大学文科数学ppt课件

1、1导数与微分导数与微分学之之博，未若知之之要，知之之要，未若行之之实学之之博，未若知之之要，知之之要，未若行之之实. 朱子语类辑略朱子语类辑略 在一切理论成就中，未必再有什么像在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了胜利了. 恩格斯恩格斯2v教学目标：教学目标：本章目标是介绍导数概念、求导数的方法、微分及其运算。本章目标是介绍导数概念、求导数的方法、微分及其运算。v要求理解导数的概念、会求导数与微分、掌握导数与微分的运算法则。了解牛顿的生平事迹和要求理解导数的概念、会求导数与微分、掌握导数与微分的运算

2、法则。了解牛顿的生平事迹和微积分发生与发展简史微积分发生与发展简史. .教学重点：教学重点：导数概念、求导方法、微分概念导数概念、求导方法、微分概念；教学难点：教学难点：导数概念、微分概念、高阶导数的导数概念、微分概念、高阶导数的 概念概念；3v教学内容教学内容 1 函数的局部变化率函数的局部变化率导数导数 2 求导数的方法求导数的方法法则与公式法则与公式 3 局部改变量的估值问题局部改变量的估值问题微分及其运算微分及其运算 数学家启示录数学家启示录 4第一节第一节 函数的局部变化率导数函数的局部变化率导数v问题提出问题提出v我们在解决实际问题时，除了需要了解变量之间的函数关系以外，有时还需要

3、研究变量变我们在解决实际问题时，除了需要了解变量之间的函数关系以外，有时还需要研究变量变化快慢的程度化快慢的程度.例如物体运动的速度，城市人口增长的速度，国民经济发展的速度等。例如物体运动的速度，城市人口增长的速度，国民经济发展的速度等。v三类问题：三类问题：v1：求变速运动的瞬时速度：求变速运动的瞬时速度v2：求曲线上一点处的切线：求曲线上一点处的切线v3：求极大值和极小值：求极大值和极小值51.1 1.1 抽象导数概念的两个现实原型抽象导数概念的两个现实原型原型原型 求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度. 匀速运动：匀速运动： 设设 在在0，T上连续，求上连续，求 .)(tfs

4、 )(0tvv MM0PM1ssO瞬时速度瞬时速度 ；tsvv0变速运动：变速运动：瞬时速度瞬时速度 .000v1. 提出问题提出问题想一想想一想 如何处理速度变与不变的矛盾？如何处理速度变与不变的矛盾？ 6 3. 回答两个思考题回答两个思考题 步骤步骤MM0PM1ssO求增量求增量 给给 一个增量一个增量 ,时间从时间从 变到了变到了 ， 则则 0tt0tttt01)()()()(0001tfttftftfs求增量比求增量比（局部以匀速代变速）（局部以匀速代变速） ttfttftsv)()(00 取极限取极限（平均速度的极限值即为在时刻（平均速度的极限值即为在时刻t0的瞬时速度）的瞬时速度）

5、 ttfttftsvvttt)()(limlimlim0000007原型原型 求曲线切线的斜率求曲线切线的斜率. 和和 是曲线是曲线),(yxM),(000yxM)(xfy 上两点它们的连线是上两点它们的连线是该曲线的一条割线，当点该曲线的一条割线，当点M沿曲线无限接近于点沿曲线无限接近于点M0时时，割线绕点割线绕点 M0转动，其极限位置转动，其极限位置M0 T就是曲线在点就是曲线在点M0处处的切线（图的切线（图3.2），求曲线在点），求曲线在点M0处切线的斜率处切线的斜率.OXYxM0Myy0 x0 x0+xT)(xfy （图（图3.2）8思考思考 步骤？步骤？ 数学思想方法？数学思想方法？

