圆锥曲线专题复习(文数教师版)

1、高三文科数学专题复习之圆锥曲线知识归纳:名称椭圆双曲线图象定义平面内到两定点 Fi, F2的距离的和为 常数（大于|只卩2 ）的动点的轨迹叫椭 圆即 |MFMF2a当2a > 2C时，轨迹是椭圆，当2 a = 2 c时，轨迹是一条线段布|当2a < 2c时，轨迹不存在平面内到两定点 F2的距离的差的绝 对值为常数（小于 F2 ）的动点的轨 迹叫双曲线.即| MF, |MF2 =2a|当2a < 2c时，轨迹是双曲线当2a = 2c时，轨迹是两条射线当2a > 2c时，轨迹不存在标准 方程2 2焦点在X轴上时：+-y2 =1ab22焦点在y轴上时：y2存？ =1 ab注：

2、根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上2 2焦点在X轴上时：一-2= 1a2 b222焦点在y轴上时：- =1ab常数a,b,c的关 系a2 = c2 +b2, a >b >0 , a取大，c=b,c<b,c>b22丄2门c =a +b , c>a0c最大，可以 a-b,a<b,anb渐近线焦点在x轴上时：-±=0a b焦点在y轴上时：±上=0a b抛物线:图 形方 程焦J '、占八、准线（一）椭圆1.椭圆的性质：由椭圆方程=1(a . b 0)(1) 范围：_a乞x乞a, b，椭圆落在x = a, y = b组成的矩形中。(2)

3、 对称性：图象关于y轴对称。图象关于 x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心, 简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。(3 )顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：A (-a,0), A2(a,0) , B (0,-b), B2 (0,b)。加两焦点 R (-c,0), F? (c,0)共有六个特殊点。AA2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴。长分别为2a,2b。a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。(4)离心率：椭圆焦距与长轴长之比。e = ° = e = 1-(b)2。0

4、： e ： 1。aV a此时也可认为圆为椭圆在 e = 0时椭圆形状与e的关系：e > 0,c > 0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆,的特例。e > 1,c > a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为是椭圆在 e = 1时的特例。2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式3. 椭圆的准线方程2 2对于笃笃-1，左准线112a:x =c下准线11：上准线i2 ： y =

5、ca b焦点到准线的距离p =-cc2-cb2二一(焦参数)c(二) 双曲线的几何性质：1. ( 1)范围、对称性2 2由标准方程 务-占=1，从横的方向来看，直线 x=- a,x = a之间没有图象，从纵的方向来看，随着xa b的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。(2)顶点顶点：A(a,0), A?( a,0)，特殊点：B (0,b), B2(0,-b )实轴：A A长为2a,a叫做实半轴长。虚轴：B1B2长为2b, b叫做虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。（3）

6、渐近线（IP。）2 2过双曲线冷_占=1的渐近线ya b双曲线形状与e的关系：k=bae越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。2. 等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。由此可知，双曲线的离心率越大， 它的开口就越阔。等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为:y = x ；（ 2）渐近线互相垂直；（3）离心率e二2 。3. 共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为y =kbx（k 0），那么此双曲线方程就一定是:a ka(ka)22y(kb)2=1(k 0)或写成2x2ab2（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比2c ce，叫做双曲线的离心

7、率,范围：e>12a a4. 共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三 量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为一1。5. 双曲线的第二定义：到定点 F的距离与到定直线l的距离之比为常数e = C（c a 0）的点的轨迹是a双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e是双曲线的离心率。6. 双曲线的准线方程：2,相对于右焦点F2（c,0）对c2 2对于 令£ =1来说，相对于左焦点F1 （-c,0）对应着左

8、准线11 : x a2 b2应着右准线12 : x焦点到准线的距离 p（也叫焦参数）2 对于y2 ax2-b1来说，相对于下焦点F1（0r）对应着下准线Z2a-;相对于上焦点F2（0,c）对c应着上准线2 a l2: y =c（三）抛物线的几何性质（1）范围因为p>0，由方程y? =2px p 0可知，这条抛物线上的点 M的坐标(x, y)满足不等式x>0，所 以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。(2) 对称性以一y代y,方程y2 =2px(p >0 )不变，所以这条抛物线关于 x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做 抛物

9、线的轴。(3) 顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2 =2pxp . 0中，当y = 0时，x= 0,因此抛物线y2 =2px p 0的顶点就是坐标原点。(4)离心率抛物线上的点 M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e = 1。【典型例题】例1.根据下列条件，写出椭圆方程”(1) 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8;(2) 和椭圆9x2+ 4y2 = 36有相同的焦点，且经过点(2, - 3);(3) 中心在原点，焦点在 x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是.10 .一 5

