高二选修4-5证明不等式的基本方法（课堂PPT）

1、一、比较法一、比较法2233, 1abbabababa 求求证证且且都都是是实实数数已已知知例例)()()()(:32232233babbaaabbaba 证证明明)()()(2222babababbaa 2)(baba 0, 0, baba0)(2 baba又又0)()(0)(22332 abbabababa即即故故2233abbaba (1)作差比较法作差比较法., 2并并给给出出证证明明问问题题将将这这个个事事实实抽抽象象为为数数学学增增加加到到此此时时溶溶液液的的浓浓度度白白糖糖若若在在上上述述溶溶液液中中再再添添加加则则其其浓浓度度为为糖糖溶溶液液白白糖糖制制出出如如果果用用例例mb

2、mamkgbabkgakg bambmabamba 则则且且并并都都是是正正数数已已知知如如下下不不等等式式问问题题可可以以把把上上述述事事实实抽抽象象成成解解,:bambmabamba 则则且且并并都都是是正正数数已已知知如如下下不不等等式式问问题题可可以以把把上上述述事事实实抽抽象象成成解解,:下面给出证明下面给出证明)()(mbbabmbambma 0)(, 0)(, 0 mbbabmmbaabab都是正数都是正数又又bambmabambmambbabm 0 0)()(即即 归纳领悟归纳领悟 比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是：骤是：

3、 (1)(1)作差；作差；(2)(2)变形；变形；(3)(3)判断差的符号；判断差的符号；(4)(4)下结论下结论 其中其中“变形变形”是关键，通常将是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负结合不等式的性质判断出差的正负., 3等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当求求证证是是正正数数已已知知例例babababaabba baabbaabbababababa :证证明明.,1, 0, 1, 0),(等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当则则不不妨妨设设不不等等式式不不变变的的位位置置交交换换点点根根据据要要证证

4、的的不不等等式式的的特特bababababababa .,等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当bababaabba (2)作商比较法作商比较法3)(,:cbacbaabccbaRcba则若求证变式的大小比较且已知| )1 (log| |,)1 (log| :1, 0, 10:3xxaaxaa练习练习:dcDdbcaCdbcaBdcdbcadbcabaadbcdcba. 22. . baA.) (,22,.1 中中最最大大的的是是则则且且都都是是正正数数已已知知D不不能能确确定定的的大大小小关关系系是是与与则则且且若若. 1 .1 . qA.1) (1, 1, 0. 2nmDqqqCqqqBqq

5、qqqNnmqqnmnmnmnmnmnmnm A 不不能能确确定定的的大大小小关关系系为为与与则则中中和和等等差差数数列列在在等等比比数数列列D. baC, bB.a bA.a) (, 0, 0,. 35555 5555313311 baaabababannAabDabCbaBbabbaabbaba2 . 2 . . A.a) (2 ,2 , 10. 42222 中中最最大大的的值值是是则则设设B_,42, 5. 5222满满足足的的条条件件为为则则实实数数若若设设baQPaaabQbaP 21 abab或或_,),(log),log(log21,2log, 10. 621212121的大小关

6、系是的大小关系是则则若若MQPbaMbaQbaPba QPM二、综合法与分析法二、综合法与分析法(1)综合法综合法在不等式的证明中在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性我们经常从已知条件和不等式的性质、基本不等式等出发质、基本不等式等出发,通过逻辑推理通过逻辑推理,推导出所要证明推导出所要证明的结论的结论.这种从已知条件出发这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、利用定义、公理、定理、性质等性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种这种证明方法叫做证明方法叫做综合法综合法.又叫又叫顺推证法或由因导果法顺推证法或由因导果法.用综合法证明不等

7、式的逻辑关系用综合法证明不等式的逻辑关系)()(21结结论论必必要要条条件件逐逐步步推推演演不不等等式式成成立立的的已已知知BBBBAnabcbacacbcbacba6)()()(, 0, 1222222 求求证证且且不不全全相相等等已已知知例例abccbaabccb2)(, 0,2 :2222 证证明明abcacbbacac2)(, 0,2 2222 abcbaccabba2)(, 0,2 2222 abcbacacbcbacba6)()()(,222222 把把它它们们相相加加得得取取等等号号少少有有一一个个不不所所以以上上述述三三个个式式子子中中至至不不全全相相等等由由于于nnaaaaa

