江苏高考文科数学试题及答案解析

1、数学I试题 参考公式圆柱的体积公式：V圆柱二Sh,其中S是圆柱的底面积，h为高.1圆锥的体积公式：V圆锥gSh,其中S是圆锥的底面积，h为局.一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上1 .已知集合 A=,2,3,6, B=x-2<x<3,贝(J Ap B=.2 .复数z =(1 +2i)(3 i),其中i为虚数单位，则Z的实部是一 一 J .223.在平面直角坐标系xOy中，双曲线上上=1的焦距是734 .已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 .5 .函数y=由-2x- x2的定义域是_.6 .如图是一个算

2、法的流程图，则输出的 a的值是生.7 .将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是2.8 .已知an是等差数列，S是其前n项和.若a1+a22=-3, S=10,则a9的值是幺.9 .定义在区间0,3冗上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是L.22b10 .如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆与+4=1(a>b> 0)的右焦点，直线y=与a b2椭圆交于B, C两点，且NBFC =90 ,则该椭圆的离心率是'.(第10题)x a, -1 - x 二

3、0,11.设f (x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间?1,1)上,f (x) = « 2x ,0 < x< 1, 559其中aw R.若f(-2) = f(2),则f (5a)的值是左.x -2y 4-012.已知实数x,y满足<2x + y-2之0,则x2+y2的取值范围是左.13 .如图，在 BBC中，D是BC的中点，E, F是AD上的两个三等分点，BC,CA = 4,14 .在锐角三角形AB。,若sin A=2sin Bsin C,贝U tan Atan Btan C的最小值是_.二、解答题(本大题共 6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应

4、写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15 .(本小题满分14分),1-4TT在 ABC 中，AC=6, cos B = 一, C =. 54(1)求AB的长；(2)求 cos(A-)的值. 616 .(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCABG中，D, E分别为AB, BC的中点，点F在侧棱 BB 上，且 BD _LAF , AC1 1AB1.求证：(1)直线DE/平面AGF;(2)平面BDEL平面AC1F.17 .(本小题满分14分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-AB1C1D1,下部分的形状是正四棱柱 ABCD -A1B1C1DN如图所示)，并要求正四

5、棱柱的高QO是正四棱锥的高PO1的四倍.(1)若AB =6 m, PO =2 m,则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6m,则当PO为多少时，仓库的容积最大？18 .(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M x2 + y2-12x-14y+60 = 0及其上一点 A(2 , 4)(1)设圆N与x轴相切，与圆 M外切，且圆心 N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；T T T 设点T (t,0)满足：存在圆 M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围。19 .(

6、本小题满分16分)已知函数 f (x) = ax bx(a 0,b 0,a=1,b=1).e1(1)设 a=2,b=_.2 求方程f(x)=2的根；若对任意xw R,不等式f (2x)之mf(x) -6恒成立，求实数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)= f(x)2有且只有i个零点，求ab的值.20 .(本小题满分16分)记U =1,2,100.对数列an (n w N )和U的子集T,若T =0 ,定义St = 0 ;若 丁=白1上,，tJ,定义 & =atat2 +%.例如：T = 1,3,66时，& = & + a3+a66.现设

7、 an(nw N* )是公比为3的等比数列，且当T = 2,4时，St =30 .(1)求数列an的通项公式；(2)对任意正整数k(1EkE100 ),若T £ 1,2，k,求证：ST<ak书；(3)设C=U,D工U,Sc ±Sd,求证：Sc + Scd >2Sd.数学R (附加题)21 .【选做题】本题包括A、B、G D四小题，请选定其中两小题,并在相应的答题区域内 作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.A.【选修4一 1几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，在 BBC中，ZAB(=900 , BDL AQ D为垂

8、足，E是BC的中点，求证：/ ED©/ ABD10分)一 2 ,求矩阵AB2B.【选修42:矩阵与变换】(本小题满分已知矩阵A = ： _22 ”矩阵B的逆矩阵B=1C.【选修44:坐标系与参数方程】(本小题满分 10分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为1x =1 t23t(t为参数)，椭x =cos'圆C的参数方程为iy=2sin J9为参数).设直线1与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.D.设 a> 0, |x-1| <a, |y-2| < -,求证：|2x+y-4| <a.33【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计2

9、0分.请在答题卡指定区域内作答.解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l : x-y-2=0,抛物线 C: y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q求证：线段PQ的中点坐标为(2-p, -p)； 求p的取值范围.23 .(本小题满分10分)(1)求 7C3YC4 的值；(2)设 m nN*, n>m,求证： mmmmmm +2(n+1) Cm+ (m+2) Cm+1 + (m+3) Cm+2+ TnCn+ (n+1) Cn