6、提出问题提出问题若若 的图象是直线，则的图象是直线，则 ； )(xfy xyk若若 的图象是曲线，则的图象是曲线，则 . )(xfy ?kOXYxM0Myy0 x0 x0+xT)(xfy （图（图3.2）OXYxM0Myy0 x0 x0+x)(xfy 93. 回答两个思考题回答两个思考题步骤步骤求增量求增量 给给 一个增量一个增量 ，自变量由，自变量由 变到变到 ，则，则 0 xx0 xxx0)()(00 xfxxfy求增量比求增量比xxfxxfxy)()(00 取极限取极限xxfxxfxyxx)()(limlimtan0000其中其中 是切线是切线 与轴与轴 的夹角的夹角)2(xTM0OXY

7、xM0Myy0 x0 x0+xT)(xfy （图（图3.2）10瞬时速度瞬时速度 平均速度平均速度2：取极限：取极限（第一步为第二步做准备）（第一步为第二步做准备）总结：总结：上面两个现实原型的范畴虽不相同，但从纯数学的上面两个现实原型的范畴虽不相同，但从纯数学的 角度来考察，角度来考察，所要解决的问题相同：求一个变量相对于另一个相关变量的变化快慢程度，即变化率问题；所要解决的问题相同：求一个变量相对于另一个相关变量的变化快慢程度，即变化率问题；处理问题的思想方法相同；矛盾转化的辨证方法；处理问题的思想方法相同；矛盾转化的辨证方法；数学结构相同：函数改变量与自变量改变之比，当自变量改变量趋于零

8、时的极限数学结构相同：函数改变量与自变量改变之比，当自变量改变量趋于零时的极限. 由这两个具体问题便可抽象出导数的概念。由这两个具体问题便可抽象出导数的概念。1：化：化 为为切线切线 割线割线2：取极限：取极限1：化：化 为为111.2 导数概念导数概念定义定义1 设函数设函数 在点在点 的某一邻域内有定义，当自变量的某一邻域内有定义，当自变量 在在 处有增量处有增量 （点（点 仍仍在该邻域内）时，相应地函数有增量在该邻域内）时，相应地函数有增量 ，如果，如果 与与 之比之比 ，当，当 时的极限存在，则称这个极限值为时的极限存在，则称这个极限值为 在点在点 处的导数，记作处的导数，记作 ，)(

9、xfy 0 xx0 xxxx0)()(00 xfxxfyyxxy0 x)(xfy 0 x0 xxy,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即X0为固为固定的点定的点注意：如果上述极限不存在，则称在注意：如果上述极限不存在，则称在x0处不可导处不可导一个整体一个整体符号符号12由此可知：由此可知：导数的导数的力学意义力学意义是变速直线运动物体的瞬时速度；是变速直线运动物体的瞬时速度；导数的导数的几何意义几何意义是曲线切

10、线的斜率是曲线切线的斜率.由上知求导数步骤如下：由上知求导数步骤如下：给给 一个增量一个增量 ，求相应的函数增量，求相应的函数增量0 xx)()(00 xfxxfy 求平均变化率求平均变化率xxfxxfxy)()(00求平均变化率的极限，即求平均变化率的极限，即xyyxxx0lim0tsvtt 0lim0 xykxx 0limtan0 导数是平均变化率的极限！导数是平均变化率的极限！ OXYxM0Myy0 x0 x0+xT)(xfy （图（图3.2）13定义定义2 如果函数如果函数 在区间在区间 内的每一点都可导，则称函数内的每一点都可导，则称函数在区间在区间 内可导内可导.这时，这时，函数函

11、数对于区间对于区间 内每一内每一 值都对应着一个确定的导数，称为函数值都对应着一个确定的导数，称为函数 的的导函数导函数，记作，记作 或或 其计算公式为其计算公式为显然函数显然函数 在点在点 处的导数处的导数 就是导数就是导数 在在 处的函数值处的函数值. 在不致引起混淆的情况下，导函数也简称为导数在不致引起混淆的情况下，导函数也简称为导数. )(xfy ),(ba),(ba)(xfy ),(bax)(xfdxdyxfy),(,).(xfdxdxxfxxfxyxfyxx)()(limlim)(00)(xfy 0 x)(0 xf )( xf0 xx 0)()(0 xxxfxf 注注意意：是常数是