8、2)1()1)(1(1,aa,Ra,a, 221n21n21 求求证证且且已已知知例例.1,21 ,122)1()1)(1(,21 ,21,21, :21.21212122111时取等号时取等号所以原式在所以原式在取等号取等号时时得得由不等式的性质由不等式的性质同理同理证明证明 niiinnnnnnnaaaaaaaaaaaaRaaaaaaaaaRa)0(2);0(2;2)4(22;4)(;2)3(;0)2(;0)1(:,2222222 ababbaababbaabbababaabbaabbaaa它它的的变变形形形形式式又又有有它它的的变变形形形形式式又又有有常常用用的的不不等等式式有有不不等等

9、式式的的使使用用应应注注意意对对已已证证时时利利用用综综合合法法证证明明不不等等式式(2)分析法分析法从要证的结论出发从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件逐步寻求使它成立的充分条件,直至直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公定义、公理或已证的定理、性质等理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做这种证明方法叫做分析法分析法.这是一种这是一种执果索因执果索因的思考和的思考和证明方法证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系用分析法证明不等式的逻辑关系知知成立的充分条件成立的充分条件论论已已步步寻

10、求不等式步步寻求不等式结结 ) ( 21ABBBBn用分析法证用分析法证“若若A则则B”这个命题的模式是这个命题的模式是:为了证明命题为了证明命题B为真为真,只需证明命题只需证明命题B1为真为真,从而有从而有只需证明命题只需证明命题B2为真为真,从而有从而有 只需证明命题只需证明命题A为真为真.而已知而已知A为真为真,故故B必真必真.1.分析法要注意叙述的形式：“要证A，只要证B”，这里B应是A成立的充分条件.2.综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”.它们是两种思路截然相反的证明方法.分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的综合运用.63

11、72 1求证例.6372,1814,1814,1814,18291429,)63()72(,6372,6372 :22成立成立所以所以成立成立只需证只需证只需证只需证展开得展开得只需证只需证所以要证所以要证都是正数都是正数和和证明证明 例例2 2：若：若a a、b b、c c是不全相等得正数是不全相等得正数求证：求证：lg lg lg lg lg lg lga+lgb+lgc lga+lgb+lgc 2ba2cb2ac要证要证 lg lg lg lg lg lg lga+lgb+lgc lga+lgb+lgc 2ba2cb2ac只需证只需证 lg lg lgabclgabc222accbba只

12、需证只需证 abcabc222accbbaaa、b b、c c是正数是正数2ac2ba0，ab2cb0，bc0caaa、b b、c c不全相等不全相等 abcabbcca222accbba lg lg lg lg lg lg lga+lgb+lgc lga+lgb+lgc 2ba2cb2ac证明证明:abccbaaccbbacba222222, 0, 3求证已知例yzxzyxcbaabcaccbba22222222222)(,)(: 可以考虑用可以考虑用右边各项涉及三个字母右边各项涉及三个字母平方之积平方之积左边各项是两个字母的左边各项是两个字母的观察上式观察上式要证的不等式可化为要证的不等式

13、可化为分析分析abccbaaccbbacba222222, 0, 3求证已知例abccbaaccbbacbacbacbacbaabcaccbbaabcacbbcaaccbbaabcbaccabbaacbacbbacacbcacbaabccb 222222222222222222222222222222222222222222, 01, 0, 0,)(222)(22)(, 0,22)(, 0,22)(, 0,2 :故故又又证明证明练习练习1 1.求证：2222dcbabdac证明：22222dcbabdac02222dcba0 bdac若02222dcba不等式显然成立原不等式即证2222222

