机械振动课后习题和答案第二章习题和答案

1、2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3 ,然后无初速度地释放，求此后的运动方程。解：设物体质量为m,弹簧刚度为k,则：mg k ,即： n / m 出T取系统静平衡位置为原点x 0,系统运动方程为:mX& kx 0X0 2(参考教材P14)X& 0解得：x(t) 2 cos nt精选范本2.2 弹簧不受力时长度为65cm,下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。解：由题可知：弹簧的静伸长 V 0.85 0.65 0.2(m)所以：n德圾7(rad/s)取系

2、统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：X& n2x 0其中，初始条件：X(0)0.2(参考教材P14)X(0) 0所以系统的响应为：x(t) 0.2cos nt(m)弹簧力为：Fk kx(t) mgx(t) cos nt(N)因此：振幅为0.2n周期为入(s)、弹簧力最大值为1N 72.3 重物mi悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物 m2从高度为h处自由落到m上而无弹跳，如图所示，求其后的运动解：取系统的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点 x 0,则当m有x位移时，系统有：Et1(mi m2)X2U-kx22由 d(ET U)0可知：(m1 m2)x&

3、amp; kx 0即：n;k/(m-m2)xo系统的初始条件为:xom2gkm2 、.萩m- m21(能重守恒得： m2gh 2(m1m2)x&2)因此系统的响应为：x(t) Ao cos nt A1sin nt即：x(t)m2g(cos ntmi2ghk sin nt)m2(I mr 2) && kr202.4 质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率0,则当m有解：取圆柱体的转角 为坐标，逆时针为正，静平衡位置时转角时，系统有:ET 1I &1m(&)22212U -k( r)22由d(ET U

4、)0可知:即：n：kr2/(Imr2)(rad/s)2.5 均质杆长L、重G,用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试 求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。2.6求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且k22 匕，卜3 ki o解：取m的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点x 0 ,则当m有x位移时，系统有:EtU1kx2 1klx2 5 klx2226由 d(ET U )0可知：mX&即：n 呼(rad/s), T 工3m（其中：k5 k1x032(s)k1k2)k1 k22.7如图所示，半径为r的均质圆柱可在半径为 R的圆轨面内无滑动地、O以圆轨面最低位置O为平衡位置

5、左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。解：设物体重量W,摆角坐标 如图所示，逆时针为正，当系统有 摆角时，则：2U W(R r)(1 cos ) W(R r) 2设&为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：c (R r) & r&,即：& (R &r记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为I a ,1W 2 W 2 r - rEt1IA&22 g gr)2&转动和平动的动能)1/3W 2.R r &23W-(- -r )(&- -(R2 2g r4 g(或者理解为：Et- I c &2 - - (R r)2&2

6、2 g由d(ET U) 0 可知：3W(R r )2 && W (R r) 02 g即:2g3(R r)(rad/s)2.8横截面面积为A,质量为m的圆柱形浮子静止在比重为的液体中。设从平衡位置压低距离x（见图），然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。解：建立如图所示坐标系，系统平衡时 x 0,由牛顿第二定律得:,、，xo有初始条件为：戏m&& (Ax)g 0,即:0所以浮子的响应为:x(t)xsin(t mg 2)2.9 求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴 Oi, O2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置（半彳全Oi

7、A与O2B在同 一水平线上），弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为mi,m2。由于两轮无相对滑动，因此其转角比为:解：两轮的质量分别为mi,m2,因此轮的半径比为:&1 &21 2取系统静平衡时i 0,则有:EtIgmiY)华；gm2r22)&212121U 2ki(ri i)22k2(2 2)22(ki1/41m2)ri2922k2)(ri i)2即：n ,2(mm2(rad/s), T 22(kik2)(s)0,则当轮子有转2(I产2.10 如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I,轮缘绕有软纯，下端挂有重量为 P 的物体，绳与轮缘之间无滑动

8、。在图示位置，由水 平弹簧维持平衡。半径 R与a均已知，求微振动 的周期。解：取轮的转角 为坐标，顺时针为正，系统平衡时 角时，系统有：et-i &2由 d(ET U)0可知:(IPR2)&2gka2即：nka2|""F(rad/s),故 T2I P R2g ka2.11 弹簧悬挂一质量为m的物体，自由振动的周期为T,如果在m上附加mi,则弹簧的静伸长增加Vl ,求当地的重力加速度。QT解:, k2 一4 mT24 2mVlTmiQ m1g kVlkVl g2.12用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重 P, (b)与中每个弹簧的弹性系数为k/2。

9、(1)杆重不计；(2盾杆质量均匀，计入杆重解：取系统的摆角 为坐标，静平衡时0(a)若不计杆重，系统作微振动，则有：Et 1(PL2)&2 g12U PgL(1 cos ) -PgL 2P 2 8由d(ET U ) 0可知：一L && PL 0 g即：n "(rad/s)如果考虑杆重，系统作微振动，则有：1 P 2 C2112 02Et( L ) &(7m LL ) &2 g 2 3LP m,_U PgL(1 cos ) mLg (1 cos )(-)gL 2g 22由d(ET U ) 0可知：(P m-)L2a(P m-)gL0g 3g 2n

