高考数学平面向量知识点及相关题型

1、学习必备精品知识点平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量。 向量不能比较大小， 只可以判断是否相等，向量的模可以比较大小。数量：只有大小，没有方向的量。数量可以比较大小， 也可以判断是否相等。2、有向线段的三要素 ：起点、方向、长度起点的选择是任意的，对于模相等且方向相同的两个向量，无论他们的起点在哪里，都认为这两个向量相等。零向量：长度为 0 的向量单位向量 ：长度等于 1个单位的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量 ：长度相等且方向相同的向量3、向量既有代数特征又有几何特征，可以起到数形结合的作用。4、向量加法运算 ：三角形法则的特点：首尾相连平

2、行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：ababab 运算性质：交换律： abba ；结合律： abc a bc； a 00 aa 坐标运算（坐标加减） ：设 ax1 , y1 ， bx2 , y2 ，C则 a bx1x2 , y1y2 a5、向量减法运算 ：b三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设ax1 , y1，bx, y，则 a bx x yy,22212 1设、两点的坐标分别为x1 , y1， x2 , y2， 则abCCx1x,yy2126、向量数乘运算 ：实数与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a aa ；当0 时， a 的方向与 a 的方向

3、相同；当0时，a 的方向与 a 的方向相反；当0时，a0 运算律：aa ；aaa ；a bab 学习必备精品知识点坐标运算：设 ax, y ，则ax, yx,y 【向量相等，坐标相同；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 】7、向量共线定理：向量 a a0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使b a （a / /b)设 ax1 , y1 ， bx2 , y2 ，其中 b0 ，则当且仅当 x1 y2x2 y10 时，向量 a 、b b0 共线 练习 设 a,b是两个不共线的向量，AB 2a pb, BC a b, CD，若a 2 bA,B,D 三点共

4、线，则实数 p 的值是对于 OAOBOC ( , 均为实数 ) ，若 A,B,C 三点共线，则 +=1，反之仍然成立。 练习 如图所示，在 ABC 中，点 O是 BC的中点，过点 O的直线分别交直线 AB，AC于不同的两点 M，N，若 AB mAM , AC nAN , 则 m+n的值为8、平面向量基本定理 ：如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数 1 、 2 ，使 a 1e1 2 e2 （不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底） 练习 在下列向量组中，可以把向量a=（3,2 ）表示出来的是A，e1=（0

5、,0 ），e2=（ 1,2 ）B, e1 =（-1,2），e2 =（ 5,-2 ）C, e1=（3,5 ），e2 =（ 6,10 ）D,e1=（ 2,-3 ），e2=（-2,3 ）【解题】用已知向量表示另外一些向量，除了利用向量加减法和数乘运算外，还充分利用平面几何的一些定理。在求向量时要尽可能的转化到平行四边形或三角形中。常要用到相似三角形对应边成比例，三角形中位线等平面几何的性质。 练习1、在ABC 中，点 M,N 满足 AM2MC , BNNC ,若 MNx ABy AC , 则 x= ，学习必备精品知识点y=2、如图，已知平面内有三个向量OA,OB ,OC, 其中OA, OB的夹角为1

6、20 度，OA, OC的夹角为30 度，且OA=OB1，OC2 3,若OCOAOB(,R) ,则的值为9、分点坐标公式 ：设点是线段 12 上的一点，1 、2 的坐标分别是x1 , y1 ，x2 , y2 ， 当 12时，点的坐标是x1x2 , y1y2（ 当111时，就为中点公式。）10、平面向量的数量积： a ba b cosa0, b0,0180零向量与任一向量的数量积为0 a b 的几何意义： a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影b cos的乘积 练习 已知点A(-1 ，1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),影为性质 ：设 a 和 b 都是非零向量

