高二数学导数题型全面分享

1、高二数学导数题型分析及解题方法一、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1 f (x)x33x22 在区间1,1 上的最大值是22已知函数 yf ( x)x (xc)2 在x2 处有极大值，则常数c6；3函数 y1 3xx3有极小值 1,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程1曲线 y4xx3在点1,3 处的切线方程是yx 22若曲线 f ( x)x4x 在 P 点处的切线平行于直线3 xy0 ，则 P 点的坐标为（ 1，0）3若曲线 y x4的一条切线 l 与直线 x4 y80 垂直，则 l 的方程为4xy 3 04求下列直线的方程：（1）曲线 yx3x21在 P(-1,1)

2、处的切线；（ 2）曲线 yx2过点 P(3,5)的切线；解：（ 1）点P(1,1) 在曲线 yx 3x 21上，y/3x2 2xk y /|132 1x所以切线方程为y1x1 ，即 xy20（2）显然点 P（3，5）不在曲线上， 所以可设切点为A( x0 , y0) ，则 y0x02又函数的导数为 y / 2x ，A(x, y )ky / |xx2 xA( x, y)所 以过点的切线的斜率为0，又切线过、 P(3,5) 点 ，所 以有00000y05x1x052x00或x03 ，由联立方程组得，y01y025 ，即切点为（1， 1）时，切线斜率为k1 2x02; ；当切点为（5， 25）时，切

3、线斜率为k22 x010 ；所以所求的切线有两条，方程分别为 y12(x1)或 y2510(x5)，即 y2 x1 或 y10 x25题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1已知函数f ( x)x3ax2bxc, 过曲线 yf (x)上的点 P(1, f (1) 的切线方程为y=3x+1（）若函数f ( x)在 x2 处有极值，求 f ( x) 的表达式；（）在（）的条件下，求函数y f ( x) 在 3， 1 上的最大值；（）若函数 yf ( x) 在区间 2， 1 上单调递增，求实数b 的取值范围解：（ 1）由 f (x)x3ax2bxc,求导数得 f ( x) 3x 22axb.过

4、 y f ( x) 上点 P(1, f (1) 的切线方程为：yf (1)f (1)(x1),即 y( abc1)( 32ab)( x1).而过 yf (x)上 P1, f (1)的切线方程为 y3x1.32ab3即 2ab0故 ac3ac3 yf ( x)在 x2时有极值 ,故 f(2)0,4ab12由得a=2， b= 4， c=5 f ( x)x 32x24x5.（ 2） f ( x)3x24x4( 3x2)( x2).3 x2时, f (x)0;当 2 x2 时, f (x) 0;当3当 2x时, f(x) 0.f ( x) 极大f (2)1331又 f(1)4,f ( x) 在 3，

5、1上最大值是 13。（ 3） y=f(x)在 2，1上单调递增，又f( x)3x 22axb, 由知 2a+b=0。依题意 f( x) 在 2， 1 上恒有 f( x) 0，即 3x2bxb0.xb1时 , f ( x) minf(1)3bb0,b66当；xb2时 , f( x) minf (2)122bb 0, b当6；261时, f( x) min12bb20, 则0b6.当b12综上所述，参数b 的取值范围是 0,)32c 在 x1 和 x1 时取极值，且 f ( 2)4 2已知三次函数f (x)xaxbx(1) 求函数 yf( x) 的表达式；(2)求函数 yf ( x) 的单调区间和

6、极值；(3)若函数 g (x)f ( xm)4m (m0) 在区间 m 3, n 上的值域为 4,16 ，试求 m 、 n 应满足的条件解： (1)f(x)22axb ，3 x由题意得，1,1 是 3x22 ax b0 的两个根，解得，a 0, b3 再由 f ( 2)4 可得 c2 f ( x)x33x2 (2)f(x)3x233( x 1)(x 1) ，当 x1 时， f ( x)0 ；当 x1 时， f (x)0 ；当1x1 时， f(x)0 ；当 x1 时， f( x)0 ；当 x1 时， f ( x)0 函数 f( x) 在区间 (,1 上是增函数；在区间 1, 上是减函数；在区间1

7、,) 上是增函数函数 f ( x)的极大值是f ( 1)0 ，极小值是f (1)4 (3)函数 g (x) 的图象是由 f (x) 的图象向右平移 m 个单位，向上平移 4 m 个单位得到的，所以，函数f ( x) 在区间 3, nm 上的值域为 4 4m,164m （ m 0）而 f ( 3)20 ， 4 4m20 ，即 m 4 于是，函数f ( x) 在区间 3, n4 上的值域为 20, 0令 f ( x) 0 得 x1 或 x2 由 f ( x) 的单调性知，1剟 n4 2，即3剟 n 6 综上所述， m 、 n 应满足的条件是： m 4 ，且 3 剟n6 3设函数 f ( x) x(

