人教版八年级下册数学导学教案 17.1 勾股定理

1、第十七章勾股定理171勾股定理第一课时教学目标1经历探索和验证勾股定理的过程，了解勾股定理的概念2利用拼图法验证勾股定理，并会利用两边求直角三角形的另一边长，发展学生的推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想3对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生热爱数学的情感，激励学生发奋学习的欲望教学重难点重点：经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形的另一边长难点：用拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角三角形的另一边长教学过程一、情境引入请同学们观察图17.11(见教材P22)，你能从中发现什么数量关系？教师用多媒体播放“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说：相传两

2、千五百多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形的三边的某种数量关系毕达哥拉斯到底发现了什么？这就是本节课我们要学的知识勾股定理二、互动新授【思考】 图17.12(见教材P22)中三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？学生独立思考，计算后交流讨论教师讲评：我们可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和【探究】 等腰三角形具有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？请同学们根据图17.13(见教材P23

3、)，(1)计算各个正方形的面积；(2)探究SASB与SC，SASB与SC的关系，看看能得到什么结论？学生交流、讨论，计算后容易得出：对于一般以整数为边长的直角三角形，也有两直角边的平方和等于斜边的平方从上面的几个例子中，我们猜想(教材图17.14)：教材图17.14命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2.证明命题1的方法有很多，下面介绍我国古人赵爽的证法1多媒体演示教材图17.15、教材图17.16.2学生利用学具拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证明方法3教师讲解赵爽利用弦图证明命题1的基本思路：赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下：如教材图17.16(1)

4、，把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2b2；另一方面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形(黄色)，把教材图17.16(1)中左、右两个三角形移到教材图17.16(2)中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形(教材图17.16(3)因为教材图17.16(1)与教材图17.16(3)都由四个全等的直角形(红色)和一个正方形(黄色)组成，所以它们的面积相等因此，a2b2c2.教师总结：命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的

5、骄傲因此，这个图案(教材图17.15)被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽三、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？本节课主要学习了勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 四、板书设计第十七章勾股定理171勾股定理第一课时勾股定理：直角三角形中两直角边的平方等于斜边的平方即如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2.五、教学反思本节课以讲故事开始，提出问题让学生思考，设计问题引导学生探究、归纳在整个教学中，教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索、积极思考、大胆想象

6、、总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为数学活动的主人教学中充分体现了知识的发生、形成和发展过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合思想，引导学生利用实验由特殊到一般对直角三角形三边关系进行研究，得出结论通过教学让学生初步掌握这种方法，对于学生良好思维品质的形成有重要作用在教学中，教师应着重强调学生易忽略的两点：(1)使用勾股定理的前提条件是这个三角形必须是直角三角形，解题时只有在直角三角形中，才能运用它来求第三边长；(2)式子a2c2b2，b2c2a2，c，a，b，在具体解题中，应灵活应用导学方案一、学法点津学生要理解并记忆直角三角形的三边关系即勾股定理：a2b2c

7、2(a，b为直角边，c为斜边)若已知直角三角形a，b，c三边中的任意两边的长度，利用勾股定理就可以求出第三条边的长度同时还要注意勾股定理的变形公式有：(1)c；(2)a2c2b2；(3)b2c2a2；(4)a；(5)b.解题时要根据题中的条件，有选择地加以应用二、学点归纳总结1.要点总结（1）直角三角形三边关系：斜边的平方等于两直角边的平方和（2）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2.2.规律方法总结（1）勾股定理只对直角三角形适用，而不适用于锐角和钝角三角形（2）遇到在直角三角形中求线段的长度问题，首先要想到勾股定理，它可以解决直角三角形中的计算与

8、证明问题在解决有关问题时，若三角形中无直角，可以通过作垂线构造直角三角形，以便利用勾股定理使用该定理时，应分清斜边和直角边，它们之间的关系不能混淆第一课时作业设计一、选择题1在ABC中，若C90°，AB17，AC15，则BC的值为()A8 B9 C10 D112在ABC中，若C90°，c39，ba125，则b，a的长度分别为()A36，15 B15，36 C12，5 D24，103若以直角三角形两直角边为边长向外作正方形，所得的面积分别是36和64，则这个直角三角形的斜边长为()A8 B9 C10 D11二、填空题4在RtABC中，C90°，BC12cm，SABC

