圆幂定理及其应用

1、教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理 如图7-163 , O 0的两条弦AB, CD相交于点P,贝U PA- PB= PC- PD这便是我们学过 的相交弦定理对于这个定理有两个特例：一是如果圆内的两条弦交于圆心0则有PA= PB= PC=卩4圆的半径 R,此时AB CD是直径，相交弦定理当然成立.（如图7-164）二是当P点逐渐远离圆心 0,运动到圆上时，点 P和B, D重合，这时PB= PD= 0仍然有PA- PB= PC- PD= O相交弦定理仍然成立.（图7-165）（2）点P继续运动，运动到圆

2、外时，两弦的延长线交于圆外一图 7-166点P,成为两条割线，则有 PA- PB= PC- PD,这就是我们学过的 切割线定理的推论（割线定理）.（图7-166）（3）在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕 P点旋 转，使C, D两点在圆上逐渐靠近，以至合为一点 C,割线PCD变成切线 PC.这时有PA-PB= PC-PD =PC2这就是我们学过的切割线定理.（图7-167）（4）如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2= PB2,可得PA= PB,这就是我们学过的切线长定理.（图7-168）至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切

3、割线定理及其推论和 切线长定理之间有着密切的联系.3.启发学生理解定理的实质.经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.观察图7-169，可以得出：（设O O半径为R）在图（1）中，PA- PB= PC- PD= PE- PF=（R-OP）（R+OP）=R2-OP2在图（2）中，PA- PB= PT2= OP-OT2=OP-R2在图中，PA- PB= PC- PD= PT2=OP-R2.教师指出，由于 PA- PB均等于丨OP-R2|,为一常数，叫做点 P关于O O的幕，所以相 交弦定理、切割线定理及其推论（割线定理）统称为圆幂定理.二、例题分析（采用师生共同探索、讲练结合的方式进行）

4、例1如图7-170 ,两个以0为圆心的同心圆，AB切大圆于B, AC切小圆于C,交大圆于 D, E, AB= 12, A0= 15 , AD= 8，求两圆的半径.分析：结合图形和已知条件， 根据勾股定理容易求出大圆的半径 0B.求0C也可考虑用上 述方法，但 AC未知，此时则可根据切割线定理先求出 AE,再利用垂径定理便可求出 AC,于 是问题得解.例2如图7-171，在以0为圆心的两个同心圆中，A, B是大圆上任意两点，过 A, B作小圆的割线AXY和BPQ.求证：AX- AY=BP BQ分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单的图形组合而成的但本题不直接含有这样的图形，我们应考

5、虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为出 发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法方法1在图7-172中，过点A, B分别作小圆的切线 AC, BD, C, D为切点.这时就出现 了切割线定理的基本图形，于是有AC2 = AX- AY BD2= BP- BQ.再连结CO AO, DO BQ易证 Rt AOCA Rt BOD 得出 AC= BD所以 AX- AY= BP- BQ.方法2 在图7-173中，作直线 XP交大圆于E , F ,分别延长 AY, BQ交大圆于 C, D.这样就出现了相交弦定理的基本图形于是有AX - XC= EX- XF, BP- PD= FP- P

6、E.易证 AX= CY BP= DQ EX= FP.所以 AX- XC= AX- AY BP - PD= BP- BQ EX- XF= FP PE.所以 AX- AY= BP- BQ.方法3如图7-174 ,由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的特殊割线，作直线 AO交小圆于E, F ,作直线BO交小圆于C, D,则出现了割线定理的基本图形 .于是有AX - AY= AE- AF, BP- BQ= BC- BD.易证 AE= BC AF= BD所以 AE- AF= BC- BD.从而 AX- AY= BP- BQ.通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，沟通了

7、知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此 题？三、强化练习练习1 已知P为O O外一点，OP与O O交于点A,割线PBC与O O交于点B, C,且PB =BC.如果OA=乙 PA= 2,求PC的长.练习2 如图7-175 , O O和O O 都经过点 A和B , PQ切O O于P,交O O'于Q, M 交 AB的延长线于 N.求证：PN2= NM- NQ.四、小结用投影重新打出圆幕定理的基本图形（如图7-176）,让学生观察并说出相应的定理.教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的五、布置作业课本p.133习题7.4A组13、14题.思考题：课本 p.130.想一想，p.134B组6题图 7176板书设计课堂教学设计说明这份教案为 1 课时 . 课本没有给出“圆幂定理”这一名称，而是以“和圆有关的比例线