圆锥曲线重点知识点总结

1、2Xa2 y_ b2Xa cos1 椭圆1(ab0)的参数方程是ybsi n22Xy1(ab0)J2 椭圆ab焦半径公式、椭圆PFia ex PF2a ex Fi, F2分别为左右焦点3 .焦点2X角形：P为椭圆a1(a b 0)PFF上一点，则三角形PF2的面积2b ?tanS=2x2在椭圆a2 y b2PF1F21(a特别地，若PFiPF2,此三角形面积为b ；0)上存在点p,使PRPF2的条件是c >b,即椭圆的离心率e的范椭圆的的内外部点 P(X0,y。)在椭圆2 x 2 a2 y b21(a0)的内部2xo2a点pg y°)在椭圆2x2a2 y b21(a0)的外部2

2、xo2a椭圆的切线方程2x2(1)椭圆a1(a0)上'一占八、P(X0,y0)处的切线方程是XqX_ygya2b2过椭圆2X2a2y_b21(ab 0)外一点P(X0,yo)所引两条切线的切点弦方程是b2Xoxy°y2-a2X2(3)椭圆a1(a)与直线Ax By C2 20相切的条件是A aB2b2c2、双曲线22a双曲线a0,b0)的焦半径公式PFi|e(xPF22|e(x)|c双曲线的内外部(1)点 P(xo,y。)2x2在双曲线a1(a0,b0)的内部2X。a2x点Pdo, yo)在双曲线a双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为ay(2)若渐近线方程为1(

3、a0,b0)的外部2X0a渐近线方程:2 y_ b2双曲线可设为2x2(3)若双曲线与a2 y b2有公共渐近线，可设为2x-2a2 y b20，焦点在x轴上,0隹占在八、八、Iy轴上)10 .双曲线的切线方程2x(1)双曲线a2yb21(a0，b 0)上一点P(X0,y0)处的切线方程是X°X2ayoy 1了 12x过双曲线ay21(a0,b)外一点P(xo,yo)所引两条切线的切点弦方程是XoX2aycyb2(3 双2x2a2y_b21(a0,b 0)与直线Ax By c 0相切的条件是A2a2B2b2c211焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即b 值)三、抛物线12 焦点与半

4、径抛物线y2ax(a0),焦点是(a,0),准线x;44抛物线x2ay(a0),焦点是(0,),准线y-；4413 .焦半径公式2抛物线y2px(p0)c (x), y°)为抛物线上一点，焦半径CFx0“PPCDX卷XX?p14 .过焦点弦长22对焦点在y轴上的抛物线有类似结论。15 设点方法2抛物线y2 Px上的动点可设为2P(2p，y0)或 P(2pt2,2pt)或p(X。，yo),其中yo 2 px。四、圆锥曲线共性问题16 .两个常见的曲线系方程(1)过曲线f1(x,y)0,f2(x,y) 0的交点的曲线系方程是f1(x,y)f2(x,y) 0(为参数).2x-2 共焦点的有

5、心圆锥曲线系方程a k2 y b2其中k22max a ,b 当maxa ,b 时，表示双曲线.2 2 2 2k mina,b时,表示椭圆；当 mina,b17 直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB (为 X2)2 (y1 y2)2 十或AB 7(1 k2)(x2xj2 |x1 x21 tan2| % y21 cot2(弦端点 A(X1,y1), B(X2,y2)y kx b0,为直线AB的倾斜角，k为直由方程F(x,y) 0消去y得到ax2 bx c 0 ,线的斜率).18 涉及到曲线上的点 A , B及线段AB的中点M的关系时，可以利用“点差法:比如在椭圆中：A ( X1,y 1),B ( X

