函数y=Asin(ωx+φ)的图象示范教案

1、1.5 函数 y=Asin （ x+ ）的图象教学目的：1、理解振幅变换和周期变换和平移变换;会用图象变换的方法画yAsin（ x）的图象；2、会用 “五点法 ”画 y Asin （ x）的图象；3、会求一些函数的振幅、周期、最值等；4、渗透分类讨论的数学思想，提高分析和解决问题的能力。教学重点、难点重点：用图象变换的方法画y Asin （ x）的图象。难点：理解振幅变换和周期变换和平移变换。教学过程：一、复习引入：1正弦曲线y1-6-5-4-3-2-023456x-1f x = sin x2. 余弦曲线y1-6-5-4-3-2-023456x-1f x = cos x3. 五点法做图二、讲授

2、新课：1、函数图象的左右平移变换ysin( x)和 ysin( x)如在同一坐标系下，作出函数的简图，并指出它们与 ysin x 图象之间的关系。34解析：函数ysin( x)的周期为2，我们来作这个函数在长度为一个周期的3闭区间上的简图。xZsin( x)sin ZxZ设3，那么3，3、3、2、 、 2、 7、 5当Z取0、22时， x 取36363 。所对应的五点ysin( x)x， 5是函数3，33图象上起关键作用的点。列表：x27536363x032322sin( x)010 103ysin( x)类似地，对于函数4，可列出下表：x357944444x402322sin( x)010

3、104描点作图（如下）y sin( x)利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、 右扩展，得出3 ，x Rysin( x)R 的简图（图略） 。及4， xy sin( x)sin x 的图象上所有的点向左由图可以看出，3 的图象可以看作是把 yysin( x)平行移动3 个单位而得到的，4的图象可以看作是把 y sin x 的图象上所有的点向右平行移动4 个单位得到的。注意：一般地，函数 y sin( x)(0) 的图象，可以看作是把 ysin x 的图象上所有的点向左（当0 时）或向右（当0 时）平行移动 | |个单位而得到的。2、函数图象的纵向伸缩变换如 在 同 一坐 标 系 中作 出

4、 y2sin x 及y1 sin x2的简图，并指出它们的图象与y sin x 的关系。解析：函数 yy1 sin x，我们先来作 x0，2 时函数2sin x 及2的周期T 2的简图。列表：x03222sinx010 102sinx020 201 sinx01010222描点作图，如图：利用这类函数的周期性，我们可以把上图的简图向左、向右扩展，得到y2sin x，xRy1 sin x， xR及2的简图（图略） 。从上图可以看出，对于同一个x 值， y2sin x 的图象上点的纵坐标等于ysin x 的图象上点的纵坐标的两倍（横坐标不变），从而 y2sin x， xR 的值域为2， 2，最大值

5、为2，最小值为 2。y1 sin xysin x 的图象上所有点的纵坐标缩短到类似地，2的图象，可以看作是把1y1sin x， x R1 ， 1原来的2倍（横坐标不变）而得到的，从而2的值域是22 ，最11大值为2 ，最小值为2 。注意：对于函数yA sin x （A>0且 A 1）的图象，可以看作是把 ysin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1 时）或缩短（当 0<A<1 时）到原来的 A 倍（横坐标不变）而得到的， yA sin x，xR 的值域为 A ， A ，最大值为A，最小值为 A 。3、函数图象的横向伸缩变换y1如作函数 ysin2 xsin xy

6、sin x 图象间的关系。及2的简图，并指出它们与解析：函数 ysin2 xT2，我们来作 x0， 时函数的简图。2的周期2xZ ，那么 sin 2xsin Z ，当 Z 取 0、3、2设22时，所对应的五点是函数y sin Z，Z0，2 xZ2 ，所以当x 取 0、 4 、图象上起关键作用的五点，这里2、 3、y sin 2x，x 0， 的图象上起关键作用的五4时，所对应的五点是函数点。列表：x034242x03222sin 2 x010 10T241y sin1x2，我们来作 x0，4 时函数的简图。函数2 的周期列表：x02341032x2221010 10sin x2描点作图，如图：利

7、用这类函数的周期性， 我们可以把上面的简图向左、右扩展，得出 ysin2 x ，xRysin 1 xR 的简图（图略） 。及2， xx0从上图可以看出， 在函数 ysin2 x 的图象上横坐标为2 （ x0R ）的点的纵坐标同yx0sin( 2x0 )sin1sin x 上横坐标为 x0 的点的纵坐标相同 （例如， 当2 时，22，sin x0 sin1）。因此， ysin2 x 的图象可以看作是把y sin x 的图象上所有点的横21坐标缩短到原来的2 倍（纵坐标不变）而得到的。y1xsinysin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原类似地，2的图象可以看作是把来的 2 倍（纵坐标不变）而得

8、到的。注意：一般地，函数ysinx(0且1) 的图象，可以看作是把ysin x 的图1象上所有点的横坐标缩短（当1时）或伸长（当 01 时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的。4、函数 y A sin( x) 的图象作函数 yAsin(x) 的图象主要有以下两种方法：（ 1）用“五点法”作图用“五点法”作yA sin( x) 的简图，主要是通过变量代换，设 z x，由3z 取 0， 2 ， ， 2， 2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象。（ 2）由函数 ysin x 的图象通过变换得到yA sin( x) 的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。法一：

9、先平移后伸缩y s i nx向左 ( 0)或向右 (0)ys i nx()平移个单位| |横坐标变为原来的1 倍y sin(x)纵坐标不变纵坐标变为原来的A倍yA sin(x)横坐标不变法二：先伸缩后平移1横坐标变为原来倍的y s i nx y s i n x纵 坐标 不 变向左( 0)或向右 ( 0)y s i n (x )平移 |个单位纵坐标变为原来的 A倍yAsin(x)横坐标不变| |个单位，后者平移|可以看出，前者平移个单位。原因在于相位变换和周期变换都是针对变量 x 而言的。 因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则必然会出现错误。当函数 yAsin( x) （A

10、>0 ，0 ， x 0，) ）表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次T2f1T 2所需要的时间，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数，它叫做振动的频率；x叫做相位，叫做初相（即当 x0 时的相位）。三、典型例题例 1. 用两种方法将函数yysin( 2x)sin x 的图象变换为函数3 的图象。x2x2( x)2 x3分析 1：6横坐标缩短到原来的1ysin x2纵坐标不变解法 1：向左平移个单位ysin 2x6ys i n2(x)sin( 2x)63xx2x3分析 2：3向左平移个单位解法 2： ysin x3ys

11、 i nx()3ys i n2(x)31横坐标缩短到原来的2纵坐标不变注意 ：在解法 1 中，先伸缩，后平移；在解法2 中，先平移，后伸缩，表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的（即 6 和 3 ），但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一致的。例 2. 用五点法作出函数解：（ 1）列表y2 sin(2x)3 的图象，并指出函数的单调区间。32x列表时3取值为 0、 2、 2、 2，再求出相应的x 值和 y 值。x7561231262x032223y020-20（ 2）描点（ 3）用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示：利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y2sin(2 x)3 ， x R 的简图（图略） 。， 7可见在一个周期内，函数在1212k， k7 ( k Z )的递减区间为1212上递减，又因函数的周期为，所以函数。5， k( kZ ) k同理，增区间为1212。例 3. 如图是函数 yA sin( x) 的图象，确定A、的值。解：显然 A25()T66222Ty 2 s i