高二数学教案43用数学归纳法证明不等式(一)(人教A版选修45)

1、课题：第 03 课时用数学归纳法证明不等式（一）教学札记教学目标 ：1、了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，2、理解数学归纳法的操作步骤，3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写 .教学重点 ：能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点 ：理解经典不等式的证明思路.教学过程 ：一、复习准备：1.求证：1222(2nn21)n(n1),n N * .1 3351)(2n2(2n1)2.求证：1 1112n1n,nN * .2341二、讲授新课：1、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与

2、概括、从特殊到一般等数学思想方法。2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法设要证命题为P（n）（1）证明当n 取第一个值n0 时，结论正确，即验证P（ n0）正确；（2）假设n=k（k N 且 kn0）时结论正确，证明当n=k+1 时，结论也正确，即由P（ k）正确推出P（ k+1）正确，根据（ 1），（2），就可以判定命题P（ n）对于从n0 开始的所有自然数n 都正确在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（ 1）在从 n=k 到 n=k+1 的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（ 2）瞄准当 n=k+1 时的

3、递推目标，有目的地进行放缩、分析；（ 3）活用起点的位置；（ 4）有的试题需要先作等价变换。三、应用举例：例 1：比较 n2与 2n 的大小，试证明你的结论 .分析：试值 n1,2,3,4,5,6 猜想结论 用数学归纳法证明 要点： ( k 1)2k 22k1 k 22k kk23k k 2k 2.证明：（略）小结反思： 试值猜想证明巩固 练习 1：已知数列an的各项为正数， Sn 为前 n 项和，且 Sn1 ( an1 ) ，归纳出 an 的2an公式并证明你的结论 .解题要点提示：试值n=1,2,3,4， 猜想 an 数学归纳法证明例 2：证明不等式 |sin n|n | sin| ( n

4、N) .要点： | sin(k1)|sin kcoscosksin| | sin kcos | cos ksin|sin k|sin|k |sin|sin|(k1) |sin|证明：（略）例 3：证明贝努利不等式.(1x) n1nx ( x1,x0, nN ,n1)分析：贝努力不等式中涉及到两个字母，x 表示大于 -1且不等于 0的任意实数， n 是大于 1 的自然数，用数学归纳法只能对n进行归纳巩固 练习 2：试证明：不论正数 a、 b、 c 是等差数列还是等比数列，当*且 a、 b、n 1, n Nc 互不相等时，均有nnna+c 2b .解答要点：当a、b、c为等比数列时，设a= b,=

5、bq( 0且q1).n+ n= .qcqac当 a、 b、 c 为等差数列时，有2b=a+c，则需证anc nac)n( n*2 (22 且 nN ). . 当 n=k+1 时， ak 1ck 11 ( ak +1+ck +1+ak +1+ck +1) 1 ( ak +1+ck+1+ak· c+ck· a)244= 1 ( ak+ck)(a+c) ( a2c ) k· ( ac )=(ac ) k +1 .4223.小结反思： 应用数学归纳法证明与正整数n 有关的不等式；技巧：凑配、放缩.四、巩固练习：1.用数学归纳法证明：111tan(2n)(1cos2)(1cos4).(