圆锥曲线知识点与练习

1、圆锥曲线第1课时一一椭圆与双曲线的几何性质班别姓名学号、椭圆与双曲线的标准方程与性质椭圆双曲线定义1到两定点F1、F2的距离的和等于常数 2 a（2 a > | F1F2I）的动点M的轨迹叫椭圆。即 | M F1 | + | M F 2 | = 2 a定点F2叫焦点,|卩冋 叫焦距。到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2 a （2 a < | F1F2I）的动点M的轨迹叫双曲线。即 | M F1 卜-| M F 2 | = ± 2 a 定点F2叫焦点，| F1F2I叫焦距。定义2到一个定点F1的距离和到一条定直线 1的距离的比等于常数 e = （ 0 < e

2、 < 1）的动点aM的轨迹叫椭圆。定点F1叫做椭圆的焦点， 定直线1叫做椭圆的准线，e叫做椭圆的离 心率。到一个定点F1的距离和到一条定直线 l的距c离的比等于常数e = （ e > 1）的动点M的轨a迹叫双曲线。定点 F1叫做双曲线的焦点，定 直线l叫做双曲线的准线，e叫做双曲线的离 心率。标准方程(a > b > 0 )(a > b > 0 )(a > 0 , b > 0 )(a > 0 , b > 0 )判断焦点 位置方法谁的分母大，谁就做 a2,焦点在相应字母 的坐标轴上。（a 一定大于b ）（焦点始终 在长轴所在的直线上）x

3、 2项的系数为“ + ”，则焦点在x轴上，相应 的项的分母为a2; y 2项的系数为“ +”，贝U 焦点在y轴上，相应的项的分母为 a2。（ a 不一定大于b ）（焦点始终在实轴所在的直 线上）图形范围-a w x w a-b w y wb-b w x w b-a w y w ax w - a 或 x > ay w - a 或 y > a顶点坐标(± a , 0 ) , (0 , ± b )(± b , 0 ) , ( 0 , ± a )(± a , 0 )(0 , ± a )焦点坐标(± c , 0 )焦距长2

4、 c22.2c = a -b(0 ,± c )焦距长2 c22.2c = a -b(± c , 0 )焦距长2 c22, 2c = a + b(0 , ± c )焦距长2 c22, 2c = a + b轴长轴长 | A 1 A 2 | = 2 a , 短轴长| B 1 B 2 |= 2 b实轴长 | A 1 A 2 |= 2 a, 虚轴长| B 1 B 2 | = 2 b对称性关于x轴、y轴、原点对称关于x轴、y轴、原点对称离心率ce = 一 ( 0 < e < 1 )ace = 一 ( e > 1 )a准线方程2.ax = ± c2.

5、a y = Tc2.ax = 士 c2+ a y = T c渐近线方程+ b y = ± x a+ a y = 士一 x b通径长练习1、椭圆与双曲线方程特征2 21、已知方程 X y =1，（ 1）若方程表示的图形是圆，贝yk的取值范围是2k k -12 22、若k- R，则“ k 3 ”是“方程 y1表示双曲线”的()(A)充分不必要条件(C)充要条件.3、 若点M到两定点F 1 ( -1 , 0 ),(A)双曲线 (B)双曲线的一支4、若点M到两定点F 1 ( 0 ,-),(A)椭圆 (B)直线 F 1 F 2(C)k -3 k 3(B) 必要不充分条件.(D )既不充分也不必

6、要条件( 06年上海春季)F 2 ( 1 , 0 )的距离之差等于2,则点的轨迹是()(C) 两条射线(D) 条射线F 2 ( 0 , 1 )的距离之和等于 2,则点的轨迹是(线段F 1 F 2(D) F 1 F 2的中垂线2 2 25、已知圆锥曲线 m x + 4 y = 4 m的离心率e为方程2 x -5 x + 2 = 0的两根，则满足条件的圆锥曲 线有( )条(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4 6、已知三点P(5,2) ,Fi( 6,0), F2(6,0) , (I)求以Fi、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;(n)设点P、F1、F2关于直线y= x的对称点分别为P "

7、;、F1 >F2，求以F1、F2为焦点且过点P"的双曲线的标准方程。(06年江苏) 练习2、椭圆与双曲线的几何性质2 2x y7、已知椭圆1，请填写下表:1625x8已知椭圆-2516-1，请填写下表:长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程2长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程v2 x29、已知双曲线1，请填写下表:1625实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程2 210、已知双曲线話士二1，请填写下表:实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程练习3、双曲线中与渐近线有关的问题2 x2(1)由双曲线方程求渐近线方程步骤：把双曲线的标准方程y =1右边常数1换

