八年级数学下册方差导学案

1、学习必备欢迎下载八年级数学下册导学案（三十二）杨成超八年级数学下册方差导学案【教学目标 】：经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验。【教学重难点】 ：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。掌握其求法【自学指导】：学生看 P138-P140 注意以下问题：什么是方差？如何找一组数据的方差？方差有何意义。平均数，中位数，众数，极差与方差的区别与联系。【自学检测】1.乒乓球的标准直径为40mm，质检部门从A 、B 两厂生产的乒乓球中各抽取了10 只，对这些乒乓球的直径了进行检测。结果如下（单位：mm）：A 厂： 40.0， 39.9， 40.0，

2、40.1， 40.2， 39.8 ，40.0， 39.9， 40.0，40.1；B 厂： 39.8， 40.2，39.8， 40.2， 39.9，40.1， 39.8， 40.2， 39.8， 40.2.你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢 ? （1） 请你算一算它们的平均数和极差。(2)是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？2. 计算样本101， 97， 100，99， 103 的平均数、方差及样本标准差.将 101， 97， 100， 99， 103 同时减去 100 得： 1， -3 ， 0，-1 ， 3，1 x 5(1-3+0-1+3) 0， x x' +100

3、 100；112222+(-1)2225 ×20 4;S 51 +(-3)+0+3 - 5×0S4 2.答：平均数为100，方差为4，样本标准差为2.说明：当一组数据较大且相互比较接近时，若将每个数据同时减去一个与它们平均数接近的较“整”的常数 a，便可利用简化计算公式 .【师生共同探究，总结】：学习必备欢迎下载方差有下面几条重要的性质.设随机变量 X 与 Y 的方差存在，则1°设 c 为常数，则 D（c）=0；2°设 c 为常数，则 D（cX）=c2D（X）；3°D（X±Y)=D(X)+D(Y)±2E(X- E(X)(Y-

4、 E(Y)；4°若 X，Y 相互独立，则 D（X± Y）=D(X)+D(Y)；25°对任意的常数 cE(X)，有 D(X)<E（X- c）.方差的定 义定义 1设 X 是一个随机 变量, 若 E( XE( X) 2 存在,则称它为 X 的方差 , 记为D(X )E XE(X )2.方差的算 术平方根D ( X ) 称为标准差或均方差 , 它与 X 具有相同的度量单位, 在实际应用中经常使用 .方差刻划了随机 变量 X 的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.从方差的定 义易见:(1)若 X 的取值比较集中,则方差较小;(2)若 X

5、的取值比较分散,则方差较大;(3)若方差 D (X )0 , 则随机变量 X 以概率1 取常数值,此时 X 也就不是随机变量了.方差定义：设有 n 个数据 x1， x2， ， xn ，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x12，(x2x)2( xnx )2 ， ，x)，我们用它们的平均数，即用x21( x1x) 2(x2 x) 2( xn x) 2 n来衡量 这组数据的波 动大小，并把它叫做 这组数据的方差（ variance），记作s2 。意义：用来衡量一批数据的波 动大小在样本容量相同的情况下，方差越大， 说明数据的波 动越大， 越不稳定归纳：（1）研究离散程度可用 S2（2）方差应用更

6、广泛衡量一 组数据的波 动大小（3）方差主要应用在平均数相等或接近时（4）方差大波动大，方差小波动小，一般选波动小的方差的简便公式：学习必备欢迎下载波动大小指的是与平均数之间差异，那么用每个数据与平均 值的差完全平方后便可以反映出每个数据的波动大小，整体的波动大小可以通 过对每个数据的波动大小求平均 值得到。所以方差公式是能 够反映一 组数据的波 动大小的一个统计量，教师也可以根据学生程度和课堂时间决定是否介 绍平均差等可以反映数据波 动大小的其他 统计量。方差与标准差是表示一 组数据离散程度的最好的指 标。其值 越大，说明离散程度大，其值小说明数据比 较集中，它是统计描述与统计分析中最常 应

7、用的差异量数。它基本具 备一个良好的差异量数 应具备的条件：反应灵敏，每个数据取 值的变化，方差或标准差都随之 变化；有一定的计算公式严密确定；容易计算；适合代数运算；受抽样变动的影响小，即不同样本的标准差或方差比 较稳定；简单明了，这一点与其他差异量数比 较稍有不足，但其意 义还是较明白的。方差刻画了随机变量的取 值对 于其数学期望的离散程度。若 X 的取 值比较集中，则方差 D(X) 较小；若 X 的取值比较分散，则方差 D(X)较大。方差的计算1(1)基本公式 S2 n (x1- x )2+(x2- x )2+(xn- x )2.11(2)简化计算公式()S2 n222x 2 或写成2

