Ch8.1 假设检验

1、概率论与数理统计概率论与数理统计第一节第一节 假设检验假设检验二、假设检验的相关概念二、假设检验的相关概念三、假设检验的一般步骤三、假设检验的一般步骤一、假设检验的基本原理一、假设检验的基本原理四、典型例题四、典型例题五、小结五、小结 在总体的分布函数完全未知或只知其形式、在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况下但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性为了推断总体的某些性质质, 提出某些关于总体的假设提出某些关于总体的假设. 假设检验就是根据得到样本对所提出的假假设检验就是根据得到样本对所提出的假设作出判断设作出判断: 是接受是接受, 还是拒绝还是拒绝. 例如例如, 提出

2、总体服从泊松分布的假设提出总体服从泊松分布的假设; . ,0假设等假设等的的期望等于期望等于对于正态总体提出数学对于正态总体提出数学又如又如 一、假设检验的基本原理一、假设检验的基本原理如何利用样本值对一个具体的假设进行检验如何利用样本值对一个具体的假设进行检验? 通常借助于直观分析和理通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法论分析相结合的做法,其基本原其基本原理就是人们在实际问题中经常理就是人们在实际问题中经常采用的所谓实际推断原理采用的所谓实际推断原理:“一个一个小概率事件在一次试验中几乎小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的是不可能发生的”.下面结合实例来说明假设检验的基本思想下面结合

3、实例来说明假设检验的基本思想.假设检验问题是统计推断的另一类重要问题假设检验问题是统计推断的另一类重要问题. 实例实例 某车间用一台包装机包装葡萄糖某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包包得的袋装糖重是一个随机变量得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布它服从正态分布.当机器正常时当机器正常时, 其均值为其均值为0.5千克千克, 标准差为标准差为0.015千克千克.某日开工后为检验包装机是否正常某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地随机地抽取它所包装的糖抽取它所包装的糖9袋袋, 称得净重为称得净重为(千克千克):0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.52

4、0 0.515 0.512, 问机器是否正常问机器是否正常? ,的均值和标准差的均值和标准差装糖重总体装糖重总体分别表示这一天袋分别表示这一天袋和和用用X 分析分析:由长期实践可知由长期实践可知, 标准差较稳定标准差较稳定, ,015. 0 设设),015. 0,( 2 NX则则 .未知未知其中其中 问题问题: 根据样本值判断根据样本值判断 . 0.5 0.5 还是还是提出两个对立假设提出两个对立假设. : 5 . 0:0100 HH和和 再利用已知样本作出判断是接受假设再利用已知样本作出判断是接受假设 H0 ( 拒拒绝假设绝假设 H1 ) , 还是拒绝假设还是拒绝假设 H0 (接受假设接受假

5、设 H1 ). 如果作出的判断是接受如果作出的判断是接受 H0, 即认为机器工作是正常的即认为机器工作是正常的, 否则否则, 认为是不正常的认为是不正常的., 0 则则 由于要检验的假设设计总体均值由于要检验的假设设计总体均值, 故可借助故可借助于样本均值来判断于样本均值来判断. , 的的无无偏偏估估计计量量是是因因为为 X , | , 00不不应应太太大大则则为为真真所所以以若若 xH),1 , 0(/,00NnXH 为真时为真时当当 , /|00的大小的大小的大小可归结为衡量的大小可归结为衡量衡量衡量nxx 于是可以选定一个适当的正数于是可以选定一个适当的正数k, ,/ 00Hknxx拒绝

6、假设拒绝假设时时满足满足当观察值当观察值 .,/ ,00Hknxx接受假设接受假设时时满足满足当观察值当观察值反之反之 ),1 , 0(/00NnXZH 为真时为真时因为当因为当由标准正态分布分位点的定义得由标准正态分布分位点的定义得,2/ zk . ,/ ,/02/002/0HznxHznx接受接受时时拒绝拒绝时时当当 如何确定常数如何确定常数k呢？呢？ 0.05, 在实例中若取定在实例中若取定,96. 1 025. 02/ zzk 则则 0.015, , 9 n又已知又已知 0.511, x由样本算得由样本算得 1.96,2.2/ 0 nx 即有即有于是拒绝假设于是拒绝假设H0, 认为包装

7、机工作不正常认为包装机工作不正常.假设检验过程如下假设检验过程如下:以上所采取的检验法是符合实际推断原理的以上所采取的检验法是符合实际推断原理的. 0.05, 0.01, , 一一般般取取总总是是取取得得很很小小由由于于通通常常. ,/ , , ,/ , ,2/002/000几几乎乎是是不不会会发发生生的的的的观观察察值值等等式式由由一一次次试试验验得得到到满满足足不不为为真真就就可可以以认认为为如如果果根根据据实实际际推推断断原原理理小小概概率率事事件件是是一一个个时时即即为为真真因因而而当当xznxHznXH . , ,/ 002/0HHznxx因因而而只只能能接接受受没没有有理理由由拒拒

8、绝绝假假设设则则满满足足不不等等式式若若出出现现观观察察值值 . ,/ ,002/0HHxznx因因而而拒拒绝绝正正确确性性的的的的假假设设则则我我们们有有理理由由怀怀疑疑原原来来的的观观察察值值得得到到了了满满足足不不等等式式在在一一次次试试验验中中 1. 显著性水平显著性水平 . / , , ,0来来作作决决定定还还是是小小于于值值大大于于等等于于的的观观察察值值的的绝绝对对然然后后按按照照统统计计量量定定就就可可以以确确数数后后选选定定当当样样本本容容量量固固定定时时kknxZk , ,/000Hxknxz则我们拒绝则我们拒绝的差异是显著的的差异是显著的与与则称则称如果如果 二、假设检验