14、222222cbdadbcaabcddbca即证22222cbdaabcd即证02bcad即证成立2222dcbabdac若ac+bd0,练习练习2 2 ：已知C1，求证：ccc211证明：C1 C+10 C-1022112CCC要 证 原 不 等 式 只 需 证CCCC411212即证CC 12即证即证即证-10 而此式显然成立而此式显然成立成立原不等式CCC211| )()(|,1)(32babfafbaxxf求证：已知：练习0111,4accbbacba求证：已知：练习2分析分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把时，不要把“逆求

15、逆求”错误地作为错误地作为“逆推逆推”，分析法的，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用应正确使用“要证要证”、“只需证只需证”这样的连接这样的连接“关键关键词词”三、反证法与放缩法三、反证法与放缩法(1)反证法反证法先假设要证的命题不成立先假设要证的命题不成立,以此为出发点以此为出发点,结合已知条结合已知条件件,应用公理应用公理,定义定义,定理定理,性质等性质等,进行正确的推理进行正确的推理,得到得到和命题的条件和命题的条件(或已

16、证明的定理或已证明的定理,性质性质,明显成立的事实明显成立的事实等等)矛盾的结论矛盾的结论,以说明假设不正确以说明假设不正确,从而证明原命题成从而证明原命题成立立,这种方法称为这种方法称为反证法反证法.对于那些直接证明比较困难对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明的命题常常用反证法证明.反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反反证法的基本步骤：反证法的基本步骤：（1 1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-立；立；（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾； （3 3）从矛盾判定假设不

17、正确，从而肯定命题的结）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 - -论正确论正确归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。应用反证法的情形：应用反证法的情形： (1)(1)直接证明困难直接证明困难; ; (2) (2)需分成很多类进行讨论需分成很多类进行讨论（3)3)结论为结论为“至少至少”、“至多至多”、“有无穷有无穷多个多个” -类命题；类命题； （4 4）结论为结论为 “唯一唯一”类命题；类命题；(5)如果从正面证明如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论需要

18、分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形只研究一种或很少的几种情形. 21,1, 2, 0, 1中至少有一个小于中至少有一个小于试证试证且且已知已知例例xyyxyxyx 211.2,2)(22,21 ,21,0,21,21,21,1:中中至至少少有有一一个个小小于于与与矛矛盾盾这这与与已已知知条条件件且且即即都都不不小小于于假假设设证证明明xyyxyxyxyxyxxyyxyxxyyxxyyx 例例2、设、设0 a, b, c 641 又又0 a, b, c 1/4, (1 b)c1/4, (1 c)a1/4,例例3 3：用反证法证明：用反证法证明：如

19、果如果ab0ab0，那么，那么a a b b证证：假假设设 a a b b不不成成立立，则则 a a b b若若 a a = =b b，则则a a = = b b, ,与与已已知知a a b b矛矛盾盾, ,若 a b，则a b,若 a b，则a b b矛矛盾盾, ,故故假假设设不不成成立立，结结论论 a a b b成成立立。(2)放缩法放缩法证明不等式时证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形或使不等式中的项得到简化而

20、有利于代数变形,从而达从而达到证明的目的到证明的目的,我们把这种方法称为我们把这种方法称为放缩法放缩法.通常放大或缩小的方法是不唯一的通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有因而放缩法具有较在原灵活性较在原灵活性;另外另外,用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式,关键是放、关键是放、缩适当缩适当,否则就不能达到目的否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较因此放缩法是技巧性较强的一种证法强的一种证法.例如：例如：要证要证bc,只须寻找只须寻找b1使使ba,只须寻找只须寻找b2使使bb2且且b2a(缩小缩小)这种证明方法这种证明方法,我们称之为我们称之为放缩法。放缩法。放缩法放缩法的依据就是传递性。的依据就是传递性。21, 1caddbdccacbbdbaaRdcba求证已知例cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba , 0, : 证明证明baa bab dcc dcd 21 . caddabccacbbdbaadcdcbabacadddbccacbbdbaadcbadcba即即得得把以上四个不等式相加把以上四个不等式相加.111, 2bbaabababa求证是实数已知例.1111111111110 :