7、则向量AB在CD方向上的投 a b a b 0当 a 与 b 同向时， a ba b ；当 a 与 b 反向时， a ba b ； a a a22a或 aa a a ba b 两向量夹角的范围为0，求夹角时一定要注意两向量夹角的范围 练习 若非零向量 a,b 满足a2 2 b ,且 ( ab)(3a2b)，则a 与 b 的夹角为3运算律 ： a bb a ；aba bab ；abca cb c 学习必备精品知识点坐标运算 ：设两个非零向量 ax1, y1 ， bx2 , y2 ，则 a b x1x2y1 y2 若 ax, y ，则 a2y 2 ，或 ax2y2 设 ax1, y1 ，bx2 ,

8、 y2 ，则x2a bx1x 2 y 1y 20 设 a 、 b 都是非 零向量 ， ax1 , y1， bx2 , y2 ，是 a 与 b 的夹角，则cosa bx1 x2y1 y2a bx12y12 x 22 y 22 练习1、平面向量 a(1,2), b(4,2),cmab(mR) ，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m=A,-2 B,-1 C,1 D,22、在平行四边形 ABCD中，AD=1，角 BAD=60度，E 为 CD的重点，若 AC BE1，则 AB的长为学习必备精品知识点解三角形1、（1）正弦定理 ：在C 中， a 、 b 、 c 分别为角、 C 的对边，则

9、有abc2Rsinsinsin C( R 为C 的外接圆的半径 )（2）正弦定理的变形公式： a2Rsin， b2Rsin， c2Rsin C ； sina， sinb ， sin Cc ； a : b : csin:sin:sin C ；2R2 R2 R（3）正弦定理的应用：已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 练习 在 ABC中， A60°， B75°， a10，则 c 等于 () 106A5 2 B10 2 C.D5 63已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角【注意】在 ABC 中，已知 a,b 和 A，利用正弦定理解三角形时， 会出现解不确定的情况，一般可根

10、据三角形中“大边对大角，三角形内角和定理”来取舍，具体情况如下A 为钝A 为锐角角或直角图形关 系bA aabsin Asina ba ba babsin Ab式解的无解一解两解一解一解无解个数3、三角形面积公式 ： SC1 bc sin1ab sin C1 ac sin222、余弦定理： 在C 中，有a2b2c22bc cos4b2c2a2推论： cos2bc应用：已知三边，求各角学习必备精品知识点已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角 练习 在 ABC中， a3，b1，c2，则 A 等于 () A30° B 45° C 60° D 75° 5、三角

11、形中常用结论在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c ，常见的结论有（ 1） A+B+C=（ 2） 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在 ABC中， AB? ab? sin A sin B.（ 3） 常用三 角恒 等式 ： sin （ A+B） =sin （ C）； cos （ A+B） =-cos （ C）； tan(A+B)=-tan(C)sin（ A B )cos(C );cos（ AB )sin( C )C2C2 练习1、ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c（ 1） 若 a,b,c 成等差数列，证明 sin

12、A+sinC=2sin(A+C)（ 2） 若 a,b,c 成等比数列，求 cosB 的最小值6、三角形形状的判定，利用正余弦定理把已知条件转化为三角形的三角函数关系或者边边关系再进行下一步求解 练习1、在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若直线bx+ycosA+cosB=0与 ax+ycosB+cosA=0平行，则 ABC 一定是（）A, 锐角三角形B,等腰三角形C, 直角三角形D ，等腰或者直角三角形2、在 ABC中，若abc；则 ABC是() coscos ABcosCA直角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形7、三角形的面积公式的选择（ 1）已知三角形一边及该边上的高，利用S1 ah2（ 2）已知三角形的两边及其夹角，利用 S1 ab sin(C )2（ 3）已知三角形的三边，利用Sp( pa)( pb)( p c), 其中 p= a bc 练习2ABC中，a，b，11、在3223cos3()A33 B 23 C 43 D.32 、 在ABC 中 ， 角A,B,C所 对 的 边 分 别 为a,b,c， 已 知ab, c3,cos 2 Acos2 B3 sinAcosA3 sin B cos B学习必