9、30cm2，则AB_5一个直角三角形，两边长分别是3和4，则第三边长为_6在ABC中，AB15，AC13，且BC边上的高AD12，则ABC的周长为_三、解答题7在ABC中，C90°，且a，b，c分别是A、B、C所对的边(1)若a5，b12，求c的值；(2)若c36，b24，求a的值8将两个完全相同的长方形拼成如下图所示的图形，长方形长为a，宽为b，对角线长为c，请利用图验证勾股定理【参考答案】一、1.A2.A3.C二、4.13cm5.或56.42或32三、7.解：(1)在ABC中，C90°，a2b2c2，a5，b12，c2a2b252122169，c13.(2)a2b2c2

10、，c26，b24，a2242262，a2262242100，a10.8解：连接CC，由题意知，梯形BCCD是直角梯形，ACC是等腰直角三角形，梯形BCCD的面积有两种求法：(1)S梯形BCCD(ab)(ab)(ab)2；(2)S梯形BCCDSACDSABCSACCababc2abc2.由(1)、(2)两式相等可得(ab)2abc2，即(a22abb2)abc2，所以a2b2c2.第二课时教学目标1能运用勾股定理解决简单的实际问题2通过例题的分析与解决，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用3在数学学习过程中，体验数学来源于生活实践，并为生活实践服务教学重难点重点：运用勾股定理解决简单的实际问题难

11、点：勾股定理的灵活应用教学过程一、情境引入上节课我们已经学习了勾股定理其实，勾股定理有广泛的应用，下面我们用它来解决几个问题【例1】 一个门框的尺寸如教材图17.17所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？教材图17.17学生小组交流讨论后，形成共识【分析】 可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过【解】 在RtABC中，根据勾股定理，AC2AB2BC212225.AC2.24.因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过二、互动新授【例2

12、】 如教材图17.18，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？教材图17.18组织学生思考，讨论：(1)根据生活经验，要求梯子底端B外移多少必须知道哪两个量？(2)梯子滑动的过程中谁是常量？谁是变量？引导学生将实际问题转化成数学问题，也就是“已知一个直角三角形的两边，如何求第三边？”的问题引导学生探寻解题思路，提高分析问题的能力，这是完成数学建模的关键【解】 可以看出，BDODOB.在RtAOB中，根据勾股定理，OB2AB2OA22.622.421.OB1.在RtCOD中，根据勾股定理，OD2CD2

13、OC22.62(2.40.5)23.15.OD1.77，BDODOB1.7710.77.所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外端约0.77m.三、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？本节课主要学习了运用勾股定理解决实际问题，其关键是运用转化思想将实际问题转化为数学模型，再运用勾股定理来解四、板书设计171勾股定理第二课时勾股定理的应用：运用勾股定理解决实际问题，其关键是运用转化思想将实际问题转化为数学模型，再运用勾股定理来解 五、教学反思本节课以教材例1引入，引发学生学习的兴趣，通过学生对熟悉的实例的探究，激活学生的思维，整节课力求以学生探究、交流、合作贯彻始

14、终，在教学过程中给学生的思考提供足够的时间和空间使学生在经历“将实际问题转化成数学问题”的过程中，对勾股定理有更深刻的认识，体验数学离不开生活，数学就在我们身边，激发学生应用数学的兴趣勾股定理的应用非常广泛，在日常生活中，有许多问题都可以运用勾股定理来解决的但学生在学习过程中没有很好地运用勾股定理解决实际问题，在这个方面还有待于进一步提高导学方案一、学法点津学生在运用勾股定理解决生产、生活中的实际问题时，首先应将实际问题转化为数学问题，然后用勾股定理构造方程或方程组进行求解二、学点归纳总结1.知识要点总结勾股定理可应用于：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边确定另两边

15、的关系；(3)证明含有平方关系的几何问题；(4)运用勾股定理解决生产、生活中的实际问题2.规律方法总结（1）在运用勾股定理时，首先要确定三角形中的直角，即确定斜边（2）运用勾股定理解决实际问题时，关键是运用转化思想将实际问题转化为数学模型，再运用方程或方程组来解第二课时作业设计一、选择题1有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆形盖子去盖住这个洞口，圆的直径至少长为()dm.A69 B70 C71 D722为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花来布置教室，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离为()米A0.7 B0.8 C0.9 D1.03一个直角三