8、成0,则b22 2冷-爲-0并化简可得到渐近线方程2 2xy(0)(.£ 0)，nma b(2)其中若已知渐近线方程为 y =mx，变形得-：X，则可设双曲线方程为nm n2 2为待定系数若能判断焦点的位置时， 可进一步设双曲线方程为 笃-爲n m2 2 轴上)或当一笃=(0)(焦点在y轴上).m n2 2 2 2(3)与 务-每=1共渐近线双曲线的方程可设为笃-笃=( =0).a ba b2 211、 与双曲线- y1有共同渐近线，并且过点M ( 43,2、. 3)的双曲线的一个焦点到一条渐近线916的距离是()(A) 8(B) 4(C) 2(D) 112、焦点为F ( 0 , 1

9、0 )，渐近线为4 x + 3 y = 0的双曲线方程为 13、焦距为10,渐近线为x± 2 y = 0的双曲线方程为 练习4、求椭圆与双曲线的离心率。14、 (03年北京)直线l :x -2y - 2=0过椭圆的左焦点 F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为()1 2、52、5A.B.C.D.555515、在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 -，则该双曲线的2离心率为()(A) 2(B)2(C) . 2(D)2、222 2x y16、过双曲线 2 =1(a>0, b>0)的左焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,a b以MN为直径

10、的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 .17、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点卩，若厶F1PF2为等腰直角(A)三角形，则椭圆的离心率是()(05年全国卷 山)(C) 2 _ 2(D) 2 _1118、 双曲线的中心在原点，实轴长为4，一条准线方程是 x =，则双曲线的离心率是 2x2 y2419、 已知双曲线2 岸=1的一条渐近线方程为 y= §x,则双曲线的离心率为()(06年全国卷II)(蛙(A) 5 (B)42220、已知双曲线3x - y =9,则双曲线右支上的点D 2、3B.C. 23于( )A. 22x21、已知a >

11、b > 0, e1 , e2分别为圆锥曲线2a2yb23(D)P到右焦点的距离与点 P到右准线的距离之比等D.4(2006年广东卷)2y2 =1的离心率，则lg e1 +lg e2的值b()(A) 一定是正数(B) 定是负数练习5、禾U用椭圆的第一定义，求焦点三角形的边长、周长和面积x222、已知 ABC的顶点B、C在椭圆 令+ y2= 1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个 焦点在BC边上，则 ABC的周长是()(2006年全国卷II)(A) 2 3( B) 6(C) 4 3(D) 1222、已知双曲线的实轴长为 2 a, AB为左支上过焦点F 1的弦，| AB| = m ,

12、F2为双曲线的另一个焦点, 则厶ABF 2的周长是(C) 一定是零(D)以上答案均不正确2 2 y 1的长轴AB分成8等份，过每个分点作 x轴的垂线交2516-zP,B,P3,R,P5,F6,P7七个点，F是椭圆的一个焦点，目 马空_屯 则|RF|+|巳f|Fpf I+IP4F +|Pf |+|P6F| +(06年四川卷)23、如图，把椭圆椭圆的上半部分于A2x24、若双曲线a2 2 2yx y1(a > 0 , b > 0 )与椭圆1( m > n > 0 )有相同的焦点F 1 , F 2, P是bm n两曲线的一个交点,(A) m -a (B)则 I P F i |

13、 | P F 2 | 等于()1(m -a )222(C) m -a(D) mf'a25、椭圆的焦点F 1, F 2在x轴上，焦距为2 15，椭圆上的点到两焦点的距离之和为8,(1)求椭圆的标准方程;(2)设点M在椭圆上，且 MFiMF2 = 0,求厶F1MF2的面积。226、已知双曲线x2y1的焦点为2Fi、F2，点M在双曲线上且 MFi MF2 =0,则点M到x轴的(A)-3距离为(1课时一一椭圆与双曲线的几何性质姓名学号(D) . 3(05年全国卷III)答案：(C)椭圆双曲线定义1到两定点F2的距离的和等于常数 2 a到两定点F" F2的距离的差的绝对值等于常圆锥曲线

14、第班别、椭圆与双曲线的标准方程与性质(2 a > | F1F2I)的动点M的轨迹叫椭圆。 即 | M F1 | + | M F 2 | = 2 a 定点F2叫焦点，| F1F2I叫焦距。数2 a (2 a < | F1F2|)的动点M的轨迹叫双曲 线。即 | M F1 | - | M F 2 | = ± 2 a 定点F2叫焦点，| F1F2|叫焦距。定义2到一个定点F1的距离和到一条定直线 1的距离的比等于常数 e = ( 0 < e < 1)的动点aM的轨迹叫椭圆。定点F1叫做椭圆的焦点， 定直线1叫做椭圆的准线，e叫做椭圆的离 心率。到一个定点F1的距离和

