高考数学专题复习解析几何

1、学习必备欢迎下载专题复习讲座（四）- 解析几何俗话说：“知己知彼，才能百战百胜”，这一策略，同样可以用于高考复习之中。我们不仅要不断研究教学大纲、考试说明和教材，而且还必须研究历年高考试题，从中寻找规律，这样才有可能以不变应万变，才有可能在高考中取得优异成绩。纵观近几年的高考解析几何试题，可以发现有这样的规律：小题灵活，大题稳定。一、解决解析几何问题的几条原则1重视“数形结合”的数学思想2注重平面几何的知识的应用3突出圆锥曲线定义的作用二、解析几何中的一类重要问题直线有圆锥曲线的位置关系问题是解析几何中的一类重要问题，它是我们解决解析几何其他问题的基础。 我们必须熟悉直线与三种圆锥曲线的位置关

2、系，熟练掌握直线和圆锥曲线相交所所产生的有关弦长、弦的中点以及垂直等基本问题的基本解法。特别要重视判别式的作用，力争准确地解决问题。弦长问题： |AB|= (1 k 2 )( x1x2 )24x1 x2 。弦的中点问题：中点坐标公式 -注意应用判别式。三、高考解析几何解答题的类型与解决策略. 求曲线的方程1曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。例 1 ：已知直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点， 焦点在 x 轴正半轴上。 若点 A（ -1，0）和点 B（ 0， 8）关于 L 的对称点都在 C 上，求直线 L 和抛物线 C 的方程。分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。设出它们的

3、方程，L： y=kx(k 0),C:y 2=2px(p>0).设 A 、B 关于 L 的对称点分别为A /、 B /，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：/k 212k），B/（ 16k8(k 21)/均在抛物线上，代入，消去p，A （2,k 2k 2,21）。因为 A、Bk111 k学习必备欢迎下载得： k2-k-1=0. 解得： k=15,p=2 5.2515x,抛物线245所以直线 L 的方程为： y=2C 的方程为 y =x.5例 2：在面积为 1 的 PMN 中， tanM=1M、N 为,tanN=-2, 建立适当的坐标系，求出以2焦点且过点 P 的椭圆方程。分析：此题虽然与例

4、 1 一样都是求形状已知的y曲线方程问题， 但不同的是例1 是在给定的坐标系P下求曲线的标准方程，而此题需要自己建立坐标系。为使方程简单， 应以 MN 所在直线为 x 轴，以MODNxMN 的垂直平分线为y 轴。这样就可设出椭圆的标准方程，其中有两个未知数。4 x2y215132曲线的形状未知 - 求轨迹方程例 3:已知直角坐标平面上点Q（ 2， 0）和圆 C：x2+y2=1,动点 M 到圆 C 的切线长与 |MQ|的比等于常数M（ >0） ,求动点 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲N线。分析：如图，设 MN 切圆 C 于点 N，则动点 M 组OQ成的集合是：P=M|MN|=2222|M

5、Q| ，由平面几何知识可知： |MN| =|MO|-|ON| =|MO| -1，将 M 点坐标代入，可得： (2-1)(x 2+y 2)-42x+(1+42)=0.当 =1 时它表示一条直线；当 1 时，它表示圆。这种方法叫做直接法。例 4 ：给出定点 A （ a,0） (a>0)和直线 L ： x=-1 ，B 是直线 L 上的动点， BOA 的角平分线交AB 于点BC，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型C与 a 值的关系。OAx学习必备欢迎下载分析：设 C（ x,y ） ,B(-1,b). 则直线 OB 的方程为： y=-bx. 由题意：点C 到 OA 、OB 的距离相等，且

6、点C 在线段 AB 上，所以| ybx | y |b21b( x a)222yy (1-a)x-2ax+(1+a)y=0x a0 x a若， y 0,则 (1-a)x 2 -2ax+(1+a)y 2 =0(0<x<a) ；若 y=0，则 b=0, AOB=180 o,点 C 的坐标为（ 0，0），也满足上式。所以，点22x<a)。C 的轨迹方程为 (1-a)x -2ax+(1+a)y=0(0当 a=1 时，方程表示抛物线弧；当0<a<1 时，方程表示椭圆弧；当a>1 时，方程表示双曲线一支的弧。一般地，如果选择了m 个参数，则需要列出m+1 个方程。例 5：

7、已知椭圆 x2y 21和直线 L: xy1，P 是直线 L 上一点， 射线 OP 交椭2416128圆于点 R，又点 Q 在 OP 上，且满足 |OQ| |OP|=|OR|2，当点 P 在 L 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。分析：设 Q(x,y),P(x P,yP),R(x R,yR), 则xPyP112824x24 yxP, yPyPy2x3 y2x3 yxPx，代入xR2yR2148x248y 2241622yRyxR2x 23y 2 , yR2x 23 y2xRxx 2y 2xP2yP2xR2yR2，得：2(x-1) 2+3(y-1) 2 =1.55注意：若将点 P