9、的相关概念二、假设检验的相关概念 , , ,/ ,000Hxknxz则则我我们们接接受受不不显显著著的的的的差差异异是是与与则则称称如如果果反反之之 .0之下作出的之下作出的著性水平著性水平在显在显有无显著差异的判断是有无显著差异的判断是与与上述关于上述关于 x.称为显著性水平称为显著性水平数数 2. 检验统计量检验统计量. /0称为检验统计量称为检验统计量统计量统计量nXZ 3. 原假设与备择假设原假设与备择假设假设检验问题通常叙述为假设检验问题通常叙述为: ,下下在显著性水平在显著性水平 . ,01”检检验验针针对对下下或或称称为为“在在显显著著性性水水平平HH . , 10称为备择假设称

10、为备择假设称为原假设或零假设称为原假设或零假设 HH . : , : 0100 HH检验假设检验假设4. 拒绝域与临界点拒绝域与临界点 当检验统计量取某个区域当检验统计量取某个区域C中的值时中的值时, 我们我们拒绝原假设拒绝原假设H0, 则称区域则称区域C为为拒绝域拒绝域, 拒绝域的边拒绝域的边界点称为界点称为临界点临界点.如在前面实例中如在前面实例中, ,|2/ zz 拒绝域为拒绝域为. ,2/2/ zzzz 临界点为临界点为5. 两类错误及记号两类错误及记号 假设检验的依据是假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验小概率事件在一次试验中很难发生中很难发生, 但很难发生不等于不发生但很难发生

11、不等于不发生, 因而假因而假设检验所作出的结论有可能是错误的设检验所作出的结论有可能是错误的. 这种错误这种错误有两类有两类: (1) 当原假设当原假设H0为真为真, 统计量的观察值却落统计量的观察值却落入拒绝域入拒绝域, 而作出了拒绝而作出了拒绝H0的判断的判断, 称做称做第一类第一类错误错误, 又叫又叫弃真错误弃真错误, 这类错误是这类错误是“以真为假以真为假”. 犯第一类错误的概率不超过显著性水平犯第一类错误的概率不超过显著性水平. (2) 当原假设当原假设 H0 不真不真, 而观察值却落入接而观察值却落入接受域受域, 而作出了接受而作出了接受 H0 的判断的判断, 称做称做第二类错误第

12、二类错误, 又叫又叫取伪错误取伪错误, 这类错误是这类错误是“以假为真以假为真”. . 0001HPHHPH接受接受或或不真接受不真接受当当 当样本容量当样本容量 n 一定时一定时, 若减少犯第一类错误若减少犯第一类错误的概率的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大则犯第二类错误的概率往往增大.犯第二类错误的概率记为犯第二类错误的概率记为 若要使犯两类错误的概率都减小若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加除非增加样本容量样本容量.6. 显著性检验显著性检验. : , : , , , , : : 01000010100为双边假设检验为双边假设检验的假设检验称的假设检验称形如形如假设假设称为双边备

13、择称为双边备择也可能小于也可能小于可能大于可能大于表示表示备择假设备择假设中中和和在在 HHHHH7. 双边备择假设与双边假设检验双边备择假设与双边假设检验 只对只对犯第一类错误的概率加以控制犯第一类错误的概率加以控制, 而不考而不考虑犯第二类错误的概率的检验虑犯第二类错误的概率的检验, 称为称为显著性检验显著性检验.8. 右边检验与左边检验右边检验与左边检验 . : , : 0100称为右边检验称为右边检验的假设检验的假设检验形如形如 HH . : , : 0100称为左边检验称为左边检验的假设检验的假设检验形如形如 HH右边检验与左边检验统称为右边检验与左边检验统称为单边检验单边检验.9.

14、 单边检验的拒绝域单边检验的拒绝域 , ,),(212 给给定定显显著著性性水水平平的的样样本本是是来来自自总总体体为为已已知知设设总总体体XXXXNXn./ ,/00 znxzznxz 左边检验的拒绝域为左边检验的拒绝域为右边检验的拒绝域为右边检验的拒绝域为则则 ; ,. 110HH假设假设及备择及备择提出原假设提出原假设根据实际问题的要求根据实际问题的要求 ; . 2n以及样本容量以及样本容量给定显著性水平给定显著性水平 3. 确定检验统计量以及拒绝域形式确定检验统计量以及拒绝域形式; ;. 400求求出出拒拒绝绝域域为为真真拒拒绝绝按按 HHP . ,. 50H受受还还是是拒拒绝绝根根据

15、据样样本本观观察察值值确确定定接接取取样样三、假设检验的一般步骤三、假设检验的一般步骤.05. 0 ? s,/cm2 s./cm25.41 ,25,. s/cm2, s/cm40),(2 取取显显著著水水平平烧烧率率有有显显著著的的提提高高以以往往生生产产的的推推进进器器的的燃燃推推进进器器的的燃燃烧烧率率是是否否较较问问用用新新方方法法生生产产的的法法下下总总体体均均方方差差仍仍为为设设在在新新方方得得燃燃烧烧率率的的样样本本均均值值为为测测只只随随机机取取进进器器用用新新方方法法生生产产了了一一批批推推现现从从正正态态分分布布推推进进器器的的燃燃烧烧率率服服某某工工厂厂生生产产的的固固体体燃燃料料xnN例例1四、典型例题四、典型例题 , )( : 01烧率烧率即假设新方法提高了燃即假设新方法提高了燃 H这是右边检验问题这是右边检验问题, .645. 1/05. 00 znxz 拒绝域为拒绝域为 ,645. 13.125/0 nxz 因为因为 ,值落在拒绝域中值落在拒绝域中z . 0.05 0H下拒绝下拒绝故在显著性水平故在显著性水平 即认