高考数学不等式解题方法技巧

1、学习必备欢迎下载不等式应试技巧总结1、不等式的性质 ：若 ab, cd ，则 acbd （若 a b, cd ，则（ 1 ）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减acb d ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（ 2 ）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若ab0, c d0 ，则 ac bd （若 ab0,0cd ，则ab）；cdnn（3）左右同正不等式： 两边可以同时乘方或开方：若ab0，则bnanbab 0aba或；（4）若，则 11 ；若 ab 0 ， ab ，则 1 1 。aba bb, 则 ac 2bc 2 ； 若 ac

2、2bc2 ,则a【 例 】（ 1 ） 对 于 实 数 a, b, c 中 ， 给 出下 列 命 题 ： 若 ab ；若 a b0,则 a 2ab b2；若 ab 0, 则 1 1； 若 ab 0, 则 ba；ababb, 11ab若ab 0,则 ab ； 若 cab 0,则； 若 a，则 a0, b0 。其中正确的命题是 _（答：） ；cac bab（2）已知1 xy1 ， 1x y3 ，则 3xy 的取值范围是 _（答： 13xy7 ）；（ 3）已知 abc ，且 a bc0, 则 c 的取值范围是 _（答：2,1）a22.不等式大小比较的常用方法：（ 1）作差：作差后通过分解因式、配方等手

3、段判断差的符号得出结果；（ 2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（ 3）分析法；（ 4）平方法；（ 5）分子（或分母）有理化； （ 6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法；(8) 图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。【例】（ 1）设 a0且 a1,t0 ，比较1t 1的大小（答：当 a1 时，1log a tt1log a t和 log a22log a2（ t 12时取等号）；当0时， 1t11时取等号）；a 1log a tlog a2（ t2（ 2）设 a2， pa1， q2 a24a 2 ，试比较 p, q 的大小（答： pq ）；a24（ 3）比较 1+ lo

4、g x3 与 2 log x 2( x0且 x1) 的大小（答：当 0x 1或 x时， 1+ log x 3 2log x 2 ；当31x42 ；当 x4时， 1+ log x3 2log x 2 ）时， 1+ log x 3 2log x33.317 字方利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到： “一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这针。【例】（ 1 ）下列命题中正确的是A 、 yx 1的最小值是 2B 、 yx23的最小值是2C、xx22y23x4 ( x0) 的最大值是 243D、 y23x4 (x0) 的最小值是 243 （答： C）；xx（ 2）若 x2 y 1，则 2x4

5、y 的最小值是 _ （答： 22 ）；（ 3）正数 x, y 满足 x2 y1，则 11的最小值为 _（答： 3 2 2 ）；xy4. 常用不等式 有：（ 1）a2b2abab22211 (根据目标不等式左右的运算结构选用) ；R ， a2b2c2ab（ 2） a、 b、 cabbcca （当且仅当 a bc 时，取等号） ；（ 3）若 ab0, m0 ，则 bbm （糖水的浓度问题） 。aam，则 ab 的取值范围是 _（答： 9,【例】 如果正数 a 、 b 满足 abab3）学习必备欢迎下载5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配

6、方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：1111111nn1n( n1)n2n(n1)n1 nk1k111k 1k2kkkk 11k【例】（ 1）已知 a bc ，求证： a2 bb2 cc 2aab 2bc 2ca 2；(2)已知 a, b, cR ，求证： a2 b 2b 2 c2c2 a 2abc(abc) ；（ 3）已知 a,b, x, yR ，且11 , x y ，求证：xy；abx ayb(4) 若 a、 b、 c 是不全相等的正数，求证：lg ablg bclg calg alg blg c ；222（ 5）已知 a,b, cR ，求证： a2

7、b2b2 c2c2a2abc(abc) ；(6) 若 nN * ，求证：( n1)21(n1)n21n ；(7) 已知 | a | | b| ，求证： | a | b | a | b | ；| ab | ab |1112 。（8）求证： 132n222学习必备欢迎下载6. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是： （ 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（ 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意穿过偶弹回 ；（3）根据曲线显现f (x) 的符号变化规律，写出不等式的解集。2【例】（ 1）解不等式 ( x1)( x2)

8、0。（答： x | x1 或 x2 ）；奇（ 2）不等式 ( x2)x22x3 0 的解集是 _（答： x | x3 或 x1 ）；（ 3）设函数 f ( x) 、 g(x) 的定义域都是 R，且 f ( x)0 的解集为 x |1 x2 ， g (x) 0的解集为，则不等式 f ( x) g( x)0 的解集为 _（答： (,1)2,) ）；（ 4 ） 要 使 满 足 关 于 x 的 不 等 式 2x 29xa0 （ 解 集 非 空 ） 的 每 一 个 x 的 值 至 少 满 足 不 等 式x24 x 3 0和 x26x 80中的一个，则实数a 的取值范围是 _. （答： 7, 81) ）8

9、7. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。【例】（ 1）解不等式5x1（答： (1,1)(2,3) ）；x22x3（ 2）关于 x 的不等式 axb0 的解集为 (1,) ，则关于 x 的不等式 axb0的解集为 _（答：(, 1) (2,) ） .x28. 绝对值不等式的解法 ：（ 1）分段讨论法（ 最后结果应取各段的并集 ）：【例】 解不等式 | 23x | 2 | x1|（答： xR）；42（ 2）利用绝对值的定义；（

10、 3）数形结合；【例】 解不等式| x | x1|3 （答：(,1)(2,)）（ ）两边平方：【例】 若不等式 | 3x2 | | 2x a |对x R恒成立， 则实数 a 的取值范围为。（答：4）4_39、含参不等式的解法 ：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键 ”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是” 。注意 ：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.【例】（ 1）若2，则 a 的取值范围是 _ （答：a1或2loga 31）；0 a 3（ 2）解不等式ax 2x(a R) （答： a 0 时， x | x 0 ；a0时，

11、 x | x10 ； a0 时，ax1或 x x | 1ax 0 或 x0 ）a提醒：（ 1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 x 的不等式 axb0的解集为 (,1) ，则不等式 x20axb的解集为 _ （答：（ 1,2）11. 含绝对值不等式的性质 ：a、 b 同号或有0| ab | | a | b| a | b | | ab | ；a、 b 异号或有 0| ab | a | b | a | b | ab |.【例】 设 f ( x)x2x13，实数 a 满足 | xa |1 ，求证：

12、| f ( x) f (a) | 2(| a | 1)学习必备欢迎下载12. 不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等问题 ：不等式恒成立问题的常规处理方式？ （常应用函数方程思想和 “分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1). 恒成立问题若不等式fxA 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间D 上 fx若不等式fxB 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间D 上 fxminmaxAB【例】（ 1）设实数x, y 满足 x2( y 1)21，当 xy c0 时， c 的取值范围是 _（答： 21,）；（ 2）不等式 x4 x3a 对一切实数 x 恒成立，求实数a 的取值范围 _（答： a 1）；（ 3 ） 若 不 等 式 2x1m( x21)对 满 足 m2 的 所 有 m 都 成 立 ， 则 x 的 取 值 范 围 _ （ 答 ：（71,3 1）；22（ 4）若不等式 (1) n a2(1) n 1对于任意正整数n 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _（答： 2,3) ）；n12（ 5）若不等式20 x 1x 2mx 2m 1 0对.m）的所有实数 x 都成立，求 m 的取值范围 （答：22).能成立问题若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 fxA 成立 , 则等价于在区间D 上