10、 = (n+1) Cn+2 .参考答案1. 1-1,212.53. 2,104.0.15. 1-3,11 6.9 7. 5.68.20.9.7.10 .整11 .-12 . 4,13 513 . 714.8.4 4 0315.解(1)因为 cosB=,0 <B 所以 sinB =山cos2 B = *1 ()2 =,5，556 -2由正弦定理知 旦=旭，所以AB=ACC =5五sin B sin Csin B 35(2)在三角形 ABC中 A+B+C=n,所以 A = n(B+C).442 _ _J"2" " "7c于是 cosA = _cos(B

11、 C) = _cos(B ) = -COsBcos sin Bsin ,434 ,2 3又 cosB =-,sin B =-, 故 cosA =m二一十一 m-55 25所以 sin A = 1 -cos2 A10因此 cos(A -)二 . .二 、.2.3 7,2 17 2 - 6610210220二 cosAcos一 , sin Asin 一二一 - -=.16 .证明：(1)在直三棱柱 ABCA1B1cl 中，AC/AC1 在三角形ABC,因为D,E分别为AB,BC的中点.所以 DE / / AC ,于是 DE/AC1又因为D&平面ACF,AC1 u平面AC1F所以直线DE平面

12、AC1F(2)在直三棱柱 ABC-AB1cl中，个，平面ABC因为ACi仁平面ABiG ,所以AA _LAC又因为 ACi _laBi, aa,u平面abba, ABi U平面abBiAABiPi AA =A所以AC1 _L平面ABBiAi因为B1D匚平面ABB1A ,所以AC1_LB1D又因为 B,D _LAF, AC1 u平面 A C1F,AF u平面 A C1F,AC1r| AF = A所以B1D _L平面A1clF因为直线B1D匚平面BDE ,所以平面B1DE _L平面ACiF.17 .本小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间 想象能力和运用数学模型及

13、数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.解：(1)由 PO=2 知 OO=4PO=8.因为 A1B1=AB=61c1cc所以正四棱锥 P-ABGD 的体积 V柱=-A1B12 ,PO1 = M 62 M2 = 24( m3);33正四棱柱 ABCD-A1C1D 的体积 VnAB2 OO1 =62M8 = 288(m3 ).所以仓库的容积 V=V锥+V柱=24+288=312 (吊).设 AB=a(m),PO1=h(m),则 0<h<6,OO=4h.连结 OB.因为在 RTPO1B1 中,OB12 + PO12 = PB12,所以2a2+ h2 =36 ,即 a2 =2(36h

14、2 ).于是仓库的容积V封锥-V柱=a 4h 1a2 h3从而V'=26 36-3h2 =26 12-h2. 313a2h = 6(36h-h3 * 5 ),(0<h<6), 33令V'=0,得h=2通或h=2杂(舍).当0 ch <273时，V'>0, V是单调增函数;当2褥<h <6时，V'<0 , V是单调减函数.故h =2时，V取得极大值，也是最大值.因此，当PO1=273时，仓库的容积最大.18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算等基础知识，考查分析问题能力

15、及运算求解能力.满分16分.22解：圆M的标准万程为(x-6) +(y-7) =25,所以圆心M(6, 7),半径为5,.(1)由圆心在直线x=6上，可设N(6,y° ).因为N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0 <7,于是圆N的半径为y°,从而7y0=5 + yo,解得y0=1.因此，圆N的标准方程为(x-6；2+(y-1 f =1.(2)因为直线1110A ,所以直线l的斜率为 "=2.2 -0设直线l的方程为y=2x+m)即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离因为 BC =OA =、,22 42 =2.5,而 MC2 =d2 -i BC ,

16、+5,解得 m=5g£ m=-15.222-因为点Q在圆M上，所以(x2 -6 ) +(y2 -7 ) =25.22将代入，得 Xi -t -4yi -3 =25.22于是点P(x1,y1 )既在圆M上，又在圆x -(t +4 )1 +(y-3) =25上，22从而圆(X _6 ) +(y _7 ) =25 与圆 x (t +4 ) +(y 3 ) =25没有公共点，所以5.5M&+4)一62 +(3一7 2 <5+5j?W 2-2,721 <t <2 + 2721.因此，实数t的取值范围是一2_2印,2+24.119. (1)因为 a=2,b=,所以 f(