15、到一条定直线 l的距c离的比等于常数e = - ( e > 1)的动点M的轨a迹叫双曲线。定点 F1叫做双曲线的焦点，定 直线l叫做双曲线的准线，e叫做双曲线的离 心率。标准方程(a > b > 0 )(a > b > 0 )(a > 0 , b > 0 )(a > 0 , b > 0 )判断焦点 位置方法谁的分母大，谁就做 a2,焦点在相应字母 的坐标轴上。(a 一定大于b )(焦点始终 在长轴所在的直线上)x 2项的系数为“ + ”，则焦点在x轴上，相应 的项的分母为a2; y 2项的系数为“ +”，贝U 焦点在y轴上，相应的项的分母为

16、 a 0 ( a 不一定大于b )(焦点始终在实轴所在的直 线上)图形范围-a w x w a-b w y wb-b w x w b-a w y w ax w - a 或 x > ay w - a 或 y > a顶点坐标(± a , 0 ) , (0, ± b )(± b , 0 ) , ( 0 , ± a )(± a , 0 )(0 , ± a )焦点坐标(± c , 0 )焦距长2 c22.2c = a -b(0 ,± c )焦距长2 c22.2c = a -b(± c , 0 )焦距长2

17、 c22, 2c = a + b(0 , ± c )焦距长2 c22, 2c = a + b轴长轴长 | A 1 A 2 | = 2 a , 短轴长| B 1 B 2 |= 2 b实轴长 | A 1 A 2 |= 2 a, 虚轴长| B 1 B 2 | = 2 b对称性关于x轴、y轴、原点对称关于x轴、y轴、原点对称离心率ce = 一 ( 0 < e < 1 ) ace = ( e > 1 )a准线方程2.ax = 主c2+ ay = *c2+ ax =主c2+ ay = *c渐近线方程+ b y = ± x a+ ay =± x b通径长练习1

18、椭圆与双曲线方程特征2 21、 已知方程+匚=1 , ( 1)若方程表示的图形是圆，则k的取值范围是 ；2_k k -1(2)若方程表示的图形是椭圆，则k的取值范围是 ；(3)若方程表示的图形是双曲线，则k的取值范围是 。2 3答案：(1)(2) 1 < k < 2 且 kz (3) k < 1 或 k > 2222 22、 若k R，则“ k 3 ”是“方程 y1表示双曲线”的()k3 k+3(A)充分不必要条件(C)充要条件答案：A3、若点M到两定点F i ( -1 , 0 ),(A)双曲线 (B)双曲线的一支4、若点M到两定点F i ( 0 ,-),(B)必要不充

19、分条件(D )既不充分也不必要条件( 2006年上海春卷)F 2 ( 1 , 0 )的距离之差等于2,则点的轨迹是()(C)两条射线(D) 条射线答案：(D)F 2 ( 0 , 1 )的距离之和等于 2,则点的轨迹是()线段F i F 2(D) F i F 2的中垂线答案：(C)2 2 25、 已知圆锥曲线 m x + 4 y = 4 m的离心率e为方程2 x -5 x + 2 = 0的两根，则满足条件的圆锥曲 线有(A) i解：易知)条(B) 2(C) 3(D) 41 ie = 2或e ，由e = 2得焦点在x轴上的双曲线一条，由e 得焦点在x轴上的椭圆一2 2答案：(C)(A)椭圆 (B)

20、直线 F i F 2(C)条或焦点在y轴上的椭圆一条，.选(C)6、已知三点 P (5, 2)、Fi (- 6, 0)、F2 (6, 0).(I)求以Fi、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;()设点P、Fi、F2关于直线y = x的对称点分别为 P、Fi、F2，求以Fi、F2为焦点且过 点P 的双曲线的标准方程。(06年江苏)2 2解：(i)由题意可设所求椭圆的标准方程为笃每=i(a>b>0),其半焦距c=6a b2a = PFi + PF2 = Jii2 +22 +Ji2 +22 = 6亦 /. a = 3亦,b 2=a2-c2=9.2 2所以所求椭圆的标准方程为y i459(

21、2)点 P(5,2)、Fi(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x 的对称点分别为点P，(2，5)、Fi, (0，-6)、F2，(0，6).一、x2y2设所求双曲线的标准方程为 22=i(ai0,bi0)由题意知，半焦距ci=6abi22Q = 2、5,b i2=ci2-a i2=36-20=i6.所以所求双曲线的标准方程为亠-仏=i20 i6练习2、椭圆与双曲线的几何性质2 27、已知椭圆x yi，请填写下表:i6 25长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程i086(0 , ± 3 )25 y = ±孑2 2X V&已知椭圆1，请填写下表:9、已知双曲线1，请填

