函数的奇偶性(教案)

1、优秀教案欢迎下载函数的奇偶性一、知识回顾1.关于函数的奇偶性的定义定义说明 ：对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个x ：f (x)f ( x)f (x)是偶函数；f (x)f ( x)f (x)奇函数；注意：函数的定义域关于原点对称的函数不一定是奇（偶）函数，但是反过来一定成立。2、关于奇偶函数的图像特征奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称。3、函数的奇偶性的几个性质、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；、可逆性： f (x)f (x)f ( x) 是偶函数；f (x)f (x)f (x) 奇函数；、等价性：

2、 f (x)f (x)f ( x)f ( x)0f ( x)f (x)f ( x)f (x)0、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。4、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法 ：利用奇、偶函数的定义，主要考查 f ( x) 是否与f (x) 、 f ( x)相等，判断步骤如下：、定义域是否关于原点对称；、数量关系 f (x)f (x) 哪个成立；优秀教案欢迎下载f (x) f ( x)判断 f (x) 与偶函数定义域关于f (x) 的关系f ( x)f (

3、x)函数定义域原点对称奇函数举反例定义域不关于原点对称非奇非偶函数定义域第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 （前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。5、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类： 奇偶数、 偶函数、 既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数。二典型例题考点 1：奇偶性的判定例 1：判断下列各函数是否具有奇偶性、 f ( x) x32x、 f ( x) 2x 43x2、 f ( x)x

4、3x 2、 f (x)x2x1,2x1、 f ( x)x22 x、 f (x)x211 x 2解：为奇函数为偶函数为非奇非偶函数为非奇非偶函数为非奇非偶函数既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例 2：判断函数 f ( x)x 2 ( x0)的奇偶性。x2 ( x0)解 : f (0)02f ( x)当x 0,即时有f ( x)( x)2x2f ( x)x 0 ,当x0,即x时有f ( x)( x)2( x)2f ( x)0 ,总有 f (x)f ( x), 故f ( x)为奇函数 .优秀教案欢迎下载练习：判断函数 f(x)=x(1-x) (x<0)的单调性。x

5、(1+x) (x>0)考点2：关于函数奇偶性的简单应用题型1. 利用定义解题11例 3.已知函数 f (x) a.，若 fx 为奇函数，则 a _ 2 _。2x1题型2、利用奇偶性求函数值例 4：已知 f ( x)x5ax 3bx8 且 f ( 2)10 ，那么 f ( 2)-26.练习：已知 g (x)4227 ，那么 g( 3)ax bx6 且 g (3)27题型 3、利用奇偶性比较大小例 5：已知偶函数 f (x) 在,0 上为减函数，比较 f ( 5)， f (1) ， f (3) 的大小。解：f (x) 在,0 上为减函数且为偶函数f ( x) 在 0,上为增函数。f (1)&

6、lt;f (3) <f ( 5)练习 :已知ff (x)是定义在(3) ， b f(， )上的偶函数，且在 (，0 上是增函数，设 a(2) ， c f(1) ， 则a ， b ， c的 大 小 关 系 是(D)A. c<b<aB.b<c<aC.c>a>bD.a<b<c题型4.利用奇偶性求解析式例 6：已知f ( x) 为偶函数 当0x1时 , f ( x)1x,当1x0时 ，求f ( x)的解析式？练习：则当 x0时， f ( x) =1.f ( x)是定义在.(,) 上的偶函数，且x0时，f ( x)x3x2 ，2.已知函数 f ( x

7、) 是定义在 ( ,+ ) 上的偶函数 .优秀教案欢迎下载当 x( ,0) 时， f ( x)= x- x4，则 当 (0.+ ) 时， f ( x)=.题型 5、利用奇偶性讨论函数的单调性2练习：在 R 上定义的函数f x 是偶函数，且 f xf 2x ，若 f x 在区间 1,2减函数，则函数f x （）A. 在区间2, 1 上是增函数，区间3,4 上是增函数B.在区间2, 1 上是增函数，区间3,4 上是减函数C.在区间2, 1 上是减函数，区间3,4 上是增函数D.在区间2, 1 上是减函数，区间3,4 上是减函数是题型6、利用奇偶性求参数的值例8：定义在R上的偶函数f ( x)在(,

8、0)是单调递减，若f (2a2a1)f (3a22a1) ，则 a 的取值范围是如何？练习、已知奇函数 f (x) 是定义在 ( 2,2) 上的减函数，若 f (m 1)f (2m 1) 0，求实数 m 的取值范围。题型 7、利用图像解题例 9. 设奇函数 f(x) 的定义域为 -5,5. 若当 x0,5 时,f(x)的 图 象 如 右 图 ,则 不 等 式f x0 的 解 是( 2,0)(2,5)练习：若函数 f ( x) 是定义在 R上的偶函数，在(,0 上是减函数，且f (2)=0，则使得 f (x)<0的x的取值范围是()A.(-,2) B. (2,+)C. (-,-2)(2,+