12、常数是函数是函数142.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.xxfxxfxyyxxxx )()(limlim0000015如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.,),(),()

13、(000可可导导性性的的讨讨论论在在点点设设函函数数xxxxxxxxf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)(0存存在在xf 则则)(xf在在点点0 x可可导导，,)(0存存在在xf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)()(00axfxf 若若.)(0axf 且且可导区间：可导区间：16由定义求导数由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例例.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解

14、hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即s17例例1：求函数：求函数 在点在点 处的导数处的导数.2)(xxf2x解：给解：给 一个增量一个增量 ，则函数增量为，则函数增量为2xx222)(42)2()2()2(xxxfxfy平均变化率为平均变化率为.4xxy于是于是. 4)4(limlim)2(00 xxyfxx求导方法：法一、直接在点求导方法：法一、直接在点x0处求增量。处求增量。 法二、求出导函数，再将法二、求出导函数，再将x0代入。代入。使用法一使用法一18例例2 求函数求函数 在点在点 处的导数处的导数.xy11x解解 先求导函数先求导函数

15、.给任意一点给任意一点 一个增量一个增量 ，得，得xx,)(11xxxxxxxy由于由于 ,)(1xxxxy所以所以.1)(1limlim200 xxxxxyyxx再求函数在点再求函数在点 处的导数处的导数. 1)1(121xxxy1x方法：方法：1）直接在点）直接在点x0处求增量。处求增量。 2）求出导函数，在将）求出导函数，在将x0代入。代入。使用法二使用法二19例例3 求函数求函数 的导数的导数.xy 解解 任取一点任取一点 给给 一个增量一个增量 ，得，得), 0( xxx, xxxy.211limlim00 xxxxxyyxx,1xxxxxxxxy从而从而由于当由于当 时，时， 又因

16、又因 在任取点在任取点 处连续，根据连续函数求极限的法则，故得处连续，根据连续函数求极限的法则，故得, xxxxx0 x20例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 211.5 函数的连续性和可导性之间的关系函数的连续性和可导性之间的关系定理：如果函数定理：如果函数 在点在点 处可导，那么处可导，那么 在点在点 处可连续处可连续.该定理可简述为：可导则连续该定理可简述为：可导则连续.)

17、(xfy x)(xfx注意：该定理的逆命题并不成立注意：该定理的逆命题并不成立.如如 在点在点 处连续，但它在点处连续，但它在点 处处不可导不可导.xy 0 x0 x22例例.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy0lim)0()0(limlim000 xfxfyxxx处处连连续续。在在0)( xxf231.6 高阶导数的概念高阶导数的概念.)() )(,)

18、()(lim) )(,)()(0处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称存存在在即即处处可可导导在在点点的的导导数数如如果果函函数数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 二阶导数的力学意义是运动物体的加速度二阶导数的力学意义是运动物体的加速度. 定义：定义：.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记作记作24记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数

19、三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf hxfhxfxfh)( )( lim)( 0 25一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理并并且且可可导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()(

20、)()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu2.1 求导法则求导法则26证证(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略. .2)()()()()()()(xvxvxuxvxuxvxu hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )(

21、)()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处处可可导导在在xxf)()()()(xvxuxvxu 27推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf28例例1 已知已知 求求 ., 2lnsin3xxyy解解 )2lnsin(3xxy.cos3)2(ln)(sin)(23xxxx例例2 已知已知 求求 . ,cos2ln2xxxxyy解解

22、)cos2ln(2xxxxy)cos2()ln(2xxxx)(cos2cos)2()(lnln)(22xxxxxxxx.sin2cosln2xxxxxxx);()()()( )()()2();()( )()()1(xvxuxvxuxvxuxvxuxvxu 29例例3 已知已知 求求 .,tan xy y解解 xxxxxxxxy2cos)(cossincos)(sin)cossin()(tan.seccos1cossincos22222xxxxx例例4 已知已知 求求 .,secxy y解解 xxxxy2cos)(cos)cos1()(secxxxxxxxtanseccossincos1coss