8、 x a)( xb) （ 1）若 f ( x) 的图象与直线 5xy 8 0 相切，切点横坐标为，且f ( x) 在 x1 处取极值，求实数 a, b 的值；（ 2）当 b=1 时，试证明：不论a 取何实数，函数f (x) 总有两个不同的极值点解：（ 1） f( x)3x22(a b)xab.由题意 f (2)5, f (1)0 ，代入上式，解之得：a=1， b=1（ 2）当 b=1 时， 令f( x)0得方程 3x22(a1) x a 0.因4( a 2a 1)0, 故方程有两个不同实根x1 ,x2 不妨设 x1x2 ，由 f ' ( x) 3( xx1 )(xx2 ) 可判断 f

9、' ( x) 的符号如下：当 xx1时，f ' ( x) ；当 x1x x2时，f ' (x) ；当 xx2时，f ' ( x) 因此 x1 是极大值点，x2 是极小值点 ，当 b=1 时，不论 a 取何实数，函数f ( x) 总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象1如右图：是 f （ x）的导函数，f / ( x) 的图象如右图所示，则f （x）的图象只可能是（ D）（ A）（ B）（ C）（ D）1x34x1的图像为y( A )2函数3yyyy666644442222-4-2o 2 4xy 2 4xoxxo 2 4-4 -2-2-4 -2-22

10、4-2-2-4-4-4-43方程 2x36x 2 7 0在 (0,2)内根的个数为( B)A、0B、1C、2D、3题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围f ( x)1 x 32ax23a 2 x b,0 a 1.1设函数3（ 1）求函数f ( x) 的单调区间、极值 .（ 2）若当 x a1, a2 时，恒有 | f ( x) | a ，试确定 a 的取值范围 .解：（ 1） f ( x)x24ax3a2= (x3a)( xa) ，令 f ( x)0 得 x1 a, x2 3a列表如下：x（ - ，a） a（ a，3a） 3a（ 3a，+）f ( x)-0+0-f ( x)极小极大

11、 f ( x) 在（ a， 3a）上单调递增，在（- ， a）和（ 3a， +）上单调递减f极小 (x)b4 a33a 时， f极小 (x)bx a 时，3 ， x（ 2） f ( x)x24ax3a2 0a1，对称轴x 2a a 1， f ( x) 在 a+1 ， a+2 上单调递减fMax(a1)24a( a1)3a22a 1，fmin(a2)24a( a2) 3a24a 4依题| f ( x) |a| fMax |a，| fmin |a即| 2a1|a,|4a4 |a4a 1，又 0 a1 4,1)解得 5 a 的取值范围是522已知函数f （x） x3 ax2 bx c 在 x 3 与

12、 x 1 时都取得极值（数 f （ x）的单调区间（ 2）若对 x 1，2，不等式f （ x）c2 恒成立，求c 的取值范围。解：（ 1） f （x） x3 ax2 bx c， f（ x） 3x2 2ax b1）求a、 b 的值与函 212 4 a b0 1由 f（3 ） 93， f（ 1） 3 2a b 0 得 a2， b 2f （ x） 3x2 x2（ 3x2）（ x 1），函数 f （ x）的单调区间如下表：x2221（ 1，）（，3） 3（ 3 ，1）f00（ x）f （x）极大值极小值22所以函数 f （x）的递增区间是（， 3 ）与（ 1，），递减区间是（3 ，1）1222（ 2）

13、 f （ x） x3 2 x2 2x c，x 1， 2，当 x 3 时， f （ x） 27 c为极大值，而f （ 2） 2 c，则 f （ 2） 2 c 为最大值。要使 f （ x）c2（ x 1，2）恒成立，只需 c2f （ 2） 2 c，解得 c 1 或 c2题型六：利用导数研究方程的根3,1).131已知平面向量 a =(b =( 2 ,2).（ 1）若存在不同时为零的实数k 和 t ，使 x = a +(t2 3) b ， y =-k a +t b ， x y ，试求函数关系式k=f(t)；(2) 据 (1) 的结论，讨论关于t的方程 f(t) k=0 的解的情况 .解： (1) x

