江苏省专转本统一考试高等数学复习资料总纲(简略版)

1、高等数学复习提纲（一）极限七大题型1.题型一lim Pm为（m,n分别表示多项式的曷次 ）要求：A:达到口算水平；B:过程即“除大” xPn（x）2.题型limx? a（a有限）分子分母=0 将a带入分子:1 0结果:=0“0/0型”用洛比达法则继续计算求值将a带入分母1 0直接带入a求出结果就是要求的值3 .题型三（进入考场的主要战场）limu（x）v（x）注：应首先识别类型是否为为“ 1¥”型！x? a 1公式：lim（1 +W）W= e 口诀：得1得+得内框，内框一翻就是e。（三步曲）4 .题型四：等价无穷小替换（特别注意： W 0）（DA:同阶无穷小:limxf1 0（f是g

2、的同阶）； gB：等价无穷小:limxf = 1（ f和g等价）； gC：高阶无穷小:limxf = 0（ f是g的高阶）.注意：f和g的顺序 g（2）常用等价替换公式:1sinWW4eW 1-W7* arcsinW W2tanW W5ln(1 W)W* arctarW W31 coSW -W2 26c,1也 W 1 -W n1 2特别补充：seCW 1 -W2 2(3)等价替换的的性质: 1)自反性：2)对称性：若 ,则3)传递性：若 ,，则 (4)替换原则：A:非0常数乘除可以直接带入计算；B:乘除可换，加减忌换(5)另外经常使用：M = elnM进行等价替换题型五lim f(x)?g(x

3、) 0(f (x) = 0,g(x)不存在但有界)x? a x有界：$M,|g(x)| M 有界 (sin x,cos x,arcsin x,arccot x,均有界)识别不存在但有界的函数：sin ,cos ,e25 .题型六：洛必达法则(极限题型六)，见导数应用：洛必达法则6 .题型七：洛必达法则(极限题型七)，定积分，见上限变限积分7 .题型三&题型四的综合(二)极限的应用1、单侧极限(1)极限存在条件 lim f(x)= A? f(xo 0) = f(x0- 0) = A左左右右x? x0(2)极限的连续性 lim f (x) = f (%)即f (乂)在乂= xO连续X? x

4、0f(x0 0) = f (x0- 0)= f (x°)（3）间断点及分类（难点）把握两个问题：第一，如何找问断点 ；第二，间断点分类（难）A：间断点：定义域不能取值的内点B：间断点分类J A, I类可去lim f （x）=x? xY , II 类不存在，不能分类，求左右极限数（坚守的阵地）二、 导（一） 导数定义定义一1、“陡”、“平”的形象叙述；2、3、4、f '（%）=由四=唯一切线斜率（攻）； dxt b _ Vy_ f(x0 + Vx)- "xO .tan b =；VxVxf,(%) = Vxm0 f (x0+Vx)- f(x0).拓展: xlim “x

5、+ vy- f(x。)W? 0W=A= f '(x0)注意：1）分段点求导，永远用定义!2）有连续性条件时可直接带入定义二(左导)f- '(%)= lim f(Vx+x0)- f(x0)(左支)Vx? 0Vx(右导)f+'(x0)= lim f(Vx+x0) f(x0)(右支)Vx? 0+Vxf '(x。)存在f+ '(x。)= f- '(x0)(二)导数常用公式1c 07、21(cot x)(secx)'t(cscx)'2cos x21csc x2sin xan x secxcot x cscx2n xnxn 1,n为常数3x

6、aax ln a, a为常数4x exe(log a x)1In y11in x xln a1x(arcsin x)'5(lg x)xln101x?8(arccos x)6sin xcosx(arctan x)'1(cos x)sinx1 x21(arc cot x)'1x2(三)导数运算1、乘法运算：(uv)' = u'v+ uv'(uvw)' = u'vw+ uv'w+ uvwc 小、/、一任uu'v- uv'九字诀2、除法运算：(-)'=2 v v号变号(四) 复合函数求导(核心内容)则用则1

7、、层次分析(如右“九字诀”，由外向内，“遇则则止”)层向乘所谓的“则”是十、 -、X、+2、几点性质：一1 11(1)公式 ln x ,推广为：(ln | x |)' = 一 ？ 一 xx | x |(2)形如：u(x)v(x)利用公式M = e1nM等价替换(3)奇偶性：丫二f(x)奇？ y'偶 丫=f(x)偶？ y'奇(五)高阶导数1n (n),xn!n (m)x0(mn)3(n)nsin xsin x 2/(n)n(cosx)cos x22(n).、nn1( 1) n!aax b(ax b)n 14/ ax、(n)n ax(e )a e(六)微分1、 基本知识dy