16、角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为()A4 B8 C10 D12二、填空题4如图1，一个圆锥的高AO2.4cm，底面半径OB0.7cm，AB的长是_cm.5如图2，等腰ABC中，ABAC，AD是底边上的高，若AB5cm，BC6cm，则AD_cm.6如图3，是水上乐园的一个滑梯的示意图，ABAD，若高BC4m，CD2m，则滑道AD的长为_三、解答题7如图4，在一棵树CD上10米高的B处有两只猴子，一只爬下树到与该树水平距离为20米的池塘A处，另一只爬到树顶D后沿直线跃向池塘A处，如果两只猴子经过的距离相等，试求这棵树的高度8.如图5，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和

17、高分别等于5cm、3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，它想到点B去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B，最短路线的长是多少？【参考答案】一、1.C2.A3.C二、4.2.55.46.5m三、7.解：依题意，得BDDABCCA102030(米)，设BDx米，则DA(30x)米，DC(10x)米在RtACD中，DC2CA2DA2，即(10x)2202(30x)2，解得x5，则树高DCDBBC51015(米)8.解：将台阶展开成平面图形，如图所示：AC3×31×312，BC5，AB2AC2BC2169，AB13，蚂蚁爬行

18、的最短路线为13cm.第三课时教学目标1掌握勾股定理，能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想2通过学生实践操作，培养学生的探究能力、画图能力和解决问题的能力3体验学习数学的乐趣，形成积极参与数学活动的意识，再一次感受勾股定理的应用价值教学重难点重点：运用勾股定理解决数学中的实际问题难点：勾股定理的灵活应用 教学过程一、情境引入【思考】 在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？请同学们先画出图形，再写出已知、求证过程师生共同探究：【已知】 如教材图17.19，在RtABC和RtABC中，

19、CC90°，ABAB，ACAC.【求证】 ABCABC.教材图17.19【证明】 在RtABC和RtABC中，CC90°，根据勾股定理，得BC，BC，又ABAB，ACAC，BCBC.ABCABC(SSS) 二、互动新授【探究】 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？学生交流、讨论后，动手尝试教师评析：如果能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点容易知道，长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边长为的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边长为.由此可

20、以依照如下方法，在数轴上画出的点如教材图17.110所示，在数轴上找出表示3的点A，则OA3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C，即为表示的点教材图17.110【问题】 利用勾股定理，你能作出长为，的线段吗？学生交流讨论后，动手画图教师评析：()21212，()2()212，()21222，则利用勾股定理可以作出长为，的线段(教材图17.111)按照同样方法，可以在数轴上画出表示，的点(教材图17.112)三、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？本节课主要学习了勾股定理的实际应用以及在数轴上表示无理数点的方法171勾股定理第

21、三课时利用勾股定理，在数轴上画出表示无理数的点的方法：先将在数轴上找到表示无理数的点的问题转化为画线段的问题，再通过作直角三角形画出长为无理数的线段，进而在数轴上找到表示无理数的点 四、板书设计五、教学反思本节课以思考、探究的形式组织学生开展活动，完成将“构造直角三角形画线段”的知识迁移到“如何在数轴上画出代表无理数的点”的过程，为了使学生进一步体验勾股定理的应用价值，又提供了一个生动有趣的“蚂蚁觅食”的问题，它不仅是勾股定理的应用，而且体现了二、三维图形的转化，对发展学生的空间观念有好处教学中以恰当的情境作衬托，让“两点之间线段最短”在学生脑海中再现蚂蚁从点A爬到点B的问题，看似一个曲面上的

22、路线问题，而实际上可以通过圆柱的侧面展开图转化为平面上的路线问题本节课上充分发挥学生动手操作、分类比较、讨论交流和空间想象的能力，让学生充分体验数学思考的魅力和知识创新的乐趣，体现教学过程中的师生互动，使学生真正成为学习的主人导学方案一、学法点津学生利用勾股定理，在数轴上找到表示无理数的点，首先要把在数轴找到表示无理数的点的问题转化为画线段的问题，然后再通过作直角三角形画出长为无理数的线段，进而在数轴上找到表示无理数的点二、学点归纳总结1.知识要点总结利用勾股定理，可以在数轴上找到表示无理数的点2.规律方法总结（1）只要利用勾股定理，画出表示无理数的线段，就能在数轴上作出表示该无理数的点（2）在数轴上表示无理数的点并没有“充满”，实数与数轴上的点建立了一一对应的关系第三课时作业设计一、选择题1在ABC中，ABC，则它的三条边的之比为()A11 B12 C1 D12如图1，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A.1 B1 C.1 D.图13小明沿着坡度为12的山坡向上走了1000m，则他升高了()m.A200 B500 C500 D1000二、填空题4如图2，在RtABC中，ACB90°，AB4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，