10、。分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据 确定a2、b2的值进而写出标准方程。解：(1)焦点位置可在x轴上，也可在y轴上a2= b2 + c2及已知条件2 x2y2-1或 y2X 116121612因此有两解:(2)焦点位置确定，且为0,二、5 ),设原方程为2 2y x -1 , ( a>b>0),由已知条件有a b2 2a -b =594 二 a2 =15,b22 ,2 1.ab2=10，故方程为L1521。102(3)设椭圆方程为务a22=1, (a>b>0)b2由题设条件有丿一一及 a2= b2 + c2，解得 b= -$5, a =

11、 10c = 10 - 52 2故所求椭圆的方程是-匚=1。105例2.直线y =kx 1与双曲线3x2 - y2 =1相交于A B两点，当a为何值时，A B在双曲线的同一支上？当a为何值时，a B分别在双曲线的两支上?解：把 y 二 kx 1 代入 3x? y? =1整理得：(3a?*? _2ax-2 = 0 (1)当 a =二.3 时，尺=24 4a?由,;>0得- .6 : a ： .、6且a = _.3时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点若A、B在双曲线的同一支，须 x1x? >0,所以a3或a 3。a 3故当-,6 : a ： - . 3或.、3 : a ：、. 6

12、时，A、B两点在同一支上；当-,3 . a ：、. 3 时，A、B两点在双曲线的两支上。例3.已知抛物线方程为 y? =?p(x十1) (p>0),直线I : x + y = m过抛物线的焦点 F且被抛物线截得的弦长为3,求p的值。1 +古丨 y1 - y? 1=勺？ I y1解：设1与抛物线交于 A(X1,y1),B(x?,y?),则|AB|=3.由距离公式 |AB| = .(X1-X?)? (y1-y?)?则有r -y?)得y? 2py _ p?二0x y - -1卫亠 由2,消去x,?y p(x 1)从而(y1 -y?)? =(y1 y?)? -4%y?即(-2 p)? 4p?=-

13、23由于p>0,解得p =-4例4.过点(1 , 0)的直线I与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为?的椭圆C相交于A、B两点，直2线y=x过线段AB的中点，同时椭圆 C上存在一点与右焦点关于直线I对称，试求直线I与椭圆C的方2程.? _h?1解法一：由 e=-,得-一?二一，从而 a2=2b2,c=b.a 2a?2设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12 x22)+2(y12 y22)=0, y1 一丫?x1 x?.X1 -x?2W1 +y?)x设 AB 中点为(x0,y0),

14、贝U kAB=02y0又(x0,y0)在直线y=x 上,2y0=丄 x0,2于是生=1,kAB= 1,2y0设I的方程为y= x+1.右焦点(b,0)由点(1,1b)2=2b2,b2=关于I的对称点设为(x ' ,yb)在椭圆上929,a16 88x292a2a162y =1,l9解法二：由e=-2,得a 丄 从而a2=2b2,c=b.a 2a22设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x 1),将I的方程代入 C的方程，得(1+2k2)x2 4k2x+2k2 2b2=0,4k 2则 x1+x2=一1 +2k2所求椭圆C的方程为的方程为y= x+1.,y1+y2=k(x

15、1 1)+k(x2 1)=k(x1+x2) 2k= 2k1 2k22k21 2k2 ,直线l : y=lx过AB的中点(x1x2 y1y2 ),贝U乂22'21+2k2解得k=0，或k= 1.若k=0,则I的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线I的对称点就是F点本身,去，从而k= 1，直线I的方程为y= (x 1),即y= x+1,以下同解法一一 .2 2解法3:设椭圆方程为笃当=1(a b 0)(1)a2 b2不能在椭圆C上，所以k=0舍直线l不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线1过AB中点矛盾。2故可设直线I的方程为y =k(x_1)(2)设A*, yi) B(x2，y2)，

16、知：xi -x22 22k a.2 272k a bk 2kx1 x21，k-2k 空字22k2a212， J*b_2ka2叫白一公2a-1，.直线I的方程为y =1 - x，此时 a2 =2b2，方程(3)化为3x2 -4x 2 -2b2 =0，： T624(1b2) =8(3b2-1) 0. 32222222b ，椭圆C的方程可写成：x 2y -2b (4)，又c -a -b -b， 3右焦点F(b,0)，设点F关于直线I的对称点(x0，y°)，r亠=1x0 - bXob则12 2=.xo 1, yo =1 b,又点 (1, -b)在椭圆上，代入得：1 旳曲，b W耳，所以所求的

17、椭圆方程为:2 22L 19_98 16例5.如图，已知 P1OP2的面积为27 , P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且4过点p的离心率为的双曲线方程.2解：以O为原点，/ P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系2 2设双曲线方程为 笃 葺=1(a > 0,b >0)a b2 *由 e2=c- =1 (b)2 =(竺)2，得a2a2b 3a 2两渐近线 0P1 0P2方程分别为y= x 和 y= x2 233设点 P1(x1,x1),P2(x2,x2)(x1 > 0,x2 > 0),22PP则由点P分pp2所成的比入=点=2,得