8、 = y'dx注意求的时候要加“ dx2、 参数方程求导(考试重点)参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分标准形式:y(t)求电,。dx dxt为中间变量公式:dy yt' = dx xt'3、符号型求导"f"层抽象符号层4、隐函数求导(必考)f(x)，一元显函数u f(x, y),二元显函数y y(x)，一元隐函数题目一般形式是：f(x,y) g(x,y),求吆,吗.dx dx5、对数法求导巧用对数的性质，变形式子(七)导数的应用1、切线与法线切线斜率就是在该点的导数值法线斜率X切线斜率=-1 ;2、洛必达法则(极限题型六)()f (x) f &

9、#39;(x) lim ' ' lim X a g(x)艺 a g'(x)条件：1.0,2.后有则前有0汪思：1 .等价无穷小，乘除可换，加减忌换2 .洛必达法则可重复使用3、函数的单调性与极值、凹凸性、拐点1)“峰”一一极大值；“谷”一一极小值;单调性与极值求解y' 0,x Iy ;A :单调性：y' 0,x Iy .B:单调性交界点一极值点(判据)C:极值点可疑点(y' 0&丫'不存在众)D：渐近线如果im f (x) A则y A是y f (x)的水平渐近线；如果lim f (x),则x a是y f(x)的垂直渐近线. x a

10、2)函数凹凸性与拐点y'' 0, x Iy凹(U);y'' 0,xIy凸(I ).B:凹凸性交界点且能取值一拐点C：拐点可疑点y'' 0& y''不存在一般求解步骤：(1)求定义域、渐近线；(2)计算 y',y''(3)求y' 0, y'' 0的点和使y',y''不存在的点，设为Xi,X2,X3.;(4)列表分析;（5）得出结论.4、函数最大值、最小值f（x）连续，x a,b比较：1） f'（x） 0, f不存在极值可疑点；2）端点5、函数的实

11、际应用步骤：（1）合理做设，x具有唯一性；（2） y f（x）,建模；（关键点所在）（3）令y' 0,x x*（符合实际）；（4） “八字”，唯一驻点，即为所求。三、多元微分学（20+）（一）显函数一阶偏导数“求即变”：求哪个，哪个就是变量u'x Ux（x变,y常） x-U 'y 口丫（丫变,*常） y（二）全微分元函数：y f(x),dy y 'dx此时，可微 可导二元函数：u f（x, y）,duudx dy.此时，可微 x y偏导数存在，且连续（三）（高）二阶偏导数主要是求2u 2u2u,分别定义为:2 u2x2uu(-), x xu(-), x y定条件

12、下，即连续时:u(-y xu(-). y y（四）二元隐函数求导F(x, y, z) 0,一般 z z(x y)F1一阶：上F_x上，二阶直接求：z Z（X，y）x F'z y F 'z（五）符号型求导（必考）X1 . u（-）,为已知函数（第一类：“妈妈一兀”函数）y2. u f（xy,x 2y）, f为已知函数（第二类）（重点）会画关系图2【例题】u f（xy,2x 3y）, f已知.求-u,-u, x y x y框1框2解：（1）画关系图J 1 X /2 、, y （2） “九字诀”求解uuxy四、不定积分（一）基本知识1.性质：f(x)dx'九字诀先找路路中乘路

13、间加f(x);d f(x)dx f (x)dx; dF(x) F(x) C1x dxx C(n 1)n 17cscxdx ln | cot x cscx | Csecxdx ln | tan x secx | C21dx ln | x | C x2.基本公式支3xaxdx C In a8r d dx arcsin C 后x2a1,1一 x八-2dx arctanCaxaa1.11axe-2dx In Ca x2aa x4exdx ex C5sin xdx cosx Ccosxdx sin x C62sec xdx tan x C2csc xdx cot x C1,.F 2",dx I

14、n x V x AJx2 AC(二)求不定积分的四大方法1、方法(1)凑常数1公式：dx d(ax b), a,b均为吊数 a(2)配方见到一元二次方程敏感的想到配方法(3)拆分11 c(ax b) a(cx d) 1 l c a (ax b)(cx d) bc ad (ax b)(cx d) bc ad (cx d) (ax b)(4)利用三角函数和差化积和积化和差公式积分2、方法二一一固定搭配公式(x)f( (x)xdx3、方法三分布积分(1) 一般分布积分公式： udv uv vdu 关键：v是什么？lnWarctart/VarcsinW 幕 三角函数I一二v的优先级方向(2)特殊方程法

