高考数学总复习三角函数

1、高三数学二轮专题复习教案三角函数一、本章知识结构：二、重点知识回顾1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边相同的角，都可以表示成k· 3600+的形式，特例，终边在x 轴上的角集合 | =k · 1800， k Z ，终边在y 轴上的角集合 | =k ·1800+900， k Z ，终边在坐标轴上的角的集合 | =k · 900， k Z 。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；角度制与弧度制的互化：弧度 1801180 弧度， 1弧度(180 )，57 18'S1

2、R 2 1 Rl弧长公式： lR ；扇形面积公式：22 。2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：（ 1）三角函数定义：角中边上任意一点P 为 ( x, y) ，设 | OP |r 则：siny ,cosx , tanyrrx（ 2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（ 3）特殊角的三角函数值0sin0cos1326432212310-102223210-101222tan0313不存在0不存在03sin 2xcos2 x1; sin xtan x（ 3）同角三角函数的基本关系：cos x（ 4）诱导公式（奇变偶不变，

3、符号看象限）:sin() sin,cos() cos,tan() tansin() sin,cos() cos,tan() tansin() sin,cos() cos,tan() tansin( 2) sin,cos(2) cos,tan( 2) tansin( 2k) sin,cos( 2k) cos,tan( 2k) tan， (kZ )sin( 2) cos,cos( 2) sinsin( 2) cos,cos( 2) -sin3、两角和与差的三角函数（ 1）和（差）角公式 sin()sincoscossin;tan()tantan cos()coscossinsin; 1tantan

4、（ 2）二倍角公式二倍角公式： sin 22sincos ；cos2sin 22 cos21 2sin 2tan 22tan cos21；1 tan2（ 3）经常使用的公式sin21cos2cos21cos2sin cos1 sin2升（降）幂公式：2、2、2；辅助角公式：a sinb cosa2b2 sin() （由 a, b 具体的值确定） ；正切公式的变形： tantantan()(1tantan) .4、三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数ysin x ， ycosx ， ytan x 的图象与性质，并挖掘：最值的情况；了解周期函数和最小正周期的意义会求 yA sin(x)

5、的周期， 或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；会从图象归纳对称轴和对称中心；xk(k Z ) ，对称中心是(k ,0) (kZ ) ；y sin x 的对称轴是2ycos x 的对称轴是 x k(kZ ) ，对称中心是(k2,0) (k Z )ytan x 的对称中心是( k,0)( kZ )2注意加了绝对值后的情况变化 .写单调区间注意0 .（二）了解正弦、 余弦、正切函数的图象的画法， 会用“五点法” 画正弦、余弦函数和函数 yA sin( x)的简图，并能由图象写出解析式“五点法”作图的列表方式；求解析式 yAsin(x) 时处相x1.的确定

6、方法：代（最高、低）点法、公式（三）正弦型函数y Asin(x) 的图象变换方法如下：先平移后伸缩ysin x的图象向左 (>0) 或向右 (0)平移个单位长度得 y sin( x ) 的图象得 y sin( x ) 的图象横坐标伸长 (0<<1) 或缩短 (>1)到原来的 1 (纵坐标不变 )纵坐标伸长( A 1) 或缩短 (0< A<1)为原来的 A倍 ( 横坐标不变)向上 ( k0) 或向下 ( k0)得 yA sin( x) 的图象得 yA sin( x) k 的图象平移 k 个单位长度先伸缩后平移ysin x 的图象纵坐标伸长 ( A1)或缩短 (

7、0 A1)为原来的 A倍 ( 横坐标不变 )横坐标伸长 (01) 或缩短 ( 1)得 y到原来的 1(纵坐标不变 )A sin x 的图象向左 (0)或向右 (0)得 y A sin( x) 的图象得 yA sin x(x) 的图象平移个单位向上 (k 0) 或向下 (k 0)平移 k 个单位长度得 yAsin(x)k 的图象5、解三角形abcsin Asin B2R（ 2R 是 ABC 外接圆直径）正、余弦定理正弦定理sin C注 ： a : b : csin A : sin B : sin C； a2R sin A,b2R sin B, c2R sin C ； abcabcsin Asin

8、 Bsin Csin Asin B sin C 。b2c 2a 2余弦定理： a 2b 2c 2cos A2bc2bc cos A 等三个；注：等三个。几个公式 :S ABC1 ah1 ab sin Cp( pa)( pb)( pc) , ( p1 (ab c)三角形面积公式：222；2 SABCabc ;内切圆半径 r= abc ；外接圆直径 2R= sinA sinBsinC在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：ABC中，A Bsin A sin B已知 a, b, A 时三角形解的个数的判定：其中 h=bsinA, A 为锐角时： a<h 时，无解； a=h 时，一解（直角） ；