10、mL2m3L)L)g(rad/s)(b)如果考虑杆重，系统作微振动，则有:Et2(3mLL2)&mL)L2&即:mL21 k)gL J 2(2)(mL)g尸mL m( )Lg 3kL4,、(rad/s)(c)如果考虑杆重，系统作微振动，则有:1 P 2 C2112 02Et( L ) &(7m LL ) &2 g 2 3mL)gL1(k)( l)22 22n(rad/s)2.13求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与 x的关系式AA/Wn-4A k b i_O2.2答案：系统的运动微分方程m&& J±kx 0 a2.14 一台电机重47

11、0N,转速为1430min,固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图所示。每根槽钢长1.2m,重65.28N,弯曲刚度 EI =1.66 105N - m 2。(a)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率;(b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率;(c)计算说明如何避开电机和系统的共振区2.15 一质量m固定于长L,弯曲刚度为EI,密度为 的弹性梁的一端，如 图所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。wL3/(3EI)2.16 求等截面U形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为L解：假设U形管内液柱长l ,截面积为A ,密度为为0,左边液面下降x时，有：1ETAlx&am

12、p;22U A x g x由 d(ET U ) 0可知：Alx8& 2g Ax 0,取系统静平衡时势能即：n 原(rad/s), T 椁(s)2.17 水箱l与2的水平截面面积分别为Ai、A2,底部用截面为Ao的细管连接。求液面上下振动的固有频率。解：设液体密度为 ,取系统静平衡时势能为0,当左边液面下降xi时，右边液面上升X2,液体在水箱l与2和细管中的速度分别为Xii，忌X&,则有：Et 1 Ai(h Xi)X&2 1 A3L设2 1 A2(h X2)X&2 2222-Aih A3L(A1)2 A2h(A1)2网2(由于：h Xi h; h x2 h; AM

13、A2X2A3XJ3; AiXiA2x2 )八XiAXig-X22由 d(ET U )0可知：h(i即:h(1g(1L(rad/s)2.18 如图所示，一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液 体中振动。设Ti、T2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期试证明：2 WgATiT2,T22 T22并指出的意义（式中液体阻尼力Fd= ?2Av）2.19 试证明：对数衰减率也可用下式表示12当振幅我减到50%时，Xn 0.5x0 ,即：n ln2 In 21n包，（式中xn是经过n个nXn循环后的振幅）。并给出在阻尼比为0.01、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。解

14、：设系统阻尼自由振动的响应为x（t）;t0时刻的位移为X0； tn t0 nT时刻的位移为Xn；则：XXe nt0cos（ dt°）° nnTd eXn Xe n（t0 叫） cos d（t° nTd）所以 有：In x0nnTd nnlnx，即：In -x0-XnX1n Xn2.20 某双轴汽车的前悬架质量为 mi=1151kg,前悬架刚度为ki=1.02 105N/m,若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比0.25,那么应给前悬架设计多大阻尼系数（c）的悬架减振器?在上下运动时所2.21 重量为P的物体，挂在弹簧的下

15、端，产生静伸长 遇到的阻力与速度v成正比。要保证物体不发生振动，求阻尼系数c的最低值。若物体在静平衡位置以初速度 V0开始运动，求此后的运动规律。解：设系统上下运动为x坐标系，系统的静平衡位置为原点，得到系统的运 动微分方程为：P E C PC- X& cX& 一 x 0 g系统的阻尼比：Xo 0X& °系统不振动条件为：1,即：c 2P/jg-物体在平衡位置以初速度 °开始运动，即初始条件为:此时系统的响应为：（可参考教材P22）1)当1 时： x(t) e nt(AientL A£ nt1)A1,2 其中：0n212)当1时:x(t)A

16、1e ntA2te nt,其中:A1A2即:x(t)oteit3)当1时:x(t)nt(C 1cos dt C2 sindt)C1其中：C2，即：x(t) e2nt0一 sinddt2.22 一个重5500N的炮管具有刚度为3.03 105N/m的驻退弹簧。如果发 射时炮管后座1.2m,试求：炮管初始后座速度；减振器临界阻尼系数（它是在反冲结束时参加工作的）； 炮管返回到离初始位置0.05m时所需要的时间。2.23 设系统阻尼比0.1,试按比例画出在 / =0.5、1.R 2.0三种情况下微分方程的向量关系图。2.24 试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的关 系，并计算当

17、0.2、 n=5rad/s时系统的品质因子和带宽。2.25 已知单自由度系统振动时其阻力为 cv（其中c是常数，v是运动速度）, 激励为 F F°sin t,当n即共振时，测得振动的振幅为X,求激励的幅值F。若测得共振时加速度的幅值为 A,求此时的F。F 50cos t(N),2.26 某单自由度系统在液体中振动，它所受到的激励为 系统在周期T = 0.20S时共振，振幅为0.005cmi求阻尼系数。解：由T0.20s时共振可知，系统固有频率为:10n时，已知响应振幅：X 3,（参教材P30）所以:F0105 /c (Ngs/m)X2.27 一个具有结构阻尼的单自由度系统，在一周振动