15、积分法积分时，对如下积分要特别注意:X2.2 !sin x dx, sin(ln x)dx,excos4xdx 等等2X2 Sin X . In X .e sin3xdx, e2dx, dx, dx,x x 14、方法四一一变量替换(1) 一次项替换 如:ax bdx方法：直接令vOxb t,即xt2 b(2)二次项替换根据下表进行相应替换:替换原理：根据下面两个三角变换得来的22l.sin x cos x 1222.1 tan x sec x1 .N-L公式 (牛顿-莱布尼兹公式)f (x)dx F (x) Cbbf(x)dx F(b) F(a) F(x)a a主要思想是利用积分方法进行积分

16、，然后“出来代值”计算“bx (t)1(b)2.变换一一变限a f(x)dx t 1(x)1(a) f (t) '(t)dt.(二)定积分性质aab1 . (1) a f(x)dx 0.(2) b f (x)dx a f(x)dx.b2 .若a,b为常数，(f(t)dt) 0. dx abbb3 .更名：f(x)dxf (t)dtf(W)dWaaabcb4 .拆分：f (x)dxf (x)dxf (x)dx.aac积分性质的运用：(1)分段函数的定积分(2)函绝对值积分(3)三角函数积分(实质是判断三角函数符号进行拆分积分运算) a5 .若f(x)为奇函数，则 f(x)dx 0. a这

17、一性质十分重要，特别是见到对称限时要想到这一性质。6.变限积分涉及到求极限七大题型的最后一种题型，即题型七xx(1) g(x) f (t)dt(f (t)dt)'xf (x)记住：与 x没有关系aa推广：(2(x)f(t)dt)'x f( 2(x) ,2(x) f( 1(x) 1(x).1(x)上限带入乘上限求导下限带入乘下限求导洛必达法则 (极限题型七)7广义积分a三种形式：(1) f(x)dx; (2)f(x)dx; (3)af (x)dx.解：定义:原=lim Fuu uuFuf(x)dxa式A (有限)或不存在收敛发散(三)定积分应用般出现在综合题的最后一题，题型仅有两

18、种：第一，求面积；第二求旋转体体积(绕x轴，y轴)1.面积(1) “左右型”2(X)(2) “上下型”2.旋转体体积bSw 2(x) i(x)dx *对分adSwc 2(y)i(y)dy * y积分(2) “坐在y轴上”（四）二重积分1 .累次积分f (x, y)dydxb 2 (x)b 2 (x)公式：adX i(x) "MS a i(x)2 .二重积分的计算W Wf (x, y)d mt Wdy Wf (x,y)dxD直角坐标系的几何意义:f(x, y)dDf(x, y)dDbdxa2(x)i(x)f(x,y)dyd2(y)cdy i(y) f(x,y)dx3 .二重积分改变次序

19、记住一些不能正序积分的函数：eAx , sin x ,sin - ,sin x-nxx x x 1思路:原累次积分 还原 二重积分 改变定限方向新累次积分4 .极坐标主要是圆的思想，注意画图，特别注意上限和下限！常微分方程(ODE2()f(x, y)dxdy d r ( ) f (r cos , r sin ) rdrD1Jacobi因子(一)分离变量法1.标准型y' H(x)G(y)步骤：dy dxH(x) G(y)dyG(y)H (x)dx即：-C2.变化型y'f(-) x注意：ln | ln | C化简之核心：令u(二)一阶线性ODE (重点)1.标准型：y' p

20、(x) y q(x),关键是找到p(x)、q(x)；2.常数变量法:q(x)ep(x)dxdx C) ep(x)dx做题步骤:(1)找到 p(x)、q(x)；p(x)dxp(x)dx，“舁 e ,p(x)dx e汪思：1)积分不要加C;2) ln W，不要“ | |"符号。p(x)dxC) ep(x)dx(3) 市入公式y ( q(x)e dx（三）三大题型 题型1:贝努里方程（Bernoulli ）y' P(x)y q(x)yn - y n y' p(x)y1 nq(x)，即 y n dy p(x)y1 n q(x)dx1 dy11 n dxp(x)y1 n q(x

21、)1 du1 n dxP(x)u q(x)1- n题型2 :积分方程特定条件y '(0) 0.x【例题】f(x)满足下列方程:f(x)+ . fdt = x,求f (x).x解：令 y(x) = 0 f(t)dt ,则 f (x) = y'(x)原式即为:y'(x)+ y(x) = x。四-6PdxP=;q=; 0Pdx=;e = ;e u =、p(x)dxp(x)dx整理之：y ( q(x)e dx C) e =题型3:二阶线性ODE（1）齐次方程（y''+ py'+qy = 0（ p、q为常数）y''+ py'+ qy