8、、Q、R 分别投影到 x 轴上，则式子x 2y 22222xPyPxRyR可用 |x| |xP|=|xR2|代替，这样就简单多了。. 研究圆锥曲线有关的问题1有关最值问题学习必备欢迎下载例 6 : 设椭圆中心为坐标原点，长轴在x 上，离心率e=3，已知点 P（ 0， 3 ）到这22个椭圆上的点的最远距离是7 ，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7 的点的坐标。分析：最值问题，函数思想。关键是将点P 到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函数的知识求其最大值。设椭圆方程为 x 2y21，则由 e= 3a 2b2222222得： a =4b ，所以 x =4b -4y .设 Q(

9、x,y) 是椭圆上任意一点，则:|PQ|=x 2( y3) 2= 4b24 y 2( y3 ) 23y 23y4b29(-byb).224若 b< 1，则 - 1 <-b,当 y=-b时 |PQ| max=3b23b4b 29b 23b97 .2244解得： b=7 -3>1 与 b<1 矛盾；若b1 ，则当y=-1时 |PQ| max=4237, 解22222b得:b=1,a=2.2有关范围问题例 7 （ 2001 春季高考题）已知抛物线y2=2px(p>0) ，过 M（ a,0）且斜率为1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点A 、B， |AB| 2p。（ 1）

10、求 a 的取值范围；（ 2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求 NAB 面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“ 求范围，找不等式”。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（ 2）首先要把 NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。2解： (1)直线 L 的方程为： y=x-a, 将 y=x-a 代入抛物线方程y =2px, 得：设直线L 与抛物学习必备欢迎下载4(ap)4a 20线两交点的坐标分别为A （ x1

11、,y1） ,B(x 2,y2)，则 x1x22(ap)x1 x2a 2,又 y1=x1 -a,y2 =x 2-a,| AB|( x1x2 ) 2( y1y2 ) 22( x1x2 ) 24x1 x2 8 p( p2a)0 | AB | 2 p,8p( p2a)0,08 p( p 2a)2 p,解得 :pap .24(2)设 AB 的垂直平分线交AB 与点 Q，令其坐标为（ x3,y3），则由中点坐标公式得：x3x1x2ap, y3y1y2( x1 a) ( x2a)p.222所以 |QM|2 =(a+p-a)2+(p-0) 2=2p 2.又 MNQ为等腰直角三角形，所以 |QM|=|QN|=

12、2P ，所以 S NAB =1|AB|QN |2 p | AB |2 p2 p2 p 2,即 NAB面积的最大值222为 2P2。例 8：已知椭圆x2y 21(ab 0) ，A,B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平a 2b 2分线与 x 轴相交于点 P(x0 ,0)，证明：a 2b2a 2b2.ax0a分析：欲证x0 满足关于参数a、 b 的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：-ax a, 因此问题转化为寻求x0 与 x 的关系。由题设知，点P 在线段 AB 的垂直平分线上，所以|AP|=|BP|，若设 A （ x1,y1） ,B(x 2 ,y2),

13、2222,因为点 A 、 B 在椭圆上，所以，则有： (x1-x0) -y1 =(x 2-x0) -y22b2b222b2b 22y1a2x1 , y2a2x2 ，从而由 -a x1 a,-a x2 a, 可得：a2b2a 2b2x0aa例 9 (2000 年高考题 )已知梯形ABCD 中， |AB|=2|CD| ，点 E 满足 AEEC ，双曲线过C、D 、 E 三点，学习必备欢迎下载且以 A 、B 为焦点，当23 时，求双曲线离心率 e 的取值范围。34分析：显然，我们只要找到e 与的关系， 然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e 的范围。y解：如图建立坐标系，这时CD y 轴，因为双曲

14、线经过点C、 D，且以 A 、B 为焦点，DCE由双曲线的对称性知C、D 关于 y 轴对称。依题意，记A(-C,0)， C(C ,0 0AOB x2h) ， E(x ,y ), 其中1 | AB | 为双曲线的半焦距，c=h 是梯形的高。2c由 AEEC , 即 (x0+c,y 0)=(-x0,h-y 0)2得:x 0= (2)cy01h.设双曲线的方程为x 2y 21,则离心率 e= c 。由点 C、E 在2(1 )a 2b2a双曲线上,将点 C、E的 坐 标 和 e=c 代 入 双 曲 线 的 方 程 得ae2h21(1)4b 2e2(2) 2() 2h 21(2)411b 2将（ 1）式代入（2）式 ,整理得 e2(4-4)=1+2,故=132.4e2依题设 23得21 -233,解得7e10 .343e24所以双曲线的离心率的取值范围是7e10 .例 10已知抛物线 y2=2px (p 0)上存在关于直线x+y=1 对称的相异两点， 求 p 的取值范围。分析：解决本题的关键是找到关于p 的不等式。设抛物线上关于直线 x+y=1 对称的两点是 M(x 1 ,y1)、N(x 2,y2) ，设直线 MN 的方程为 y=x+b. 代入