向量法求空间点到平面的距离教案

1、学习必备欢迎下载向量法求空间点到面距离（教案）教材分析重点 : 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤难点 : 找到所需的点坐标跟面的法向量教学目的1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。新课导入：我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？对！绕过去。在生活中我们都知道转弯， 那么在学习上我们不妨也让思维转个弯， 绕过难点用另一种方法解决。我们知道要想求空间一点到一个面的距离， 就必须要先找到这个距离， 而找这个距离恰恰是一

2、个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。一、复习引入：1、 空间中如何求点到面距离？方法 1、直接做或找距离；方法 2、；等体积方法 3、空间向量。2、向量数量积公式a · b = a b cos（ 为 a 与 b 的夹角）二、向量法求点到平面的距离学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载若 AB 是平面的任一条斜线段，则在Rt BOA 中， BO = BACOS ABO= BA BA BO=BA BOBA BOBO如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为BAnBO =n因此要求一个点到平面的距离， 可以分为以下三步： （ 1）找出

3、从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量 （2）求出该平面的一个法向量 （ 3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模思考、 已知不共线的三点坐标, 如何求经过这三点的平面的一个法向量?例 1、在空间直角坐标系中 , 已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0,2) , 试求平面ABC的一个法向量.解 : 设平面 ABC 的一个法向量为n( x, y, z)则 nAB ，nAC.AB( 3,4,0) ,AC( 3,0, 2) ( x, y, z)(3,4,0)0 即3x4 y0y3 x( x, y, z)(3,0,2)03x2z043 x取 x4 , 则

4、 n(4, 3,6)z2 n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量 .例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4， E、 F 分别是 AB、 AD 的中点， GC平面 ABCD ，且 GC 2，求点 B 到平面 EFG 的距离 .解：如图，建立空间直角坐标系C xyz由题设 C(0,0,0) ， A(4,4,0) ， B(0,4,0)，D(4,0,0) ， E(2,4,0) ，F(4,2,0) ， G(0,0,2) EF(2,2,0), EG( 2,4, 2),BE(2,0,0)设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z)nEF，nEG2 x2 y02 x4y201

5、 1n(,1)3 3学习必备欢迎下载| n BE|2 11d11n点评：斜线段也可以选择BF 或者 BC 都行。练习 1、 (06 年福建高考题)如图 4，四面体 ABCD中， O、 E 分别是 BD 、 BC 的中点，CA=CB=CD=BD=2 ，AB=AD=2 ，求点 E 到平面 ACD 的距离 .解：由题设易知AO BD ， OC BD ， OA=1 ，OC=3，OA2+OC2=AC 2 ，AOC=90，即 OA OC.以 O 为原点， OB、 OC、OA 所在直线为 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,3 ,0),D(-1,

6、0,0) , 13,0), AD =(-1,0,-1),AC =(0,3 ,-1), ED =(-33E( ,2,-,0).222设平面 ACD 的一个法向量为 n( x, y, z) ，则由 n AD0 及 n AC 0 ，得xz03yz0x=-z3,取y=z3ED nd=nz=3 ,得 n =(-3 ,1,3 ),于是点 E 到平面 ACD 的距离为3 21= .7 7练习 2、 如图 , PA平面 ABC, ACBC, PA=AC=1,BC= 2 , 求点 P 到面 PBC的距离 . （答案 d2 ）2课下作业、在三棱锥BACD 中, 平面 ABD平面 ACD ，若棱长ACCDADAB1，且BAD300，求点 D 到平面 ABC的距离。（答案d39 ）13板书设计一、复习学习必备欢迎下载a · b = a b cos（ 为 a 与 b 的夹角）aba 在 b 上的投影 d= a cos=b二、点到平面的距离ABnB 到面的距离d=n小结：向量法求点到面距离三步（ 1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量（ 2）求出该平面的一