8、n22(x 1+x 2+ +x n )-n,S(x 1+x 2+x2n)-x 2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方 .1(3)简化计算公式 ()S2 n (x 21+x 22+x2n)-n x' 2(4)原数据 x1,x2, ,xn 的方差与新数据x1 x1-a,x 2 x2-a, ,xn xn -a 的1方差相等 .即 x 1,x 2 , ,x n 的方差S 2 n (x 1- x ' )2+(x 2 - x' )2 + +x n'22- x) 等于原数据 x1,x2,xn 的方差 S .（学习必备欢迎下载标准差：方差的算 术平方根，即并把它叫做

9、这组数据的 标准差 .它也是一个用来衡量一 组数据的波 动大小的重要的量 .教师引导学生分析方差与 标准差的区 别与联系：计算标准差要比 计算方差多开一次平方，但它的度量 单位与原数据的一致，有时用它比较方便1. 方差一 组数据中的各数与其平均数的偏差的平方的平均 值称为这组数据的方差，它反映了一 组数据的分散或波 动的程度。2. 极差用来反映一 类量的分布的跨度或其波 动的幅度。3. 平均数则是用来反映一 组数据的平均水平或数据的集中位置。4. 计算方差 时，要先算这组数据的平均数，再算每个数据与平均数的偏差的平方和，最后除以数据的个数。【提高练习】：.已知一组数据为 2、0、-1 、3、-

10、4，则这组数据的方差为。12.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10 次，命中的环数如下：甲： 7、 8、6、8、 6、5、9、10、7、 4乙： 9、 5、7、8、 7、6、8、6、 7、 7经过计算，两人射击环数的平均数相同，但S 甲2S 乙2，所以确定去参加比赛。3. 甲、乙两台机床生产同种零件， 10 天出的次品分别是（）甲： 0、 1、0、2、 2、0、3、1、 2、 4乙： 2、 3、1、2、 0、2、1、1、 2、 1分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？4.小爽和小兵在 10 次百米跑步练习中成绩如表所示： （单位：秒）小10.810.911.0

11、10.711.111.110.811.010.710.9爽小10.910.910.810.811.010.910.811.110.910.8兵如果根据这几次成绩选拔一人参加比赛，你会选谁呢？【作业与教学反思】 ：一选择题1 一组数据 1,-1,0,-1,1的方差和标准差分别是 ( )学习必备欢迎下载A.0,0B.0.8,0.64C.1,1D.0.8,0.82某制衣厂要确定一种衬衫不同号码的生产数量, 在做市场调查时 , 该商家侧重了解的是这种衬衫不同号码的销售数量的()A. 平均数B. 众数C.标准差D. 中位数3在统计中 , 样本的方差可以近似地反映总体的()A. 平均状态B.波动大小C.分

12、布规律D. 集中趋势4甲、乙两个样本的方差分别是s 甲2=6.06,s 乙2 =14.31, 由此可反映出 ( )A. 样本甲的波动比样本乙的波动大 ;B. 样本甲的波动比样本乙的波动小 ;C.样本甲的波动与样本乙的波动大小一样;D.样本甲和样本乙的波动大小关系不确定5已知一组数据x1,x 2,x 3,x 4,x 5 的平均数是2, 方差为 1, 那么另一组数据33x1-2,3x 2-2,3x 3-2,3x 4-2,3x 5-2的平均数和方差分别是 ()A.2,1B.2,1C.4,2D.4,3633, 班平均分和方差某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数据测验分别为x甲=82 分,x乙=

13、82 分,2=245,2=190.那么成绩较为整齐的是甲乙ss( ).A. 甲班B.乙班C.两班一样整齐D. 无法确定7计算一组数据： 8，9，10，11， 12 的方差为（）A 1B 2C 3D48甲、乙二人在相同情况下，各射靶10 次，两人命中环数的平均数x 甲= x 乙 =7，方差 S甲2=3，S 乙2=1.2 ，则射击成绩较稳定的是（）A 甲B乙C一样D不能确定9甲、乙两八年级学生在一学期里多次检测中，其数学成绩的平均分相等，?但他们成绩的方差不等，那么正确评价他们的数学学习情况的是（）A 学习水平一样B 成绩虽然一样，但方差大的学生学习潜力大C 虽然平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳

14、定D 方差较小的学习成绩不稳定，忽高忽低二填空题1数据 8,10,12,9,11的极差和方差分别是 _.2数据 2,2,3,4,42的方差 S =_.3质检部门对甲、乙两工厂生产的同样产品抽样调查 , 计算出甲厂的样本方差为 0.99, 乙厂的样本方差为 1.02, 那么 , 由此可以推断出生产此类产品 , 质量比较稳定的是 _ 厂.4数据 8,10,12,9,11的极差和方差分别是 _.2122225已知一组数据的方差是s =(x 1 -2.5)+(x 2 -2.5)+(x 3 -2.5)+(x 25-2.5),则这组数据的平均数是 _.学习必备欢迎下载6一组数据的方差为 s2, 将这组数据

15、的每个数据都乘2,? 所得到的一组新数据的方差是 _.7甲、乙两台机器分别罐装每瓶质量为500 克的矿泉水 ?从甲、乙罐装的矿泉水24.82.中分别随机抽取了30 瓶, 测算得它们实际质量的方差是:S甲,乙S3 6 .那么 _(填“甲”或“乙” ) 罐装的矿泉水质量比较稳定 .8已知一个样本 1,3,2,5,4,则这个样本的标准差为 _9若一组数据1a2,an 的方差是5,则一组新数据a1,2a2,2an 的方差是a ,2()A.5B.10C.20D.50它的平均数为已知一个样本:1,3,5,x,2,3, 则这个样本的方差是 _.1011如图 , 是甲、乙两地5 月下旬的日平均气温统计图 ,

16、则甲、乙两地这 10天日平均气温的方差大小关系为 : 甲2_S乙2 .S12甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛, 参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表:班级参赛人数中位数方差平均字数甲55149191135乙55151110135某同学分析上表后得出如下结论: 甲、 乙两班学生成绩的平均水平相同; 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数( 每分钟输入汉字 150 个为优秀 ); 甲班成绩的波动比乙班大. 上述结论正确的是_(把你认为正确结论的序号都填上 ).13为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐, 每种秧苗随机各取5 株量出每株的长度如下表所示 ( 单位 : 厘米 )编12345甲121315

17、1510乙13141512112222=3.6 厘米 , 那么 S 乙=_厘米 , 因此 _种水稻秧苗出苗更整齐 .14一组数据 5，8，x，?10，?4?的平均数是 2x，?则这组数据的方差是 _15若样本 1，2，3，x 的平均数为 5，又样本 1，2， 3，x，y 的平均数为 6，则样本 1， 2，3，x，y 的极差是 _，方差是 _，标准差是 _16已知一组数据 0，1，2，3，4 的方差为 2，则数据 20， 21，22，23， 24 的方差为 _，? 标准差为 _17一组数据 -8 ，-4 ，5，6，7，7，8，9?的极差是 _，?方差是 _，?标准差是 _学习必备欢迎下载218若

18、样本 x1 ，x2，xn 的平均数为 x =5，方差 S =0.025，则样本 4x1，4x2，4xn 的平均数 x =_，方差 S 2=_三、解答题1现有 A、B 两个班级 , 每个班级各有45 名学生参加一次测试 , 每名参加者可获得 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 分这几种不同的分值中的一种 . 测试结果 A 班的成绩如下表所示 ,B 班的成绩如右图所示 .A 班分数0123456789人数1357686432人数B 班18108(1) 由观察可知 ,_ 班的方差较大 ;(2) 若两班合计共有 603分数人及格 , 问参加者最少获 _分才可以及格 .01234562某篮球队运动员

19、进行3 分球投篮成绩测试 , 每人每天投 3 分球 10 次, 对甲、乙两名队员在 5 天中进球的个数统计如果如下 :经过计算 , 甲进球的平均数为 x 甲 和方差 s 甲2=3.2.(1) 求乙进球的平均数 x 乙 和方差 s 乙 2;(2) 现在需要根据以上 x 乙结果 , 从甲、乙二人中选出一人去参加 3 分球投篮大赛 , 你认为应该选哪名队员每人每天进球数队员 ?为什么 ?甲1061088乙797893某校高中一年级组建篮球队 , 对甲、乙两名备选同学进行定位投篮测试, 每次投 10个球, 共投 10次. 甲、乙两名同学测试情况如图所示:投中个数10乙平均数众数方差9甲1.28甲2.27乙65投篮次数40 一二三四五六七八九3 题图(1) 根据图中所提供的信息填写右上表格:(2) 如果你是高一学生会文体委员, 会选择哪名同学进入篮球队?请说明理由 .4某县种鸡场为研究不同种鸡的产蛋量， 各选十只产蛋母鸡， ?它们十天的产蛋量如下表，试问这两种鸡哪个产蛋量比较稳定？6.126.136.146.156.166.176.186.196.206.21甲99798991