9、h<a<b 时，两解（一锐角，一钝角） ； ab 时，一解（一锐角）。 A 为直角或钝角时： ab 时，无解； a>b 时，一解（锐角） 。三、考点剖析考点一：三角函数的概念【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制，任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能进行弧度与角度的互化，会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法，终边相同角的表示方法，由三角函数的定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号。在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更为方便、简洁。【命题规律】 在高考中， 主要考查象限角，终边相同的角， 三角函

10、数的定义，一般以选择题和填空题为主。例 1、（ 2008北京文）若角的终边经过点 P(1,-2), 则 tan 2的值为.Q tan22,tan 22 tan4 .解：11tan23点评：一个角的终边经过某一点，在平面直角坐标系中画出图形，用三角函数的定义来求解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。考点二：同角三角函数的关系【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复证明强化记忆，在解题时要注意sin 2cos21 ，这是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。【命题规律】在高考中，同角的三角函数的关

11、系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。例、（浙江理）若cos2sin5, 则 tan=()11（A） 2（ B）2（ C）2（ D）2解：由 cos2sin5 可得：由 cos52sin，又由 sin 2cos21，可得： sin2（52sin）2 1255可得 sin5， cos52sin5 ，sin所以， tan cos 2。点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：sin 2cos21，与它联系成方程组，解方程组来求解。tan5例 3、（ 2007 全国卷1理1）是第四象限角，12，则 sin（）1155A 5B5C13D 13sin5解：由 tan5c

12、os1212 ，所以，有sin 2cos21， 是第四象限角，5解得： sin13tansin点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式：cos，同样要能想到隐含条件：sin2cos21。考点三：诱导公式【内容解读】 诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为 “奇变偶不变， 符号看象限” ，“变”k ?与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin与 cos对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中2 +k ?k ?3的整数 k 来讲的，象限指2 +中，将看作锐角时，2 +所在象限，如将 cos( 2 + )写成 cos3?33（2 +），因为 3 是奇数，则“ cos”变为对偶

13、函数符号“sin ”，又2 +看作第四象限角， cos( 2 +3 )为“ +”，所以有 cos( 2 + )=sin 。【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角函数值，也有些大题用到诱导公式。例 4、 (2008陕西文 ) sin330等于（）3113A 2B 2C 2D 2解： sin 330sin(36030o)sin30o12点评：本题是对诱导公式和特殊角三角函数值的考查，熟练掌握诱导公式即可。7答案：25sin()3,则 cos2例 5、（ 2008 浙江文）若25.sin()3cos3cos2 2cos212(3)217解：由25 可知，5；而525

14、 。点评：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，难度不算大，属基础题，熟练掌握公式就能求解。考点四：三角函数的图象和性质【内容解读】理解正、余弦函数在0， 2 ，正切函数在（- 2 ， 2 ）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x 轴的交点，会用五点法画函数yA sin(x)， xR 的图象，并理解它的性质：（）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（）函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；1（）函数取最值的点与相邻的与x 轴的交点间的距离为其函数的4 个周期。注意函数图象平移的规律，

15、是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。5b cos22a sinc tan7 ，则（例 6、 (2008 天津文 )设7 ，7 ，）A a b cB a c bC b c aD b a casin 220 cos 2sin 21 tan 2解：7，因为47 2，所以777，选 D点评：掌握正弦函数与余弦函数在0， 4， 4，2 的大小的比较，画出它们的图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域： 0,1，也要掌握。yln cos xx例 7、 (2008 山东文、理 ) 函

16、数22的图象是（）yyyyOxO xO xO x22222222A B CD yln cos x(x)B 、 D，由 cos x 的值域可以确定 .因此本题应选 A.解：22是偶函数，可排除点评：本小题主要考查复合函数的图像识别，充分掌握偶函数的性质，余弦函数的图象及性质，另外，排除法，在复习时应引起重视，解选择题时，经常采用排除法。例 8、 (2008 天津文 )把函数 ysin x( xR ) 的图象上所有的点向左平行移动3 个单位长度，再把所得图1象上所有点的横坐标缩短到原来的2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是（）ysin2x， xRA 3Bysin2x， xRC3D解：x

17、ysin， xR26ysin2x， xR3向左平移个单位y sin( x)横坐标缩短到原来的 1倍y sin(2 x )y= sin x3233，故选（ C）。点评：三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一，牢固变换的方法，按照变换的步骤来求解即可。yx3)(x，)1cos(20 2y例 9（、浙江理） 在同一平面直角坐标系中，函数2的图象和直线2的交点个数是 ()（A ）0（B）1（ C）2（D）4解：原函数可化为：x3)(x，sinxy cos(02 ), x 0, 2 .22=2作出原函数图像，截取 x 0,2 部分，其与直线y12 的交点个数是2 个 .点评：本小题主要考查三角