18、内耗散的能量为它的最大势能的1.2%，试计算其结构阻尼系数。2.28 要使每一循环消耗的能量与频率比无关，需要多大的阻尼系数。2.29 若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即2Fdax2Fdax求其等效阻尼系数和共振时的振幅。解:实际上，这是一种低粘度流体阻尼。设系统的运动为：x(t) X cos(x2dxX&d(A | H(w) |w)(wta | H (w) | w(wt aX3w3A3sin3( tA)2)dt| H (w) | wA sin(wt)dxaw3X 3 sin322(0)(t 2(0)3)dt 4 33 ax3 ax3 2 C X2Ce8a3x 2-32.2

19、9精选范本X cos( tX sin(Wcx2dxx2dx222X sin ()(2X cos( t)出2 V 2.2 /X sin ()(2X cos( t)dt2.29Fd8aX3F0cC X23 Fo28aX8axwn13 Fo2w2 ； 2a?2x?2xT/42Fddx 4 x dx 0T/4?34 x dx0)dtT/4 -,333 / +4 Z cos ( t087323 ZZ2_83-FoCo3 Fo8 Z 2精选范本当转速为nr/2.30 KGlII电动机重P,装在弹性基础上，静下沉量为 min时，由于转子失衡，沿竖向有正弦激励，电机产生振幅为A的强迫振动。试求激励的幅值，不计

20、阻尼。2.31 电动机重P,装在弹性梁上，使梁有静挠度。转子重Q,偏心距为e。试求当转速为 时，电动机上下强迫振动的振幅 A,不计梁重。精选范本2.32 一飞机升降舵的调整片较接于升降舵的O轴上（图T2.32）,并 由一联动装置控制。该装置相当于 一刚度为kT的扭转弹簧。调整片转动惯量为I ,因而系统固有频率n Kt / I ,但因kT不能精确计 算，必须用试验测定n。为此固定升降舵，利用弹簧 k2对调整片做简谐激励，并用弹簧kl来抑制。改变激励频率 直至达到其共振频率t。试以T和试验装置的参数来表示调整片的固有频率n。解：设调整片的转角为 ，系统的微分方程为:I && kT(

21、k1k2)L2k2Ly sin t系统的共振频率为:2kT(kik2)L2因止匕：kTI 2(kik2)L2调整片的固有频率为： 2(ki k2)L2I2.33 如图所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。试求W的振幅与行进速度的关系，并确定最不利的行进速度。解：由题目2.33y Y cos 2LV t?wX K(x y)?w X KY cos ft?w X Kx KY cos a t2 VwS2X(s) KX (s) KY ,2 v： 2 (-L- ) sX(s).2 VKY2K(s2 (2LV)2)(ws2 K)nw2、，xz 2 nY. 2 aYX72 sin as sinntn an

22、 aKL2Y精选范本2 21 (a/ 2)0"2 . 21 (a/ 2)21 4 2v2wKL2 T 2V2wKL2V2 k/ w2.33Tv L?mX KX Ky?X 2XZ2ZL2V2RL24 2m2.34 单摆悬点沿水平方向做简谐运动（图T2.34）,=asin t。试求在微幅的强迫振动中偏角的变化规律。已知摆长为L,摆锤质量为m。2.35 一个重90N的飞机无线电要与发动机的频率 16002200r/min范围的振动隔离，为了隔离85%,隔振器的静变形需要多少？2.36 试从式（2.95班明:1 .无论阻尼比 取何值，在频率比/ n J2时，恒有X = A。2 .在/ n V

23、2, X/A随 增大而减小，而在/ n J2, X/A随 增大而增大。2.37 某位移传感器固有频率为4.75Hz,阻尼比 =0.65。试估计所能测量的最低频率，设要求误差01%, < 2%。2.38 一位移传感器的固有频为率 2Hz,无阻尼，用以测量频率为8Hz的简谐振动，测得振幅为0.132cmi问实际振幅是多少 很差为多少？2.39 一振动记录仪的固有频率为fn= 3.0Hz,阻尼比=0.50。用其测量某物体的振动，物体的运动方程已知为x=2.05sin4 t+1.0sin8 t (cm)证明：振动记录仪的振动z将为z= 1.03sin(4 t-50°)+1.15sin(

24、8 t-12C0)(cm)精选范本2.40求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应，设初始条件为零解：ah(t)m1；e ntsin dth(t ) ±e n(t)sin d(t )h(t) m1dsin dth(t 2)± sin d(t )X(t) ；dcos n(t)良(cos nt)tFi0 六sin n(t )d(t )d I cos n(t ti)a1 (t0*h(t2)t2ttX(t)0Fi(t)h(t)dtF2(t)h(t0tltltX(t) 0 Fi(t)h(t)dF2h(t)d011cos n(t ti) cos nt cos n(t t?) COs n(t ti)F()籍 F(t )置t)tt fX(t) 0F(t)h(t ) T0m(t )dcos ntF0 t si