高考数学二轮复习专题《数列》

1、学习必备欢迎下载20XX 年高考数学二轮复习数列数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题也是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数

2、法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。一、教学要求本专题的教学要求有以下几点。1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数，理解数列的通项公式的意义。2、理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式，能运用公式解决一些简单问题。能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等差数列与一次函数的关系。3、理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式、前n 项和公式，能运用公式解决一些简单问题。能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并能用有关知

3、识解决相应的问题。了解等比数列与指数函数的关系。探索等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式。4、数列教学，要注意的问题：(1) 教学中，应使学生了解数列是一种特殊函数。(2) 会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式。(3) 教学中，要掌握数列中各量之间的基本关系但训练要控制难度和复杂程度，避免繁琐的计算、人为技巧化的难题。(4) 等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系。这样做，既突出了问题意识，也有助于学生理解数列的本质。二、考纲要求江西省 20XX 年高考仍按教育部考试中心颁布的大纲实施，其中有关数列的部分是这样写的：考试内容：

4、数列等差数列及其通项公式等差数列前n 项和公式等比数列及其通项公式等比数列前n 项和公式考试要求：(1) 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项(2) 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。(3) 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。三、试题特点1、考情统计20XX 年高考各地的16 套试卷中，每套试卷均有1 道数列解答题试题，处于压轴位置的有6 道。数列解答题属于中档题或难题。其中，涉及等差数列和等比数列的试题有11 道，有关递推数

5、列的有8 道，关于不等式证明的有6 道。另外，等比求和的错位相减法，广东卷的概率和数列的交汇，湖北卷的不等式型的递推数列关系都是高考试题中展现的亮点。20XX 年高考各地的18 套试卷中 ,有 18 道数列解答试题。其中与函数综合的有6 道，涉及数列不等式证明的有8 道，北京还命制了新颖的“绝对差数列 ”。值得一提的是，其中有8 道属于递推数列问题，这在高考中是一个重点。20XX 年高考各地的各套试卷中都有数列题，有7 套试卷是在压轴题的位置，有9 套是在倒数第二道学习必备欢迎下载的位置，其它的一般在第二、三的位置，几乎每道题涉及到递推数列，有9 道涉及到数列、不等式或函数的综合问题，安徽省还

6、出现了一道数列应用题。20XX 年高考各地的各套试卷中都有数列题，也都是几乎每道题涉及到递推数列，数列、不等式或函数的综合问题。综上可知，数列解答题是高考命题的一个每年必考且难度较大的题型，其命题热点是与不等式交汇、呈现递推关系的综合性试题。其中，以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体，有着高等数学背景的数列解答题仍将是未来高考命题的亮点，而以考查学生归纳、猜想、数学试验等能力研究性试题也将成为高考命题的一个新亮点。2、主要特点数列是高中代数的重要内容之一，也是与大学衔接的内容，由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用，所以在历年高考

7、中占有重要地位，近几年更是有所加强。数列解答题大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，其难度属于中、高档难度。高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏一般情况下都是一个客观题和一个综合解答题。数列的综合题难度都很大，甚至很多都是试卷的压轴题，它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法其中的高考热点 探索性问题也出现在近年高考的数列解答题中。3、考查知识(1)

8、考查数列、等差数列、等比数列等基本知识、基本技能。(2) 与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合，考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养。(3) 以应用题或探索题的形式出现，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提供广阔的空间。四、试题类型下面我以 20XX 年高考试题为例，大致概括一下高考数列试题的常见类型。只谈数列本身，不涉及数列与向量、三角或解析几何等知识的交汇。类型一：考查等差、等比数列的基本问题等差、等比数列是两类最基本的数列，它们是数列部分的重点，也是高考考查的热点。等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项的和等基本知识一直是高考考查

9、的重点，这方面考题的解法灵活多样，技巧性强，考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活 ”就集中在 “转化 ”的水平上。江西卷5 在数列 an 中， a12 ， an 1an ln(11 ) ，则 an()nA 2 ln nB 2 ( n 1)ln nC 2 n ln nD 1 n ln n解：选 A 。 a2a1ln(11) ， a3a2ln(1 1) ， anan 1ln(11)12n1aaln( 2 )( 3 )( 4)( n)2ln nn1123n1江西卷19数列 an 为等差数列，an 为正整数，其前n 项和为 Sn ，数列 bn 为等比数列，且a13, b11，数列 ba