22、 = 0(p、q为常数) y'' l 2; y' l ; y? 1.特性方程即：l 2 + pl + q = 0,解出ll2（补充:l-b? , b2 4ac2a<C1el1x+ C2el 2xy = C C1el1x+ C?xel 2x,ll2为互异实根，l 1=l 2eax(C1 cosbx+ C2sinbx),l = a 惫ib(b 0)(2)非齐次方程标准型：y''+ py'+ qy = eax(Pm(x)cosbx+ Qn(x)sinbx)m, n为曷次.关键是读参数：a ,b, m,n,u, k, l.求解过程：y'+

23、py'+ qy = f (x)1) y''+ py'+ qy = 0l 2 + pl + q = 0 解出 l 1、l 2；得y.2)读参数 a , b, m,n . u f (x)u = a ? ib. k = l 1、12中与u相等的个数.l = maxm, n* k ax可设特解方程：y = x e (P(x)加osbx Qi(x)?sinbx)l = 0ABl = 1ax+ bcx+ dl = 22ax + bx+ c2.aix + bx+ C1代入y = y，原方程，确te系数-、一 *3) y= y+ y .【例题】解常微分方程：y''

24、;- y'- 2y =3e2x.解： y"- y'- 2y = 3e2xy'- y'- 2 y =0 , 即- - = 0, l 1 = , l 2 = _ y =+.3e2x=e2x (+)(草稿纸上做)a = , b = , m = , n = .u = , k = , l = max m, n = ;y = x1 鬟2x(Acos(0 x)+ Bsin(0 ?x) = Axe2x(草稿纸上做)* y =; *y =.- 、 ，一 , 将y市入y''- y'- 2y =0 ,解出系数A= .Q-* y = y + y =+七

25、、 级数（一）定义1. ao aia2an . an n 02.Sn%aia2J S有限 收敛nim Sn或不存在 发散3.收敛的必要条件lim an0n第一部分an(an 0)判别图莱布尼1.交错(-1)n2.an -3. lim an = 0 n第二部分交错级数(1)莱布尼兹法则ao ai a? a3(2)绝对收敛与条件收敛的判别0(绝对收敛条件收敛注：1)遛|bj攵敛Tbn收敛，且为绝对收敛2)遛|bn便散Tbn可能收敛(为绝对收敛)，也可能发散识别过程:遛(-1)nan揪加哪?an收敛，且为绝对收敛I发散 莱布尼兹法则(3)级数的几点性质遛(an? bn)an? ? bn1)收？收收；

26、2)收？发发；3)发+发二？第三部分幕级数+ ?an = ； Xo =(中心点或展开点)1.收敛域和收敛半径？ an(X- Xo)nn= 0级数对称性：1.一收朝里皆收；2.一发朝外均发。1 .收敛半径：R;公式：R= lim |&| n an+i2 .收敛区间(收敛域)如(Xo- R,% + R)收敛,将Xo ± R带入原级数找解，看能否取到 .2.幕级数的展开+ ? n X1)公式 1: e = ? 一,- ? x < + n= 1 n!1+?2)公式 2:=? xn,(| x|< 1);1- x n= 03)逐项微分，逐项积分，'给 ，、n、., ,

27、、n、.Ctean(x- xo) )' =(an(x- xo)'xx蝌(通an(x- xo)n)dx=(an(x-八、空间解析几何(一)矢量运算1.矢量的内积r r r a ai a2j a3k 日色r r(2)内积：a b |a|b|cos abrrr r(3) a ba b 02.矢量的叉积17r 2-1)注：不改变收敛区间，改变端点r.-222a | aa?a3a2 b2a3b3r br例如：2x 3y 5z 0, n _,_,_2.直线标准型（点斜式）九、证明题综述（18+）（一）介值定理（零点定理）定理条件:汪忠:2.解题要点：A: f（x）是什么？B:a,b是什么?（二）平面方程0x- X0y- y0z- Z0(a,b),使得f( ) 0;r uuuuur1.点法式：n MM。0n(1) f(x) a,b(2) f(a)gf(b)f(b) 0, a,b;f(a)gf(b) 0a,b,使得 f( ) 0；y2. f(a)gf(b) 0,(a,b).uuuuuur M1M2仇x1%产2OA(x x°)B(yy0) C(z Z0)m1.1. f(