a 12 ,故 a 1,则圆 M: (X 1)2 (y 1)22 ,即 2 y2 2x 2y 0,所以圆M的半径为2 .将圆M的方程化成极坐标方程，得2 2 (Sin cos ) 0.即圆M的极坐标方程为2(sin cos ).(2)设 11,:,12 ：,|OA|21,OB2,则I2(sincos),用代替2.可得2 2(cosSin),Qh12 , SVOHB二2IOAIloBl 2 cos2Sin22cos2 , 2SVOAB max2【点睛】本题主要考查直角坐标和极坐标的

23、互化，考查极径的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2 2 _20.已知椭圆C x-y21 a b 0 的左焦点为F ,上顶点为A ,直线AF与直线x+y-3、2=0垂a2 b2直，垂足为B,且点A是线段BF的中点.(I)求椭圆C的方程；(II )若M ,N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点， 直线MP与直线X 4UULV IUly交于点Q,且MPNQ 9 ,求点P的坐标.2 2【答案】(I) L 1.42(ii)P(16)2【解析】 【分析】 (I)写出 代F坐标，利用直线 AF与直线x+y- 3.2 = 0垂直，得到b C.求出B点的坐标代入x+y-32=0

24、,可得到b,c的一个关系式，由此求得b,c和a的值，进而求得椭圆方程.（II）设出P点UUIr IUIr的坐标，由此写出直线MP的方程，从而求得 Q点的坐标，代入 MP NQ 9 ,化简可求得【详解】（）椭圆的左焦点F c,0 ,上顶点A0,b,直线AF与直线X y 3、, 20 垂直直线AF的斜率k b 1CA是线段BF的中点又点,即b又点B的坐标为B c,2bB在直线X3.22b 3.2由得：ba22 2椭圆C的方程为y-42(II )设 PX0,y0 ,(X0 0,y°0)直线易得顶点M、N的坐标为2,0,N 2,0MP的方程是:X0y。XI 2得：Q4,X06y°2

25、又点P在椭圆上，故2X042y。22X0 y02 2 2IULV IUy MP NQ X02,y02 X326y。2X 22X 8X0209X02 X01 或 2 (舍)y° 乎(y° 0)2点P的坐标为P 1.62【点睛】本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运算属于中档题在解题过程中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应该怎么得到，这些在读题的时候需要分析清楚1| x 2 Iab C恒成立.21 已知a,b,c R , X R ,不等式|x(I)求证：a2 b2 J 1

26、(2)求证：、a2 b2 b2 c2.c2a2【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先根据绝对值不等式求得Ix 1| Ix2的最大值，从而得到 a b c 1,再利用基本不等式进行证明;（2）利用基本不等式 a2 b22ab变形得a2 b29 bL ,两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案【详解】(1). |x 1| X 2| |x 1 X 211, a1.2Ca2 ac ,2 2 2 2b 2ab, b C 2bc, C 2a22b2 2c22ab 2bc 2ac,2 3a2 23b 3c2 I 2 2a b C 2ab2b

27、c 2ac(ab c)21 , a2b2(2) a2b22ab , 2 a b2 2a 2ab b(ab)2,即 a2 b2(abL两边开平方得2b|手(a b)同理可得 '. b2c22 (b C),222 I 2C a(C2a).二式相加，得a2 b2b2 c2c2 a22( a bC) 2.【点睛】本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑 推理能力和推理论证能力222.已知函数 fx X ax a I nx, a R(1)若 a 1 ,求 f X的单调区间和极值;(2)设 g Xa 2 In X a 2b 2X ,且g X有两个极值点X1 , X2 (X1 < X2)b 14f3，求八g X2的最小值【答案】(1)fX增区间为 1,减区间为20,1 ；极小值3 In2 ,无极大值;24(2)-2In33【解析】【分析】(1)求出f (X)的导数，解不等式，即可得到函数的单调区间，进而得到函数的极值;(2)由题意可得XIx2b 1,XX21 ,求出g X1 g X2的表达式,2lnt 0 t