6、2 , y 2),中占M( x 0,y 0),则有:22X12y1 .21 (1)ab22X2y 2-1 (2)2.2ab.2.2(1)(2)y y 2X1X2 ?(b)X。?(b2)?(2X1X 2y1y 2ay oa19 圆锥曲线的两类对称冋题0(1)曲线 F(x, y)o关于点P(xo,y°)成中心对称的曲线是F(2xo-x, 2yoy)(2)曲线 F(x, y)O关于直线Ax By C O成轴对称的曲线是F(x 2A(AxA2By C)B22B(Ax By C)“2 2A B20 “四线” 一方程对于一般的二次曲线Ax2Bxy2Cy Dx EyF O，用XoX 代 x2，用2

7、yoy代y，用xoy xyoXo2 代 xy，用 2 代 xy。y用2即得方程Axox B Xo y - Xy0 Cyoy DXox2yoo，曲线的切线,切点弦，中点 弦，弦中点方程均是此方程得到 .五、椭圆的常用结论:1. 点P处的切线PT平分 PF仆2在点P处的外角.2. PT平分APF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去 长轴的两个端点3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切2 2x y若P)(xo, yo)在椭圆一22a b2 2x y 若F0(xo, yo)在椭圆一2a b1上，

8、则过Po的椭圆的切线方程是 竽马 1.a b1夕卜，则过P0作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦P1P2的x0xy0y直线方程是-02021.ab2 2xy7. 椭圆21 (a > b > 0)的左右焦点分别为Fi, F 2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则ab2椭圆的焦点角形的面积为 S fiPf2b tan .2x8. 椭圆a2y1 (a>b> 0)的焦半径公式 b2|MFi| a exo,|MF2| a exo( Fi( c,0) , F2(c,0) M (xo, yo).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点， 连结A

9、P和AQ分别交相 应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，贝U MF丄NF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M， A2P和A1Q交于点N，贝U MF丄NF.2 2x y11. AB是椭圆 2 1的不平行于对称轴的弦，M(X0,y0)为AB的中点，则kOM kABa bb2 ， a即K ABb2x°2 a y°2x12.若 R(x0,y0)在椭圆一2ab21内，则被Po所平分的中点弦的方程是xxaycyx02y。b2【推论】：2x1、若 P0(X0,y°)在椭圆一2a2 x 1内，则过Po的弦中点的

10、轨迹方程是2ay2b2XgX2aycyb22x圆一2ab21 (a>b >o)的两个顶点为 A|( a,0) , A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时2 2xyA1P1与A2P2交点的轨迹方程是221 .ab22xy2、过椭圆 21 (a>0, b >0)上任一点A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两ab点，则直线bc有定向且kBC7 (常数)a y。2 2x y3、若P为椭圆r 2 1( a > b > 0)上异于长轴端点的任一点，F1, F 2是焦点，PF1F2a ba cPF2F-i，则tan cota c 222

11、 2x y4、设椭圆 2 1 (a>b >0)的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在PFiF2a b中，记FfF2PF1F2F1F2P，则有sinsin since.a2x5、若椭圆ab21 (a > b > 0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0vew2 1时,可在椭圆上求一点 P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项2 2x y6、P为椭圆 飞 21 (a > b >0 )上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则a b2a | AF2 | | PA | PF-i | 2a | AF1 |，当且仅

12、当A, F2, P三点共线时，等号成立7、椭圆区型丄卫1与直线Ax Byb20有公共点的充要条件是(Ax。2By。 C).2x8、已知椭圆a2 y b2(a> b >0)，0为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点，且0P0Q. (1)12|OP|12 2|OQ |2 a21 p ;(2) |OP|2+|OQ| 2 的最大值为b2樓；(3)SoPQ的最小值是a b2, 2a b.a b9、过椭圆(a> b > 0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于 M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则咱| MN |2 2x y10、已知椭圆a b,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB的垂直平

13、分线与x轴相a b交于点 P(x°,0),则-X。b22x12、设A、B是椭圆右a22 1( a> b > 0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB，2ab2|cos |PBA，BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) |PA|2-22.(2)ac cos22a2b2tan tan1 e .(3)S PAB22 Cot.b a2 2x y13、已知椭圆 2 1 ( a >b > 0 )的右准线I与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆a b22xy11、设P点是椭圆二牙1aba>b >0)上异于长轴端点的任一点，Fi、F2为其焦点记