23、in2xxxtansec)(sec即即).0)()()()()()()()()3(2 xvxvxvxuxvxuxvxu30三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且且其其导导数数为为可可导导在在点点则则复复合合函函数数可可导导在在点点而而可可导导在在点点如如果果函函数数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导, ,乘以中间变量对自变量求乘以中间变量对自变量求导导.(.(链式法则链式法则) )xxuxdxdududydxdy xuxuyy

24、)()(xufyx此式也可表为：此式也可表为： 和和)()()()()()(xufdxduduudfxfdxdxfxux 31例例5 求求 .,sinxy y解解 令令 因为因为.,sinxuuy,21)(,cos)(sinxxuuuyxu所以所以.21cosxuuyyxux消去中间变量消去中间变量u， 得得.2cosxxy 有时复合函数的中间变量有两个或两个以上有时复合函数的中间变量有两个或两个以上.如设如设 则复合函数则复合函数的求导法则为的求导法则为 ),(),(),(xvvuufy)(xfy.,dxdvdvdududydxdyvuyyxvux或)()()()()()(xufdxdudu

25、udfxfdxdxfxux 32例例6 求求 . ,coslnxy y解解 令令.,cos,lnxvvuuy于是于是.21sin1xvuvuyyxvux消去中间变量消去中间变量u和和v，得，得.2tan21sincos1xxxxxy),(),(),(xvvuufy 设设.:)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 33例例7 求求 .,ln xy y解解 根据定义域，去掉绝对值符号，表为分段函数根据定义域，去掉绝对值符号，表为分段函数 . 0),ln(, 0,lnlnxxxxxy,1)(ln)(ln0 xxxyx 时，当.1)()ln()(ln0 xxx

26、xxyx 时，当综合得综合得.1)(lnxx例例6 求求 . ,coslnxy y例例7 求求 .,ln xy y问题是如何求？问题是如何求？., 0yeexyyx求求 34四、隐函数求导四、隐函数求导 用复合函数求导法则来求隐函数的导数用复合函数求导法则来求隐函数的导数 如果方程如果方程 确定了确定了y是是x的函数，那么，这样的函数叫做的函数，那么，这样的函数叫做隐函数隐函数.设隐函数设隐函数y关于关于x可导，可导，我们可以利用复合函数求导法则，求出隐函数我们可以利用复合函数求导法则，求出隐函数y对对x的导数的导数.（如例（如例8）0),(yxF例例8 方程方程 确定了确定了y是是x的隐函数

27、，求的隐函数，求 .0ln2yyxy解解 因为因为y是是x的隐函数，所以是的隐函数，所以是lny是是x的复合函数的复合函数.于是于是等式两端对等式两端对x求导数，有求导数，有. 02yyyx解出解出 ，得，得y.12yxyy35例例9 求圆求圆 上一点上一点 处的切线处的切线 方程方程.422 yx)2,2(0M解解 根据导数的几何意义，先求隐函数根据导数的几何意义，先求隐函数y的导数的导数.等式等式两端对两端对x求导，有求导，有022yyx解得解得,yxy即有即有. 1)2,2()2,2(yxy根据直线的点斜式方程，可得所求圆的切线方程根据直线的点斜式方程，可得所求圆的切线方程. 022)2

28、(1)2( yxyx36例例解解0 yxeexy设设想想把把.,00 xyxyyyeexy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程则得恒等式则得恒等式代入方程代入方程,)(xyy 所所确确定定的的函函数数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数0 yxeexy将此恒等式两边同时对将此恒等式两边同时对x求导求导,得得xxy)( xxe )( xye )( )0( 因为因为y是是x的函数的函数, 是是x的复合函数的复合函数,所以所以ye求导时要用复合函数求导法求导时要用复合函数求导法,yyx xe ye y 0 xeyeyyx . 1 0, 0 yx

29、0 x0 y0 x0 y372.2、初等函数的求导问题、初等函数的求导问题xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc382.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（ 1 ）