18、函数图像的性质问题，学会五点法画图，取特殊角的三角函数值画图。考点五：三角恒等变换【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； ；能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内容。【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有，近几年常有一道解答题，难度不大，属中档题。例 10、（ 2008 惠州三模）已知函数f ( x)3 sin 2 x sin

19、xcos xf (x) 的最小正周期；f (x)在 x0,（ I）求函数（ II ）求函数2 的值域.1cos2x1解： f ( x)3 sin 2 xsin x cos x322sin 2x1 sin 2x3 cos2x3sin(2x)3T222232（ I ）20x2x43sin( 2x) 1 332（II）2333,23所以 f (x) 的值域为：2点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。33x，xa (cos2 x， sin2 x)， b (cossin例 11、（ 2008 广东六校联考）已知向量22 )，且 x 0， 2 （ 1）求

20、 ab（ 2）设函数 f ( x)a b + ab ，求函数 f ( x) 的最值及相应的x 的值。0xrr3xcos x ,sin 3xsin x )a b (cos解：（ I）由已知条件：2，得：2222(cos 3xcos x) 2(sin 3xsin x )222cos2x2 sin x2222f (x) 2 sin xcos3x cos xsin 3x sin x（ 2）22222 sin xcos2x2sin 2 x2 sin x12(sin x1) 230 x22 ，因为：2 ，所以： 0 sin x 1x1fmax ( x)3，或 x 1 时， f min (x) 122 ，

21、x0所以，只有当：时，点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等知识。f ( x)sin 2 x 3 sin x sin( x)(f 0)例 12、（ 2008 北京文、理）已知函数2的最小正周期为 .（）求的值；2（）求函数f(x) 在区间 0， 3 上的取值范围 .f (x)1cos 2x3 sin 2 x解：（）223 sinx1 cos2x1= 222sin(2x)1 .=622因为函数 f(x) 的最小正周期为,且 0，所以 2解得 =1.f (x) sin(2 x1).（）由（）得6 22因为 0 x 3，12x7 .所以26 61(2 x)2

22、所以6 1.sin(2x)13因此 062 23，即 f(x) 的取值范围为0， 2 点评：熟练掌握三角函数的降幂，由 2 倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训练时，要注意公式的推导过程。考点六：解三角形【内容解读】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意。【命题规律】本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一

23、定的难度。tan A1 , cos B3 10例 13、（ 2008 广东五校联考） 在 ABC 中，角 A 、B、C 所对的边分别为a、b、c,且210（ 1）求 tanC 的值 ;（2）若 ABC 最长的边为1，求 b。310Q cos B0,解：（ 1）10B 锐角,sin B1cos2 B10tan Bsin B1且10 ,cos B3 ,tan A tan B11tanCtan( AB)tan(AB)231tan A ? tan B1111?23(2) 由 (1)知 C 为钝角 , C 是最大角 ,最大边为 c=1,Q tanC1, C135 ,2sin C2 ,c sin B1?1

24、0510bcb25sin C由正弦定理 : sin Bsin C 得2。点评：本题考查同角三角函数公式，两角和的正切，正弦定理等内容，综合考查了三角函数的知识。在做练习，训练时要注意加强知识间的联系。例 14、 (2008 海南、宁夏文 ) 如图， ACD 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，ACB=90 °， BD交 AC 于 E， AB=2 。（1）求 cos CBE 的值；（ 2）求 AE 。解：（）因为 BCD 90o 60o 150o ， CB AC CD ，所以 CBE 15o cos CBE cos(45 o30o )62所以4（）在 ABE 中， AB2 ，DCE

25、ABAE2由正弦定理 sin(45 o15 o )sin(90o15 o ) 2122sin 30oAE62cos15o62故4点评：注意用三角恒等变换公式，由特殊角45 度， 30 度， 60 度，推导 15 度， 75 度的三角函数值，在用正弦定理时，注意角与它所对边的关系。例 15、(2008 湖南理 )在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点E正北 55海里处有一个雷达观测站A. 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东 45o 且与点 A 相距 40 2 海26里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东 45o +(其中 si

26、n = 26 ， 0o90o )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C.（ I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时） ;（ II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解 : （I）如图， AB=40 2 ，AC=1013 ，BAC,sin26.26由于 0o90o ,所以 cos1(26)25 26.=2626由余弦定理得 BC=AB2AC22 AB ? ACgcos10 5.1052155所以船的行驶速度为3（海里 /小时） .（ II ） 如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设点 B 、C 的坐标分别是 B （ x1， y2）, C（ x1， y2） , BC 与 x 轴的交点为 D.2由题设有， x1=y1=2AB=40,x2=ACcosCAD1013 cos(45o)30 ,y2=ACsinCAD1013 sin(45 o)20.202所以过点 B 、 C 的直线 l 的斜