22、写下表:16252516长轴长短轴长焦距焦点坐标离心率准线方程1086(± 3,0)25x = ± 32 2 y x实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程810(0,± J41 )2 2X y10、已知双曲线1，请填写下表:1625(1)由双曲线方程求渐近线方程步骤：把双曲线的标准方程2 2x y22=1右边常数a b1换成0,则2x2a2fr=0并化简可得到渐近线方程2(2)若已知渐近线方程为y = x，变形得 -，则可设双曲线方程为2nm nn2V2m2 2其中为待定系数若能判断焦点的位置时， 可进一步设双曲线方程为 务-y (' 0)(焦点

23、在xn m2 2轴上)或 芯一务 =、(、0)(焦点在y轴上)m n2 2X V(3)与-=1共渐近线双曲线的方程可设为a b22x y22 = ( = 0) a b11、与双曲线2 2-11有共同渐近线，并且过点916M ( 43,2 3)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是(A)8(B)4(C)2(D)1答案：(C)(晨练题十二练习 4)实轴长虚轴长焦距焦点坐标离心率准线方程渐近线方程8102 741(土 J41,0)练习3、双曲线中与渐近线有关的问题12、焦点为F （丽,0 ），渐近线为y = ± 3 x的双曲线方程为 答案：X2-丄=1 （059年上海）（同步44页练习6）

24、2 2 2解：设所求的双曲线方程为入2 yx yX，即1 ，入 + 9 入=109人 9人所求的双曲线方程为 X212、焦点为F （ 0,10 ）,渐近线为4 x + 3 y = 0的双曲线方程为答案:2y642-1 (晨练36题十二练习1）2解：设所求的双曲线方程为 壬1692二，即 卩16'9 -=1 , 16 入 + 9 入=1002 2所求的双曲线方程为工 X 41692即-1643613、焦距为10,渐近线为 X± 2 y =0的双曲线方程为答案:2 2_丄=1或2052-X =120解:（1）当焦点在X轴上时，设所求的双曲线方程为X2 vy2，即4人22xy_5（

25、2）当焦点在y轴上时，设所求的双曲线方程为X22，即y2X-14' 4入+入=252所求的双曲线方程为 - y2 =5，即4204入+入=25,2X .122所求的双曲线方程为y2 -乙=5，即 止3 5练习4、求椭圆与双曲线的离心率。14、（03年北京）直线l :x -2y - 2=0过椭圆的左焦点 R和一个顶点B，该椭圆的离心率为（1A.-52B.5C.515、在给定双曲线中,- 1 、过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的2离心率为（(B)2(C)、2(D)2 、2（06年山东文科）（五年131页练习2）答案：（C）解：2b2a2 a c由得c-2b2a

26、-222c -a由得=>2x16、过双曲线a2占=1（a>0, b>0）的左焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,b2以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 （05年浙江）（五年131页练习12） 答案：2解：易知厶MNA为等腰直角三角形,且/MAN为直角.b2=ac=> b 2 =2=a + ac =>2c -2 2-a = a + a ca=>2 c-a c-2 a 2 = 0=>2 e -e-2 = 0=>(e-2 ) ( e + 1 ) = 0=>e = 217、设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过

27、F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 卩，若厶F1PF2为等腰直角 三角形，则椭圆的离心率是（）（05年全国卷 山）答案：（D）（A） 丄（B） -（C） 2-2（D）2-12 2118、 双曲线的中心在原点，实轴长为4，一条准线方程是 x =，则双曲线的离心率是 2答案：4x2 v2419、 已知双曲线 訐一岸=1的一条渐近线方程为 y= §x,则双曲线的离心率为（）（06年全国卷II）答案：(A )(A) 520、已知双曲线于( )(B)4(C)53x2 -y2 = 9,则双曲线右支上的点A.B.U3C. 2D.4(2006年广东卷)答案： C21、2x已知a > b >

28、0, e1 , e2分别为圆锥曲线 -a2 y_ b22 2=1和务-爲=1的离心率，贝U lg e1 +lg e2的值 a b(A)定是正数(B)，定是负数(C)定是零(D)以上答案均不正确答案：(B)解:-a.a2b2,:ae1e2 :a二 lg ei +ig e2 = Ig ei e2 < 0练习5、利用椭圆的第一定义,选(B)求焦点三角形的边长、周长和面积x2 o22、已知 ABC的顶点B、C在椭圆 3 + y2= 1上，顶点 A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个3焦点在BC边上，则 ABC的周长是()(2006年全国卷II)答案：(C )(A) 2.3( B) 6(C) 4.3(D) 1222、已知双曲线的实轴长为 2 a, AB为左支上过焦点F 1的弦，| AB| = m , F?为双曲线的另一个焦点,则厶ABF2的周长是 答案：4 a + 2 m2 2 y 1的长轴AB分成8等份，过每个分点作 x轴的垂线交 25 16椭圆的上半部分于 p,F2,p3,巳，巳，F6,p7七个点，f是椭圆的一个焦点，则|Rf|+&f|+|pf