17、x)=2x+2 .2方程 f (x) =2 ,即 2x +2 =2,亦即(2x)2 -2父2、+1=0,所以(2x-1)2=0,于是 2x=1,解得 x = 0.由条件知 f (2x) =22x - 2处=(2x - 2)2 -2 =(f (x)2 -2.因为f (2x) Amf(x) -6对于xw R恒成立，且f (x) >0 ,所以m W "(x)对于x亡R包成立.f(x)而(f<14=f(x)+士之 2*f = 4,且 f<14 = 4, f(x)f(x) f(x)f(0)所以mM4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数 g(x) = f (x) -2 只有

18、1 个零点，而 g(0) = f (0) - 2 = a° +b°-2 = 0 ,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为 g'(x) =ax In a +bxln b ,又由 0 <a <1,b >1 知 In a < 0,ln b > 0 ,所以 g (x) =0 有唯一解 x0 =logb(一"a). a Inb令 h(x) =g'(x),贝U h'(x) =(axln a +bxln b)' =ax(ln a)2 +bx(ln b)2 ,从而对任意xWR, h'(x)>0,所以g

19、9;(x)=h(x)是(-«,")上的单调增函数，于是当 xW ()，g'(x) <g'(x0) =0 ；当 xW(x。,)时，g'(x) > g'(x0) = 0.因而函数g（x）在（-°0, %）上是单调减函数，在（x0,也）上是单调增函数.下证x0 =0 .右 Xo<0,贝 Uxo<0<0,于是 g( ) < g (0) = 0 ,22又g(loga2)=aloga2 +bloga2 -2 >aloga2 -2=0 ,且函数g(x)在以上和loga 2为端点的闭区间2上的图象不间断，所

20、以在 包和loga2之间存在g(x)的零点，记为xi.因为0<ac1,所以 2loga 2 <0 ,又x0<0 ,所以不 <0与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾. 2若x0>0,同理可得，在 包和loga2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾.2因止匕，x0 =0.于是 _Jn_a =1 ,故 lna+lnb=0,所以 ab=1.In b20. (1)由已知得 an=ai3n,nw N*.于是当 T =2,4时，Sr =a2 +a4 =3a1 +27al =30al.又 Sr =30,故 30a1 =30 ,即 a1 =1.所以数列an的通项公式为an=3n,nW

21、N*.(2)因为 TJ1,2,川,k, an =3nA0,nW N* ,所以 Sr _aa2I"ak=1 3 III3k'=1(3k-1)：二 3k.2因此，Sr ：二 ak 1.(3)下面分三种情况证明.若 D 是 C 的子集，则 Sc+&-D =Sc+Sd 之 Sd+Sd =2Sd .若 C 是 D 的子集，贝U SC+SC-D =SC+SC =2SC ±2SD.若D不是C的子集，且C不是D的子集. e=cP1CuD, F =dP1CuC WJ E #4 , F*e, eDf"于是 Sc =Se +Sc，、d, Sd =Sf +Sc，、d ,进

22、而由 Sc 之 Sd ,得 Se 之 Sf .设k是E中的最大数，l为F中的最大数，则k至1,l至1,k#l .由(2)知，Se <ak+,于是 3l4 = al MSf <Se <ak+=3k ,所以 l 1<k ,即 l <k.又k刊，故l Ek -1,从而 SF < a1 a2 |al =1 3 川 3 l3l -1 ak -1SE -1故 Se 之a -c 故<bd =0,2c =02d WSf +5141 ,所以 Sc Sc之 2(Sd Scrd)+ 1 ,即 SC SC'D - 2SD 1 .综合得，SC SC.、D _2SD .2

23、1. A证明：在 MDB和AABC中，因为/ABC =90，,BD _L AC,2A为公共角,所以 AADB s MBC ,于是 /ABD =NC .在RtABDC中，因为E是BC的中点， 所以 ED = EC ,从而 /EDC =/C .所以.EDC = . ABD.B.解：设B-a一cbl 则 B1B =d-a b_C d,001即,1a -c2一 2ch 1Hb - -d22d1一一1 一!。01 1=1所以-1解得b=1,4c = 0d=1L 2因此，AB1,02C解：椭圆C的普通方程为x2+L=1 ,将直线l的参数方程 41x =1 -t2二 ,代入X2 +工=1 ,、3,4y0t3 21 (-t)得(1+1)2+=1,即 7t2 + 16t =0,解得 t1=0,2 4167所以 AB =| t1 12 | =.721D.证明：因为 |x -1|<-,|y-2|<a3 3所以 |2x