9、)D. (-2,2)三课后习题1下列说法中不正确的是（）A 图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B奇函数的图象一定经过原点C偶函数的图象若不经过原点，则它与 x 轴的交点的个数一定为偶数D图象关于 y 轴成轴对称的函数一定是偶函数优秀教案欢迎下载2函数 : (1) y2( x 1) 23; (2) yx2| x |4; (3) yx; (4) y| x | ,x其中是非奇非偶函数的是()A. (1)(2)(3)B. (1)(3)(4)C. (1)(3)D.(1)3若 f (x) ax 2bxc(a 0) 是偶函数 ,则 g(x)ax3bx2cx 是()A. 奇函数B.偶函数C.既是奇函数又

10、是偶函数D. 非奇非偶函数4.如果奇函数f ( x) 在区间 3,7 上是增函数且最小值是5,则 f (x) 在 -7,-3 上()A. 是增函数 , 最小值是 -5B. 是增函数 ,最大值是 -5B. 是减函数 , 最小值是 -5C. 是减函数 , 最大值是 -55. 若 y=f （ x）（ x R）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y=f （ x）上的是（）A（a，f （ a）B（ sin a， f （ sin a）C（ lg a， f （lg1 ）D（ a， f （a）a6. 已知 f ( x)a2xa2 是 R 上的奇函数，则 a=2x17. 若 f ( x) 为奇函数，且在 (- ,

11、0) 上是减函数，又 f (-2)=0 ，则 xf ( x)<0 的解集为 _8.已知 y=f ( x) 是偶函数，且在 0,) 上是减函数，则f (1 x2) 是增函数的区间是9.判断下列函数的奇偶性：（ 1）()1x2x21（ ）1x（ ） f ( x) 2 x 1f x2 f ( x) (1 x)x3110.设 f ( x) 是 R 上的奇函数，且当 x (,0) 时， f ( x)x(1x 3 ) ，求当 x (0, )时 f ( x) 的解析式。11.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数 ,当 x0时， f (x)x21,求 f ( x) 在 R 上的解析式 .优秀

12、教案欢迎下载12. f (x) 是定义在 ( 2,2) 上的奇函数 ,且是单调递减函数 ,若f (2a) f ( 2a 3)0 ,求实数 a 的取值范围。13. 已 知 函 数 f ( x )ax 21 a(b c, ,N 是 )奇 函 数 ,f (1) 2, f (2) 3, 且bxcf ( x)在1,) 上是增函数 ,(1) 求 a,b,c 的值;(2) 当 x- 1,0) 时, 讨论函数的单调性.解(1)f ( x) 是奇函数，则ax21ax21ax210 由 f (1)2得 a 1 2b ,bxcbxcbxcc由 f (2)3a21 a2a01又 aN ,a0,1 .当 a0时 ,b1

13、N,舍去.2当a=1时,b=1,x211f ( x)xxx14. 定义在 R 上的单调函数f ( x) 满足 f (3)= log2 3 且对任意 x，yR都有f ( x+y)= f ( x)+ f ( y) (1) 求证 f ( x) 为奇函数；(2) 若 f ( k·3 x )+ f (3 x -9 x -2) 0 对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围分析：欲证 f ( x) 为奇函数即要证对任意x 都有 f (- x)=- f ( x) 成立在式子f ( x+y)= f ( x)+ f ( y) 中，令 y= x 可得 f (0)= f ( x)+ f (- x) 于是

14、又提出新的问题，求 f (0) 的值令 x=y=0 可得 f (0)= f (0)+ f (0) 即 f (0)=0 ，f ( x) 是奇函数得到证明(1) 证明：f(x+yf(xf(y)(x，yR， )=)+)令 x=y=0，代入式，得 f (0+0)= f (0)+ f (0) ，即 f (0)=0 令yx，代入式，得 f(x-xfxf(-x，又 f(0)=0，则有f=fxfxx)=()+)fx(x(-即(-)=-f对任意 xR成立，所以是奇函数0=)+)( )( )(2)解：f (3)= log 23 0，即 f (3) f (0)，又 f ( x) 在 R 上是单调函数，所以f ( x) 在 R 上是增函数，又由 (1)f ( x) 是奇函数f ( k·3 x ) - f (3 x -9 x -2)=f (-3x +9x +2) ，优秀教案欢迎下载k· 3 x -3 x +9x +2，3 2x -(1+