10、n 是公比为 64的等比数列， b2 S264 。(1) 求 an , bn ； (2)1113求证S1S2Sn。4解：（1）设 an 的公差为 d ， bn 的公比为 q ，则 d 为正整数， an3 (n1)d ， bnqn 1 ，依题ban 1q3 ndqd6426意有banq3 ( n 1) dS2b2(6d )q64学习必备欢迎下载由 (6 d )q64 知 q 为 正 有 理 数 ， 故 d 为 6 的 因 子1,2,3,6之 一 ， 解 得 d2, q8 ， 故an32 (n1)n2b1,nn 18。(2) Sn 3 5(2 n1)n(n11111112) ,S2Sn13 2 4

11、3 5n(n2)S11(11111111 )1(1 111 )3 。232435n n 222 n 1 n 24全国 文 19在数列an 中， a11， an12an2n 。(1)设 bnan，证明：数列bn是等差数列； (2)求数列an 的前 n 项和 Sn 。2n1anan解：（ 1）2ann1，则为等差数列，ann 1an 12，2n 1bn1bnb1nn2。2n1 bn 11 bn(2)Sn120221(n1)2n 2n2n 1, 2Sn1212 22( n1)2n 1n2n两式相减，得Snn 2n120212n1n2n2n1。全国文18等差数列an中， a410 且 a3， a6，

12、a10成等比数列，求数列an 前 20 项的和 S20 。解：设数列an的 公 差 为 d， 则 a3a4d 10 d ， a6a42d10 2d，a10a46d106d 。由 a3， a6， a10 成等比数列得a3a10a62 ，即(10d)(106d )(102d )2 ，整理得 10d 210d0 ，解得 d0或 d1。当 d 0 时 ，S2 02 a04； 当d 1时 ，a1a4 3d 10 3 1 7， 于 是2 0 0S2020a12019 d207190330 。2类型二：考查递推数列的通项公式问题对于由递推式所确定的数列的通项公式问题，通常可对递推式进行变形，从而转化为等差、

13、等比数列问题来解决，这类问题一直是高考久考不衰的题型。天津卷20 在数列 an 中， a11 ， a22 ，且 an 1(1q) anqan1 （ n2, q0 ）第 (2)问：求数列 an 的通项公式。解：由（）得 an 1anq(anan 1) ，是首项为1，公比为 q 的等比数列。 a2a11，a3a2q ，an an1qn2 (n 2) 。将以上各式相加，得ana11q qn 2 (n 2)所以当 n 2 时，an111qn 1， q1，qn，q1.上式对 n1显然成立四川卷20 设数列an的前 n 项和为 Sn ，已知 ban2nb 1 Sn 。第 (2) 问：求an的通项公式。解：

14、当 b2 时，由（）知， ann 2n 12n 1 ，即 a(n1) 2 n 1 ；当b2时，由： anban 12n 1 ，n两边同时除以2n 得 anban11。2n22n12an1可设anb(an 1)an1b an 11b ，首nn 1n(n1)， n 是等比数列，公比为22 22b 22b 22b 2 2 2项为 112b1 。bb2学习必备欢迎下载an1b 1b)n 1anb 1bn 11，2nb 2 b 2(2n()b 22b 22 an2n b1(b)n 112(b1)bn 12n。b22b 2b 2类型三：考查数列与不等式的综合问题数列与不等式都是高中数学重要内容，一些常见的

15、解题技巧和思想方法在数列与不等式的综合问题中都得到了比较充分的体现以两者的交汇处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考中出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位。陕西卷 22已知数列 an 的首项 a133an，n1，2， ， an 12an51(1)求 an 的通项公式；(2)证明：对任意的x0 ， an 112x， n 1，2， ；x(1x)23n1(3)证明： a1a2ann2n。1解：（ 1）an13an，121，11111，又112，112an1an 13 3a nan 13 anan3an是以2为首项，1为公比的等比数列11212an3n33an3 3n1n ，3n32(2)由（

16、 1）知 an3n0 ，3n2112x11211x1 x (1 x)2 3n1 x (1 x)23n111(1x)1121 x (1 x)2aan (1 x) 21 xn112anan an 。an1x(3)由（ 2）知，对任意的 x0 ，有a1 a2an 112x112x112x1x(1231x(1221x(12nx)x)3x)3n1222nx1x(1x) 23323n12222111133n，则取 x3323n113nnn 1n3a1a2an nn2n211n11n111n3n3n浙江卷 22已知数列 an ，an0 ，a10 , an 12an 11an2 (nN * ) ，记 Sna1