30、vuvu )(, （ 2 ）uccu )(（ 3 ）vuvuuv )(, （ 4 ）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用导数定义、上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决利用导数定义、上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.39例例10 求下列函数在指定点处的导数：求下列函数在指定点处的导数：);4(,sinln)(fttf求).1 (,1arctan2arcsin)(ftttf求 解解 由由,c

31、otsincossin)(sin)sin(ln)(tttttttf得得. 1cot)4(4ttfxx1)(ln )()()(xufxfx 40由由)1(arctan)2(arcsin)1arctan2(arcsin)(tttttf,1141111212222tttttt得得.633221311141) 1 (122tttf).1 (,1arctan2arcsin)(ftttf求2211)(arctan,11)(arcsinxxxx 41一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边

32、长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 03.1 微分微分42再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易

33、计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有是否所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?2020)(xxxA .)(220 xxx ,20 xA 正方形面积正方形面积43二、二、 微分概念微分概念x定义定义 设函数设函数 在点在点 处有增量处有增量 ，若相应的函数增量，若相应的函数增量 可表为可表为 其中其中A 与与 无关，无关，称为称为 的的线性主部线性主部， 是关于的高阶无穷小量，则称函数是关于的高阶无穷小量，则称函数 在点在点 处处可微可微，并称，并称 为为函数函数在点在点 处的微分，记作处的微分，记

34、作 ，即，即)(xfy xy),( xxAyxxAy)( x)(xfy xxA)(xfy x)(xdfdy或.)(xAxdfdy于是有于是有 ).( xdyy.)(220 xxx .)()(3332020 xxxxx 3030)(xxxy 2020)(xxxA .的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy ( (微分的实质微分的实质) )44由定义知由定义知: :;)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量xdy ;)()2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比 xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(11(0).x

35、 ;)(,)4(0有关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA ).(,)5(线性主部线性主部很小时很小时当当dyyx xAxodyxoxAxfxxfyx 很很小小)()()()()(0 xfA ）（而：而：dxdxdxyxxydxx 145由可微定义得由可微定义得 ).(lim0 xfxyAx可微与可导间关系可微与可导间关系所以可微则可导；所以可微则可导；反过来，可导则可微反过来，可导则可微. 所以对于函数，求导数与求微分是一回事所以对于函数，求导数与求微分是一回事.即可微即可微与可导等价与可导等价.故故可导可导也叫也叫可微可微. 对于求函数的增量而言，只需求对于求函数的增量而

36、言，只需求1次导数，省却了次导数，省却了繁琐的求函数之差的运算，故可简化计算。繁琐的求函数之差的运算，故可简化计算。463.2 微分公式和法则微分公式和法则1. 导数公式和微分公式 2. 导数法则和微分法则 ; 0)(C; 0)(Cd;)(1xx;)(1dxxxd;1)(ln;ln1)(logxxaxxa;)(ln;ln)(logxdxxdaxdxxda详见课本第61页47一、计算函数增量的近似值一、计算函数增量的近似值, 0)()(00很小时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若xxfxxfy 例例1 1?,05. 0,10问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米半半径径伸伸长长了了厘厘米米

37、的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径解解,2rA 设设.05. 0,10厘厘米米厘厘米米 rrrrdA 205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 3.3 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用48二、计算函数的近似值二、计算函数的近似值;)(. 10附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x ;0)(. 2附近的近似值附近的近似值在点在点求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令

38、49例例2 2.计算下列各数的近似值计算下列各数的近似值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 .)()()(000 xxfxfxxf 50 牛顿是著名的数学家、物理学家、天文学家，是科学界崇拜的偶像。单就数学方面的成就，牛顿是著名的数学家、物理学家、天文学家，是科学界崇拜的偶像。单就数学方面的成就，就使他与古希腊的阿基米德、德国的就使他与古希腊的阿基米德、德国的“数学王子数学王子”高斯一起，被成为世界三大数学家。其主要成高斯一起，被成为世界三大数学家。其