18、P点坐标为(x1 2x2,x13又点p在双曲线-44=1 上,a2 9a222所以(X1 +2X2)_(X1 2X2)=1-2x2 )2 ,2 29a29a2即(x1+2x2)2 (x1 2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2即 x1x2=-2由、得a2=4,b2=92 249 =1.故双曲线方程为y例6.求点P的轨迹C对应的方程；已知点A (m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE,且AD丄AE,判断：直线 DE是否过已知点B (- 1 , 0), C (1, 0), P是平面上一动点，且满足 |PC|，|BC|=PB CB.(1)(2) 定点？试证明你的结论(3) 已知

19、点A( m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦 AD, AE,且AD, AE的斜率k1、k2满足k1 -k2=2. 求证：直线 DE过定点，并求出这个定点.解：（0 设 p（x,y）代入 IPC | |BC |二PB CB得. （x_1）2 - y2 =1 x,化简得y2 =4x.【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1.二是任意实数，则方程 x2-y2 si nr - 4所表示的曲线不可能是（A.椭圆 B. 双曲线C. 抛物线 D. 圆2.2 2已知椭 . （-Ld）1的一条准线方程是 y =8，则实数t的值是（）12 21A. 7或一722ykB. 4 或 12=1的离心率e -

20、C. 1 或 15D. 0（1,2），则k的取值范围为（3.双曲线x4A.(,0)B.(12, 0)C.( 3, 0)D.224.以x _y=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（412222 2A.1丄=1B. L 1161212 16222 2C.0丄=1D. U11644165.抛物线y = 8mx2的焦点坐标为（)A.（丄,0)1B. (0,)1C. (0,)8m32m32m6.已知点A ( 2,2 21), y =4x的焦点为 F, P是 y =4xi的坐标是（)A.(丄1)4B.(-2,2 2)1C.(,T) D.47.已知双曲线的渐近线方程为 3x 一4y = 0 , 条准线方

21、程为222 2A.yx=1B. N 丄=1916916222 2C.x=1xy.D.19259252抛物线y = x到直线2x - y =4距离最近的点的坐标为（(-60, 12)D.(一丄,0)32 m的点，为使PA PF取得最小值,(-2,-2、2)5y -9 =0，则双曲线方程为（8.A.（畀B. (1,1)3 9C. (2,；)D.(2,4)P占I八、9.动圆的圆心在抛物线 y2 =8x上，且动圆与直线 x 2二0相切，则动圆必过定点(A. (4, 0)B. (2, 0)C. (0, 2) D.(0, 2)10 .中心在原点，焦点在坐标为(0 ,± 5.2)的椭圆被直线3x

22、y 2=0截得的弦的中点的横坐标为-,2则椭圆方程为()二、填空题11. 到定点(2, 0)的距离与到定直线 x = 8的距离之比为 匸的动点的轨迹方程为 。212. 双曲线2mx2 my2 =2的一条准线是y =1，则m=。13.已知点(2, 3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点距离是5, p=14 .直线I的方程为y=x+3,在I上任取一点P,若过点P且以双曲线12x24y2=3的焦点作椭圆的焦点, 那么具有最短长轴的椭圆方程为 。三、解答题15. 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F(2, 0)作斜率为 3的直线，交双曲线于 MN两点，且MN 5=4,求双曲线方程。16.过椭圆2

23、=1的左焦点F作直线l交椭圆于P、3Q , f2为右焦点。求：pf2 -qf2的最值一9、22417. 已知椭圆的一个焦点为 F1(0- 2丿2)，对应的准线方程为 y =-，且离心率e满足一，e、-,丿y 433成等比数列。(1) 求椭圆的方程。一 一 1(2) 试冋是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点 M N,且线段MN恰被直线x 平分？若存在，2求出I的倾角的取值范围，若不存在，请说明理由。18. 如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5 , 0)，倾斜角为一的直线l与线段OA相交(不4经过点O或点A)且交抛物线于 M N两点，求 AMN面积最大时直线l的方程，并求 A

24、MN的最大面积.【试题答案】1. C2. C3. B4. A5. B6. A7. A8. B9. B 10.C11.(x 4)22y =1723612.413. 42 214.H =13542215.解：设所求双曲线方程为X? _餐=1 （a>0, b>0）,由右焦点为（2, 0）。知c = 2, b2 = 4-a2a b22厄则双曲线方程为 笃_ y 2 =1，设直线MN的方程为：y= 3（x 2），代入双曲线方程整理得：（20- a2 4b2 52-12a220 -8a28a2) x2 + 12a2x + 5a4 - 32a2= 0设 M(x1,y1 ) ,N (x2,y2 ),则 X1 X2解得：a2 =1 , b2 =4 -1 =32故所求双曲线方程为：x2 - y 13X = 1 +1 cosa16. 解：直线I :丿a为参数y =0 +t - sinaP、Q为l与椭圆的交点2 2(-