17、a2an ，学习必备欢迎下载Tn111。求证：1a1(1a1 )(1a2 )(1a1 )(1a2 )(1an )(1)anan1 ；(2)Snn2 ；(3)Tn3 。解： (1) 证明：用数学归纳法证明当n1时，因为 a2 是方程 x2x10的正根，所以 a1a2 。 假 设 当 n k(kN* ) 时 ， ak222ak 22ak 1 1)ak 1 ， 因 为 ak 1ak(ak 21) (ak 1(ak 2ak 1 )(ak 2ak 11) ，所以 ak 1ak2 即当 nk1时， anan 1 也成立。根据和，可知anan 1 对任何 nN *都成立。(2)证明：由ak 12ak 11a

18、k2，k1，2， ，n1（n 2） ，得an2( a2a3an ) (n 1) a12 因为 a10 ，所以 Snn12由 anan 1 及 an 122an21得 an1，所以 Snn 2 。an1 an1(3)证明：由 ak2ak112 2ak ，得1 ak1(k， ，1，n3)，所以1akak2ak2 3n111an( a 3) ，于是(1a3)(1a4 )(1an )2n 2 a21anan1(n 3)(1a2 )(1a3 )(12n 22a2 )2n 22n 2an )(a2故当 n 3 时， Tn 11113 ，又因为 T1T2T3 ，所以 Tn3。22n2类型四：考查存在性和探索

19、性问题这类题突出了对学生的探究、发现和创造能力的考查，有的试题对此考查全面且达到了一定的深度，体现了研究性学习思想。江苏卷 19 (1) 设 a1 , a2, an 是各项均不为零的等差数列（n4 ），且公差 d0 ，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序 )是等比数列。当n = 4时，求 a1的数值；求 n 的所有可能值；d(2)求证：对于一个给定的正整数n (n 4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1, b2 ,bn ，其中任意三项 (按原来顺序 )都不能组成等比数列。解： (1) 当 n=4 时 ,a1 ,a2 , a3 , a4 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续

20、三项成等比数列，则推出 d=0。若删去 a2 ，则 a32a1 a4，即 (a12d)2 a 1(a 1 3d)化简得 a14d 0 ，得 a14 ; 若删去 a3 ，d 0 ，得 a1d则 a22a1 a4 ，即 (a1d )2a1 (a13d ) 化简得 a11.综上，得 a14 或 a1d1。dd当 n=5 时 ,a1 , a2, a3 , a4 , a5中同样不可能删去a1, a2 , a4 , a5 ，否则出现连续三项。若删去a3 ，则a1 a5a2 a4，即 a1 (a1 4d )(a 1d ) (a 13d)化简得 3d20，因为 d 0 ，所以 a3 不能删去； 当 n6时，不

21、存在这样的等差数列。事实上，在数列a1 , a2 , a3 , , an2 , an 1, an 中，由于不能删去首项或末项，若删去 a2 ，则必有 a1ana3 an2 ，这与 d0矛盾；同样若删去an 1 也有 a1 an a3 an 2 ，这与 d0矛盾；若删去 a3 , , an 2 中任意一个，则必有a1ana2an 1 ，这与d0矛盾。 (或者说：当 n6时，无论删去学习必备欢迎下载哪一项，剩余的项中必有连续的三项).综上所述， n4 。(2) 假设对于某个正整数bx 1 ,by 1, bz 1 ( 0xyznn ， 存 在 一 个 公 差 为 d 的 n 项 等 差 数 列 b1

22、 ,b2 ,.bn， 其 中1 ) 为 任 意 三 项 成 等 比 数 列 ， 则 b2 y 1 bx 1bz 1， 即(b12(1 bx )d 1( b ，化z)简d得 ( y2xz)d2(xz 2 y)b1d（ *）y d)由 b1d0知， y2xz 与 xz 2 y 同时为 0 或同时不为0。当 y2xz 与 x z2y 同时为0 时，有xyz 与题设矛盾。故y2xz 与 x z2 y 同时不为0 ，所以由（* ）得 b1y2xz，因为dxz 2 y0xyzn1，且 x、y、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而b1为有理数。于是，对于任意的，只要 b1d正整数 n(n4)为无理数，相应