14、 y ， xy =0即 a +(t2-3)b ·(-k a +t b )=0.2a b + (t2-3)2整理后得 -k a +t-k(t2-3)· b =0221，即 k= 4 t(t2-3) a b =0， a=4， b =1，上式化为 -4k+t(t2-3)=011(2) 讨论方程 4 t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=4 t(t2-3)与直线 y=k 的交点个数 .33于是 f (t)=4 (t2-1)=4 (t+1)(t-1).令 f (t)=0, 解得 t1=-1,t2=1.当 t变化时， f (t)、 f(t)的变化情况如下表：t(- ,

15、-1)-1(-1,1)1(1,+ )f (t)+0-0+F(t)极大值极小值1当 t= 1 时， f(t)有极大值， f(t)极大值=2.1当 t=1 时， f(t)有极小值， f(t)极小值 = 21函数 f(t)=4 t(t2-3)的图象如图13 2 1 所示，可观察出：11(1)当 k 2 或 k2 时 , 方程 f(t) k=0 有且只有一解；11(2)当 k= 2 或 k= 2 时 , 方程 f(t) k=0 有两解；11(3)当 2 k 2 时 , 方程 f(t) k=0 有三解 .题型七：导数与不等式的综合1设 a0,函数 f (x)x3ax 在 1,) 上是单调函数 .（ 1）

16、求实数 a 的取值范围；（ 2）设x01，f (x)1，且f ( f ( x0 ) x0，求证：f ( x0 ) x0.解：（ 1） yf (x)3x 2a,若 f ( x) 在 1,上是单调递减函数， 则须 y0,即a3x 2 , 这样的实数 a 不存在 . 故 f ( x) 在 1,上不可能是单调递减函数 .若 f ( x) 在 1,上是单调递增函数，则a 3x 2，由于 x1,故3x 23 . 从而 0<a 3.（ 2 ） 方 法 1 、 可 知 f ( x) 在 1,上只能为单调增函数.若 1 x0f (x0 ) ， 则f ( x0 )f ( f ( x0 ) x0矛盾 ,若 1

17、f ( x0 ) x0,则 f ( f (x0 )f (x0 ),即 x0f ( x0 )矛盾，故只有 f (x0 )x0 成立 .方 法2： 设f ( x0 )u,则f (u)x0，x03ax0u, u3aux0 , 两 式 相 减 得( x03u3 )a( x0u) ux0 ( x0u)( x02x0 uu21 a)0,x0 1,u 1，x02x0u u 23, 又0a 3 ，x02x0u u 21 a 0f ( x)( x23)( xa)2已知 a 为实数，函数2（ 1）若函数 f (x) 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围（ 2）若 f '( 1)0 ，（）求函数f

18、 (x) 的单调区间x1、 x2 (1,0)| f (x1)f (x2 ) |5（）证明对任意的，不等式16 恒成立f (x) x3ax23 x3 af '( x)3x22ax3解：22，2函数 f ( x) 的图象有与x 轴平行的切线，f '( x)0 有实数解4a24 3 30 a29（， 32 32， ）2，2 ，所以 a 的取值范围是22f '( 1) 0 ，32a30a9f '(x)3x29 x33(x1)( x1)2，4 ，222由 f '(x) 0, x1x1f '( x)0,1 x122或；由f ( x) 的单调递增区间是(,1)

19、,(1 ,)(1,1 )2；单调减区间为2f (1)25f (1 )49f (0)27易知 f (x) 的最大值为8 ， f (x) 的极小值为216 ，又8M2749f ( x) 在 1，08m上的最大值，最小值16对任意 x1, x2(1,0) ，恒有| f ( x1 ) f ( x2 ) | Mm2749581616题型八：导数在实际中的应用1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示） 。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1 的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设 OO1为 x m ，则 1x4由题设可得正六棱锥底面边长为：32(x1

20、)282xx，（单位： m ）3332) ，（单位： m 2故底面正六边形的面积为：64(82xx 2 ) 2=2(82 xx）V（） 3 3( 82xx2) 1(x1)13 (1612 x x3 )帐篷的体积为：x232（单位： m3）V'（ x）3 (123x2 )求导得2。令 V'（ x） 0 ，解得 x2 （不合题意，舍去） ， x2 ，当 1x2 时， V'（ x）当 2x4 时， V'（ x）0 V（ x）， 为增函数；0 V（ x）， 为减函数。当 x 2 时，V （ x）最大。答：当 OO1为 2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为16 3 m3。

21、2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米 /y1x33 x8(0x 120).小时）的函数解析式可以表示为：12800080已知甲、乙两地相距100 千米。（ I ）当汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（ II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？1002.5解：（ I ）当 x40 时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时，(14033408)2.517.5要耗没 12800080（升）。100（ II ）当速度为 x 千米 / 小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为h( x) 升，h( x)(1x33x8). 1001x280015 (0 x120),依题意得12800080x1280x4h'( x