14、F1PF2则 IPF1IIPF2I2b21 cos.(2) S PF1F2b2%.相交于A、B两点，点C在右准线I上，且BC X轴，则直线AC经过线段EF的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切 线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16、 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17、 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三

15、角形中，半焦距必为内、夕卜点到椭圆中心的比例中项六、双曲线的常用结论：1、点P处的切线PT平分APF1F2在点P处的内角.2、 PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点.3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相交.4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)2x5、若F0(xo, y°)在双曲线 a21( a >0,b > 0 )上，则过F0的双曲线的切线方程是 答， 辔a b1.2x6、若Po(xo, yo)在双曲线一亍a2P1、P2,話1( a &

16、gt;0，b > 0)外，则过Po作双曲线的两条切线切点为则切点弦P1P2的直线方程是xo|x1.a b22x y7、双曲线一22 1(a >0，b > o)的左右焦点分别为F1, F 2,点P为双曲线上任意一点F1PF2a b2 则双曲线的焦点角形的面积为 S Fipf2 bcotq.2 2x y8、双曲线一22 1 (a > 0,b > o )的焦半径公式：(Fi( c,0) , F2(C,0)当 M (Xo, yo)在右支a b上时，| MFi | exo a ,| MF2 | exo a ；当 M(x°,yo)在左支上时，| MFi | exo

17、a ,| MF21exo a。9、设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP和AQ分 别交相应于焦点F的双曲线准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.10、 过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点 P、Q, Ai、A2为双曲线实轴上的顶点， AiP和A2Q交 于点M ， A2P和AiQ交于点N，贝U MF丄NF.2 2i (a >o,b > o)的不平行于对称轴的弦,M (xo, yo)为AB的中点，则ii、AB是双曲线占a2 b2KoK ABb2xo-2 a yo，即 K ABb2xo2 a yo2xi2、若P)(xo, yo)在双曲

18、线一2 ai (a> o,b >o)内，则被Po所平分的中点弦的方程是2xoX yoyXo-y, 22aba2 yob222x yi3、若P)(xo, yo)在双曲线一22a bi (a> o,b >o)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2 x 2 ab2XoX2ayoyb2【推论】：2 2x yi、双曲线 2 i (a>o,b >0)的两个顶点为 Ai( a,o) ,A2(a,o)，与y轴平行的直线交双曲线a b22xy于Pi、P2时Ai Pi与A2P2交点的轨迹方程是22 i .ab2x2、过双曲线a2% i (a>o,b >o)上任一点A(X

19、o,yo)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于bB,C两点，则直线BC有定向且keC字(常数)a Yo3、若P为双曲线22xy T2ab(a >0,b > 0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点,PF1F2PF2F1，则c ac atan co t (或tan co t ).22 c a 222x4、设双曲线2a(a>0,b >0)的两个焦点为Fi、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在APF1F2中，记F1PF2PF1F2sincF1F2P，则有e.(si n sin ) a2x5、若双曲线2a2y_b2(a>0,b >0)的左

20、、右焦点分别为 F1、F2，左准线为L，则当1 <ew、21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6、P为双曲线22xy2,2ab1 ( a> 0,b > 0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则| AF2| 2a|PA| | PF1 |当且仅当A,F2, P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.2X7、双曲线一2a(a >0,b >0)与直线 Ax By C0有公共点的充要条件是A2a2B2b2 C2 .8、已知双曲线22xy2,2ab1 (b > a > 0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP OQ.1(1)2|OP|12|OQ|12a1 ;(2) |OP|2+|OQ| 2的最小值为b2卓；(3) Sopq的最小值是b a22a b.22.b a2x9、过双曲线2ay2b(a> 0,b > 0 )的右焦点F作直线交该双曲线的右支于 M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，|PF | e则| MN |22x10、已知双曲线a2y 1( a &