23、的数列就是满足题意要求的数列。例如n 项数列1，1 2，d1 2 2， 1 (n 1) 2满足要求。湖北卷21 已知数列 an 和 bn 满足： a1, a2 an 4,b( 1)n ( a 3n 21), 其中n 13nnn为实数， n 为正整数。(2) 试判断数列 bn 是否为等比数列，并证明你的结论；(3)设0a b , Sn为数列 bn 的前 n.，使得对任意正整数n ，都有aSnb ?项和 是否存在实数若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。解： (2) 解：因为 bn+1=(-1) n+1 an+1-3(n-1)+21 =(-1) n +1(2an-2n+14)=2(-1) n&

24、#183;（an -3n+21 ） =2bn，又333b1 x-(+18), 所以当 18时， bn=0(n N+ )，此时 bn不是等比数列；当 18 时， b1=(+18) 0,由上可知 bn0，所以 bn 12(n N+) 。bn3故当 18时，数列 b 是以 ( 18)为首项， 2为公比的等比数列。n32(3)由 (2)知，当 18，bn=0，Sn=0，不满足题目要求。 18，故知 bn= -( +18) ·()n-1 ，于3是可得S3(18)·2 n.要使 a<S32n（ ）(+18) · 1 ()n=-13n<b 对任意正整数 n 成立，即

25、 a<-355<b ( n N+)a3 (18)b1(2n512)n)(33令 f ( n)1(2n为正奇数时， 1< f(n)5;当 n为正偶数时， 5f ( n)1, f(n) 的最大值为) ，当339f(1)=5,f(n)的最小值为 f(2)=5,于是，由式得5a<-3(+18),<3 bb 183a 18.39955当 a<b 3a 时，由 b-18 =-3 a-18，不存在实数满足题目要求；当 b>3a 存在实数 ，使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<b,且 的取值范围是 ( b-18,-3a-18)。学习必备欢迎下载五、复习建

26、议在二轮复习中， 如何做到有针对性， 高效率， 是每个老师都应认真思考的问题。就数列这一部分而言，我个人有以下几点想法或体会。1、基础题要确保，难题要有所为有所不为基础题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和等内容，对基本的计算技能要求不是很高，建议要强化方程思想在解题中的作用(基本量 )，知道前 n项和与通项的关系。对中等及偏下的学生不必介绍过多解题技巧，对基础较好的学生，可适当介绍。例5.1.1 设数列 an 是各项均为实数的等比数列，Sn 为其前 n 项和，若S1 0 10, S3 0 70，则S40 ()A. 150B.200C. 150 或 200D. 400 或

27、500方法一：当 q1 时，显然不合题意，故q1。于是a1 (1q10 )101q1q10q207(q102)( q103)0a1 (1q30 )701q解得： q102,a110。所以， S40a1 (1q40 )150，选 A.1 q1q方法二：设 S20x, S40y ，易知 S10 , S20S10 , S30S20 , S40S30成等比数列，所以( x10)210(70x)x30x20(70 x)2( x10)( y70)y或200150y所以选 C.两种算法得到不同的结果。那么问题出现在哪里？运用解法二应注意什么？象这些基础性的，在复习时一定要学生弄清楚，不可一知半解。对试卷中放

28、在最后的压轴数列题，重点应放在前一问，基础较好的应冲刺最后一问，不能刻意求全，能做到分步得分就行。同时不能放弃数列常规题的复习教学，这仍是一个重点，这是一项 “根深叶茂 ”的基础工程，至关重要。2、关于递推数列问题递推数列求通项确实不属于考试大纲的要求，大纲中的规定是 “了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但是递推公式只是向学生呈现了一种陌生情境，让学生转换化归为已知数列来解决，也就是让学生运用已有的数列知识去解决新的数列问题，即“能力立意”，递推关系只是能力立意的载体，真正考查的是转换与化归等数学思想方法。从近几年的高考来看，递推之风盛行。不过，江西这边情况

29、稍有不同。最近几年的数列题如下：20XX年江西卷第(21)题 已知正项数列 an 中 a01,an 11an ), n N .an (42（）求证 anan 12 ；（）求通项 an .20XX年江西卷第(22)题已知数列 an 满足：a13 ，且 a3nan 1（ n2， nN ）。2n2an 1 n1(1) 求数列 an 的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n ，不等式 a1a2an2n! 。20XX年江西卷第 (22)题设 正 整 数 数 列 an满 足 ： a2 4 ， 且 对 于 任 何 nN* ，有学习必备欢迎下载121 anan 1 21 an 111annn1（ 1）求 a1 ,a3 ；（ 2